Exercicis: Aplicacions del teorema de Pitàgores

Un dissenyador gràfic té una fotografia rectangular de $10 \text{ cm}$ d'amplada i $15 \text{ cm}$ d'alçada. Si decideix ampliar-la per fer un cartell de manera que la nova amplada sigui de $40 \text{ cm}$, quant mesurarà l'alçada del cartell si totes dues figures han de ser semblants?

En el plànol d'una urbanització, l'escala utilitzada és $1:500$. Si la piscina comunitària mesura $3 \text{ cm}$ de llargada al plànol, quina és la seva longitud real expressada en metres?

Dos quadrats són semblants. El costat del primer mesura $4 \text{ cm}$ i el costat del segon mesura $12 \text{ cm}$. Calcula la raó de semblança $k$ i explica quantes vegades és més gran l'àrea del segon quadrat respecte al primer.

A una hora determinada del dia, un pal vertical de $2 \text{ m}$ d'alçada projecta una ombra de $1,5 \text{ m}$. En aquest mateix instant, l'ombra d'una torre elèctrica propera mesura $12 \text{ m}$. Aplicant el teorema de Tales, calcula l'alçada de la torre.

Una tauleta té una pantalla rectangular les dimensions de la qual són $24 \text{ cm}$ de base i $7 \text{ cm}$ d'alçada. Calcula la mesura de la seva diagonal aplicant el teorema de Pitàgores.

La teulada d'una caseta de jardí té forma de triangle isòsceles. La base del triangle mesura $6 \text{ metres}$ i els costats iguals mesuren $5 \text{ metres}$ cadascun. Calcula l'alçada de la teulada.

Per assegurar una antena de ràdio, s'ha col·locat un cable tensor des de la seva part més alta fins a terra. Si l'antena mesura $12 \text{ m}$ d'alçada i el cable es lliga a terra a una distància de $5 \text{ m}$ de la base, quina longitud té el cable?

Calcula el perímetre d'un rombe les diagonals del qual mesuren $16 \text{ cm}$ i $12 \text{ cm}$. (Pista: Recorda que les diagonals d'un rombe són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà, formant quatre triangles rectangles iguals).

En Marco ha de calcular el costat d'un senyal reflector amb forma de rombe les diagonals del qual mesuren $16\text{ cm}$ i $12\text{ cm}$. Per resoldre-ho, escriu a la seva llibreta: $l^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$, per la qual cosa conclou que el costat mesura $l = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$. Identifica l'error geomètric que ha comès en Marco, explica per què no es pot aplicar directament el teorema de Pitàgores amb aquestes dades i calcula el valor correcte del costat del rombe.

Una rajola de terrassa té forma d'hexàgon regular de $10\text{ cm}$ de costat. Recorda que en un hexàgon regular el radi coincideix exactament amb la longitud del costat.

1. a) Abans de fer càlculs numèrics, raona si l'apotema de la rajola ha de ser més gran, més petita o igual que $10\text{ cm}$, i estima si el seu valor estarà més a prop de $5\text{ cm}$ o de $9\text{ cm}$. Justifica la teva estimació pensant en la relació entre catets i hipotenusa.
2. b) Planteja el triangle rectangle corresponent, calcula la longitud exacta de l'apotema arrodonint a les centèsimes i comprova si la teva estimació inicial era encertada.

Un grup d'alumnes de 2n d'ESO vol calcular l'alçada de la cistella del pati sense utilitzar una escala. En un moment determinat, el Luis, que mesura $1,60 \text{ m}$, projecta una ombra de $0,80 \text{ m}$. Si en aquest mateix instant l'ombra de la cistella mesura $1,52 \text{ m}$, quina és l'alçada de la cistella? Dibuixa un esquema de la situació identificant els triangles semblants.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el plànol d'una habitació a escala $1:50$, les dimensions d'una taula d'estudi rectangular són $2,4 \text{ cm}$ d'amplada i $3,6 \text{ cm}$ de llargada.

1. Calcula les dimensions reals de la taula en metres.

2. Si l'àrea real de l'habitació és de $12 \text{ m}^2$, quina és l'àrea que ocupa l'habitació al plànol expressada en $\text{cm}^2$?

