Exercicis: Teorema de Pitàgores

En un entrenament de futbol, un jugador corre en línia recta des d'una cantonada del camp fins a la cantonada oposada. Si el camp mesura $80$ metres de llargada i $60$ metres d'amplada, quina distància recorre el jugador en la seva carrera diagonal?

Una escala de tisora oberta té una alçada vertical de $2,4$ metres. Si la distància entre les potes recolzades a terra és de $1,4$ metres, quant mesura cadascun dels braços de l'escala? Ajuda: Fissa't que l'alçada divideix l'escala en dos triangles rectangles iguals.

Comprova si un triangle els costats del qual mesuren $7$ cm, $10$ cm i $12$ cm és un triangle rectangle. Per fer-ho, verifica si es compleix la igualtat del Teorema de Pitàgores entre els seus costats.

Volem col·locar un cable des de la part més alta d'una antena de telefonia de $12$ metres d'alçada fins a un punt d'ancoratge situat a terra, a $9$ metres de la base de l'antena. Quina longitud ha de tenir el cable perquè quedi totalment estirat?

Troba la longitud del costat desconegut ($c$) en el triangle rectangle següent, sabent que la hipotenusa mesura $13$ cm i un dels catets mesura $5$ cm.

Les pantalles de televisió es mesuren per la seva diagonal en polzades. Si una televisió té una amplada de $32$ cm i una alçada de $24$ cm, quants centímetres mesura la seva diagonal?

Calcula el perímetre d'un rombe les diagonals del qual mesuren $16$ cm i $12$ cm. Recorda que les diagonals d'un rombe són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà, formant quatre triangles rectangles.

Un far projecta una llum que arriba fins a un vaixell. El far té una alçada de $30$ metres i el vaixell es troba a una distància horitzontal de $40$ metres de la base del far. Quina és la distància directa entre la bombeta del far i el vaixell?

Per calcular la longitud de la diagonal d'una pantalla rectangular de televisió que fa $40\text{ cm}$ d'amplada i $30\text{ cm}$ d'alçada, la Lucía escriu al seu quadern el procediment següent:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Explica detalladament quin error algebraic ha comès la Lucía amb l'arrel quadrada i per què l'arrel d'una suma no es pot separar en la suma de les arrels.
2. b) Sense fer encara el càlcul correcte, raona geomètricament per què un resultat de $70\text{ cm}$ és impossible per a aquesta diagonal (recorda la propietat triangular: la longitud de qualsevol costat d'un triangle ha de ser menor que la suma dels altres dos).
3. c) Corregeix el procediment de la Lucía i troba la mesura real de la diagonal d'aquesta pantalla.

Una pista esportiva escolar de bàsquet té unes dimensions oficials de $28\text{ m}$ de llargada per $15\text{ m}$ d'amplada. El professor d'Educació Física demana als seus alumnes que corrin en línia recta des d'una cantonada fins a la cantonada diagonalment oposada.

1. a) Abans de fer cap operació amb arrels, fes una estimació raonada: justifica per què la distància diagonal recorreguda ha de ser obligatòriament més gran que $28\text{ m}$ i més petita que $43\text{ m}$. Entre quins dos nombres enters creus que es trobarà el resultat?
2. b) Aplica el Teorema de Pitàgores per calcular la longitud exacta de la diagonal, arrodonint el resultat a les centèsimes de metre.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació prèvia i valora críticament si el resultat obtingut té sentit pràctic en una pista esportiva.

Per assegurar una xarxa de voleibol al pati de l'institut, s'ha col·locat un cable tensor des de la part superior d'un pal fins a un ancoratge a terra. El pal té una alçada de $2,4$ metres i la distància des de la base del pal fins a l'ancoratge és de $1,8$ metres. Si volem posar un cable idèntic en un altre pal que és una ampliació a escala $k = 1,5$ del primer, quant mesurarà el nou cable tensor?

Una pantalla de smartphone de format rectangular té una alçada de $12\text{ cm}$ i una amplada de $5\text{ cm}$. Una tauleta és semblant al smartphone i el seu costat menor mesura $15\text{ cm}$. Calcula primer la diagonal del smartphone fent servir el Teorema de Pitàgores i, després, utilitza la raó de semblança per trobar la diagonal de la tauleta.

Un fuster està dissenyant dues prestatgeries triangulars semblants per a les cantonades d'una habitació. La prestatgeria petita té dos costats (catets) de $30\text{ cm}$ i $40\text{ cm}$. La prestatgeria gran té un perímetre de $240\text{ cm}$. Quant mesura el costat més llarg (hipotenusa) de la prestatgeria gran?

En un parc hi ha una rampa per a skates que vista de perfil forma un triangle rectangle. La base de la rampa mesura $4\text{ metres}$ i l'alçada màxima és de $3\text{ metres}$. A una distància de $1,6\text{ metres}$ de la base, s'hi ha col·locat un suport vertical de reforç.

• a) Calcula la longitud total de la rampa (la part inclinada).

• b) Fent servir la semblança de triangles, calcula l'alçada del suport vertical.