Marta ha comprat una televisió de $50$ polzades. Sabent que $1$ polzada equival a $2,54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mesura exactament $127 \text{ cm}$. Si l'amplada de la televisió és de $110 \text{ cm}$, quina és l'alçada de la pantalla? Utilitza el teorema de Pitàgores i arrodoneix el resultat a les dècimes.

Una antena de telefonia de $12 \text{ m}$ d'alçada es subjecta a terra amb dos cables tensors que parteixen del seu extrem superior. Cada cable està ancorat a una distància de $5 \text{ m}$ de la base de l'antena.

1. Quina és la longitud total de cable necessària per subjectar l'antena?

2. Si volem col·locar una altra antena semblant l'alçada de la qual sigui de $18 \text{ m}$, a quina distància de la base hauríem d'ancorar els cables perquè l'estructura continuï sent proporcional?

Calcula el perímetre i l'àrea d'un hexàgon regular el costat del qual mesura $8 \text{ cm}$. Per trobar l'àrea, recorda que primer has de calcular l'apotema utilitzant el teorema de Pitàgores en un dels triangles equilàters que formen l'hexàgon.

Un fuster està dissenyant una prestatgeria que té forma de triangle rectangle. Hi ha col·locat un prestatge intermedi paral·lel a la base. L'alçada total de la prestatgeria és de $150 \text{ cm}$ i la base mesura $90 \text{ cm}$. Si el prestatge intermedi està situat a una alçada de $60 \text{ cm}$ des de la base:

1. Quant mesura la longitud d'aquest prestatge intermedi?

2. Quina longitud té el llistó inclinat que forma la hipotenusa de la prestatgeria completa?

S'ha fabricat una maqueta d'un monument utilitzant una escala $1:250$. Si el monument real té un volum de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volum de la maqueta en decímetres cúbics ($\text{dm}^3$). Recorda la relació entre la raó de semblança i la raó dels volums.

Per salvar un petit barranc en un circuit d'aventures, s'ha instal·lat una tirolina de $25 \text{ m}$ de longitud. El punt de sortida està en una torre a $18 \text{ m}$ d'alçada i el punt d'arribada està en una altra plataforma a $3 \text{ m}$ d'alçada. Quina és la distància horitzontal que separa totes dues estructures?

En una estació meteorològica d'AEMET a la serra de Guadarrama, s'instal·larà un pal anemomètric vertical de $12\text{ m}$ d'alçària. Per assegurar-ne l'estabilitat davant de ràfegues de vent, se subjectarà mitjançant dos cables tensors fixats des de l'extrem superior del pal fins a dos punts d'ancoratge a terra horitzontal. A causa del relleu rocós, el primer ancoratge es col·loca a $5\text{ m}$ de la base del pal i el segon ancoratge, al costat oposat, se situa a $9\text{ m}$ d'aquesta base. Sabent que en cada cable es necessiten $25\text{ cm}$ addicionals en cadascun dels seus dos extrems per realitzar els amarraments reglamentaris, calcula quants metres de cable s'han d'adquirir en total per als dos tensors. Arrodoneix el resultat final a dues xifres decimals.

Una empresa de senyalització viària encarrega el disseny d'un senyal d'advertència amb forma de rombe el costat exterior del qual ha de mesurar exactament $25\text{ cm}$.

1. a) Escriu l'equació que relaciona la longitud de la diagonal major ($D$), la diagonal menor ($d$) i el costat del rombe a partir del teorema de Pitàgores.
2. b) Seguint el plantejament invers, proposa dues combinacions diferents de nombres enters positius per a les mesures completes de les diagonals ($D$ i $d$) que donin com a resultat exacte un costat de $25\text{ cm}$. Justifica matemàticament mitjançant els càlculs pertinents per què ambdues propostes són vàlides.