Un jardí té forma de triangle isòsceles. Els seus dos costats iguals mesuren $13\text{ metres}$ i el costat desigual (la base) mesura $10\text{ metres}$. Volem construir una maqueta d'aquest jardí que sigui una reducció i la base de la qual a la maqueta sigui de $20\text{ cm}$. Calcula:

• a) L'alçada real del jardí.

• b) L'àrea que ocuparà la maqueta en $\text{cm}^2$.

Dos edificis projecten la seva ombra a la mateixa hora del dia. L'edifici A té una alçada de $15\text{ metres}$ i la seva ombra mesura $12\text{ metres}$. L'edifici B està al seu costat i projecta una ombra de $20\text{ metres}$.

• a) Quina és l'alçada de l'edifici B?

• b) Si unim la part més alta de cada edifici amb l'extrem de la seva ombra, es formen dos triangles rectangles. Calcula la longitud d'aquestes línies imaginàries (hipotenuses) per a tots dos edificis.

Calcula l'àrea d'un hexàgon regular de costat $8\text{ cm}$. Recorda que un hexàgon regular es pot dividir en sis triangles equilàters. Hauràs de fer servir el Teorema de Pitàgores per trobar l'apotema de l'hexàgon abans de calcular-ne l'àrea total.

En un triangle rectangle, l'alçada relativa a la hipotenusa la divideix en dos segments que mesuren $9\text{ cm}$ i $16\text{ cm}$.

• a) Calcula l'alçada del triangle fent servir el Teorema de l'Altura ($h^2 = m \cdot n$, on $m$ i $n$ són els dos segments de la hipotenusa).

• b) Un cop trobada l'alçada, utilitza el Teorema de Pitàgores per calcular quant mesuren els dos catets del triangle original.

Un taller de fusteria necessita dissenyar una peça d'unió que tingui forma de triangle rectangle i la hipotenusa de la qual mesuri exactament $\sqrt{65}\text{ dm}$.

1. a) Troba dues parelles diferents de nombres enters positius $(a, b)$ que puguin ser les longituds dels catets en decímetres. Demostra algebraicament, mitjançant el Teorema de Pitàgores, que totes dues parelles donen com a resultat exacte la hipotenusa requerida.
2. b) Si el taller decidís que la peça ha de ser, a més de rectangle, un triangle isòsceles (amb tots dos catets iguals) conservant la hipotenusa de $\sqrt{65}\text{ dm}$, planteja una equació i dedueix quant hauria de mesurar exactament cadascun dels catets. Poden mesurar un nombre enter de decímetres en aquest segon cas? Justifica la teva resposta.

Durant les tasques de vigilància d'incendis a la Sierra de Guadarrama, un lloc d'observació forestal del pla INFOMA es troba situat a una altitud de $1900\text{ m}$. El vigilant detecta una columna de fum la posició de la qual sobre el mapa cartogràfic es localitza a $1200\text{ m}$ cap a l'est i $900\text{ m}$ cap al nord de la torre, però en una fondalada situada a una cota més baixa, a $1100\text{ m}$ d'altitud.

1. a) Modela la situació en el pla horitzontal i calcula la distància en línia recta sobre el mapa (distància horitzontal) que separa el lloc d'observació de la columna de fum.
2. b) Modela la situació en tres dimensions tenint en compte la diferència d'altitud entre la torre i el foc. Calcula la distància real i directa que recorreria un dron de reconeixement en línia recta espacial des del lloc d'observació fins al conat d'incendi.

Un servei de missatgeria utilitza caixes de cartró amb forma d'ortoedre (prisma rectangular). Una de les seves caixes més grans té unes dimensions de $60\text{ cm}$ de llargada, $45\text{ cm}$ d'amplada i $30\text{ cm}$ d'alçària. Un client necessita enviar un tub rígid que mesura exactament $82\text{ cm}$.

Utilitza el teorema de Pitàgores per determinar si el tub cap dins la caixa (col·locant-lo de forma diagonal unint dos vèrtexs oposats de l'espai interior) i justifica la teva resposta amb els càlculs necessaris.

Un arquitecte ha dissenyat un vidre amb forma de triangle isoscele la base del qual mesura $12\text{ m}$ i els seus costats iguals mesuren $10\text{ m}$ cadascun. Per motius d'il·luminació, necessita col·locar un travesser horitzontal exactament a la meitat de l'alçària del triangle.

Calcula primer l'alçària total del vidre usant el teorema de Pitàgores i, posteriorment, utilitza la semblança de triangles per trobar la longitud del travesser horitzontal.

Una empresa de publicitat ha creat una lona amb forma de rombe per cobrir la façana d'un edifici. Les diagonals del rombe mesuren $16\text{ m}$ i $12\text{ m}$. Volen fabricar una rèplica a escala per a una oficina la raó de semblança de la qual respecte a l'original és $k = 0,25$.

Calcula el perímetre de la lona original (usant Pitàgores per trobar el costat) i, a partir d'aquesta dada, determina el perímetre i l'àrea de la rèplica petita sense necessitat de calcular els seus costats un a un.

Un dron està sobrevolant un terreny pla a una alçària de $120\text{ m}$. En un moment donat, la seva càmera detecta la part superior d'una torre de control. Els sensors indiquen que la distància en línia recta (diagonal) des del dron fins al cim de la torre és de $150\text{ m}$. Si sabem que l'ombra de la torre en aquest mateix instant mesura $18\text{ m}$, calcula:

1. La distància horitzontal a terra des del dron fins a la vertical de la torre.

2. L'alçària de la torre de control utilitzant la semblança entre la torre i la seva ombra, sabent que els raigs de sol incideixen amb un angle que fa que un post de $2\text{ m}$ projecti una ombra de $1,2\text{ m}$.

Un jardí té forma d'hexàgon regular de $8\text{ m}$ de costat. Es vol instal·lar un sistema de reg circular que cobreixi exactament fins als punts mitjans de cada costat (és a dir, el cercle inscrit a l'hexàgon).

1. Calcula el radi d'aquest cercle (apotema de l'hexàgon) utilitzant el teorema de Pitàgores.

2. Si un plànol del jardí està fet a escala $1:200$, quina serà l'àrea de l'hexàgon al plànol en $\text{cm}^2$?

Dos edificis verticals estan separats per una distància de $16\text{ m}$. L'edifici A mesura $24\text{ m}$ d'alçària i l'edifici B mesura $36\text{ m}$. Es vol tensar un cable de fibra òptica que vagi des del terrat de l'edifici A fins al terrat de l'edifici B.

1. Quina longitud mínima ha de tenir el cable?

2. Si un tècnic es situa al cable a una distància horitzontal de $4\text{ m}$ de l'edifici A, a quina alçària sobre el terra es troba en aquest punt? (Utilitza la semblança de triangles).

Es té una piràmide quadrangular regular la base de la qual és un quadrat de $10\text{ cm}$ de costat. L'alçària de la piràmide (des del centre de la base al vèrtex superior) és de $12\text{ cm}$.

1. Calcula l'alçària d'una cara lateral (apotema de la piràmide) usant Pitàgores.

2. Si construïm una piràmide semblant més petita amb una raó de semblança $k = 0,5$, calcula el volum de la piràmide petita sabent que el volum de l'original és $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Àrea base} \cdot \text{Altura}$.

En un parc, un gronxador està format per dos pals metàl·lics que es creuen formant una «X». Els peus dels pals estan separats $3\text{ m}$ a terra. Els pals mesuren $5\text{ m}$ cadascun, estan inclinats simètricament (formen el mateix angle amb el terra) i es creuen exactament a una alçada de $2\text{ m}$ sobre el terra.

Calcula la distància entre els extrems superiors dels pals utilitzant les propietats de la semblança (triangles en posició de Tales) i el Teorema de Pitàgores per trobar les distàncies auxiliars necessàries.

En la maqueta d'un parc infantil, una rampa recta per a patinets té forma de triangle rectangle amb una base de $12\text{ cm}$ i una alçada de $5\text{ cm}$. La rampa real construïda al parc és una ampliació semblant a escala amb raó de semblança $k = 20$. Per determinar la longitud del terra inclinat de la rampa real (la hipotenusa), dos estudiants plantegen camins diferents:

• Mètode d'en Marcos: Calcula primer la hipotenusa de la maqueta fent servir el Teorema de Pitàgores i després multiplica aquesta mesura per la raó de semblança $k = 20$.

• Mètode de la Sara: Multiplica primer les dues dimensions de la maqueta per la raó $k = 20$ per trobar la base i l'alçada reals del parc, i després aplica el Teorema de Pitàgores sobre aquests valors més grans.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes pas a pas i comprova si tots dos condueixen al mateix resultat numèric en metres.
2. b) Si haguessis de resoldre aquest exercici en un examen sense fer servir calculadora, quin dels dos mètodes triaries i per què? Justifica la teva elecció analitzant la dificultat operativa dels càlculs involucrats i recolzant-te en les propietats de la semblança.

Els bombers de Zaragoza disposen d'una escala de rescat amb una longitud fixa de $6,5\text{ m}$. Per accedir a un balcó, recolzen l'extrem superior a la façana vertical d'un edifici i la base sobre una vorera horitzontal, a una distància de $2,5\text{ m}$ de la paret.

1. a) Modela la situació amb un triangle rectangle i calcula a quina alçada de la façana arriba l'extrem superior de l'escala en aquesta posició inicial.
2. b) Per alliberar un carril bici, els bombers acosten la base de l'escala $0,9\text{ m}$ cap a la paret (quedant a $1,6\text{ m}$ d'aquesta). L'extrem superior pujarà per la paret exactament els mateixos $0,9\text{ m}$ que s'ha desplaçat la base cap endins? Formula una hipòtesi justificada abans de calcular i, a continuació, calcula la nova alçada assolida per contrastar la teva hipòtesi.
3. c) Compara la variació horitzontal de la base amb la variació vertical de l'alçada i explica per què, a causa de la relació quadràtica del Teorema de Pitàgores ($a^2 + b^2 = c^2$), el desplaçament horitzontal i el vertical no mantenen una proporció constant i, en general, no són iguals.