Un gamer vol desar el seu teclat mecànic de $52\text{ cm}$ de llargada dins d'una caixa de transport que ha comprat. La caixa és un ortoedre amb unes dimensions internes de $48\text{ cm}$ de llargada, $18\text{ cm}$ d'amplada i $10\text{ cm}$ d'alçada. Hi cabrà el teclat a la caixa si el col·loca unint dos vèrtexs oposats (la diagonal de l'espai)? Calcula la mesura de la diagonal major de l'interior de la caixa per justificar la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza drons per lliurar paquets. Perquè l'aterratge sigui segur en un terrat, el dron projecta dos raigs làser que formen un angle recte a l'emissor. El dron es troba a una alçada $h$ sobre el terrat. Els punts d'impacte dels làsers a terra estan alineats amb la vertical del dron i disten entre si $15,6\text{ m}$. Si un dels punts d'impacte està a $3,9\text{ m}$ de la vertical del dron, calcula:

1. a) L'alçada $h$ a la qual vola el dron utilitzant el teorema de l'altura.
2. b) La distància des del dron fins a cadascun dels dos punts d'aterratge (els catets del triangle).

Per a un festival de cinema, s'ha construït una maqueta a escala d'una piràmide regular de base quadrada. La piràmide real té un costat de la base de $24\text{ m}$ i una alçada de $16\text{ m}$. Si la maqueta s'ha construït amb una raó de semblança $k = 1:80$, calcula:

1. a) La longitud de l'arista lateral de la piràmide real (hauràs d'aplicar Pitàgores dues vegades).
2. b) El volum de la maqueta en centímetres cúbics, sabent que el volum d'una piràmide és $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Àrea base} \cdot \text{Altura}$. (Fes servir la relació $k^3$ per al volum).

Un senyal de trànsit té forma de triangle equilàter de $90\text{ cm}$ de costat. A dins, hi ha una franja de color vermell que forma un altre triangle equilàter semblant. Si l'àrea de la part blanca (el triangle interior) és exactament la meitat de l'àrea total del senyal, quina és la raó de semblança entre el triangle petit i el gran? Quant mesura el costat del triangle interior? Arrodoneix a dues xifres decimals.

En una plaça hi ha un màstil vertical. A una distància de $12\text{ m}$ de la seva base, hi ha un foc a terra que projecta llum. Un adolescent que mesura $1,65\text{ m}$ es col·loca entre el foc i el màstil, a una distància de $3\text{ m}$ del foc.

1. a) Calcula l'alçada del màstil sabent que l'ombra del cap del noi coincideix exactament amb la part superior del màstil.
2. b) Si el noi camina $2\text{ m}$ cap al màstil, quina longitud tindrà la seva ombra projectada sobre el mateix màstil?

El logotip d'una nova marca de roba és un rombe inscrit dins d'un rectangle de $16\text{ cm}$ de llargada i $12\text{ cm}$ d'amplada. Els vèrtexs del rombe són els punts mitjans dels costats del rectangle. Calcula:

1. a) El perímetre del rombe.
2. b) L'àrea d'un segon logotip semblant a l'anterior el perímetre del qual sigui el triple. Justifica com canvia l'àrea sense necessitat de calcular els nous costats.

Un far de $35\text{ m}$ d'alçada està situat sobre un penya-segat vertical. Des d'un vaixell al mar, s'observa que la distància a la base del far (el punt on comença el far al penya-segat) és de $100\text{ m}$ i la distància a la part més alta del far és de $110\text{ m}$. Calcula:

1. a) L'alçada del penya-segat sobre el nivell del mar.
2. b) La distància horitzontal des del vaixell fins a la base del penya-segat.

Es vol instal·lar una placa solar rectangular en una teulada inclinada. La teulada té una inclinació tal que per cada $4\text{ m}$ d'avanç horitzontal puja $3\text{ m}$ d'alçada.

1. a) Calcula la longitud real del tram de teulada que cobreix $8\text{ m}$ de distància horitzontal.
2. b) Si la placa solar mesura $2\text{ m}$ de llargada i es col·loca seguint el pendent de la teulada, quina alçada vertical $h$ salva la placa entre la seva vora inferior i la superior? (Fes servir la semblança de triangles).

Una comunitat de propietaris a València instal·larà una rampa recta contínua per salvar una escala exterior formada per $4$ esglaons idèntics. Cada esglaó té una petja (fons horitzontal) de $18\text{ cm}$ i una contra-petja (alçària vertical) de $15\text{ cm}$. Per encarregar el passamans inclinat que recorrerà tota la rampa, necessiten saber la seva longitud total. Dues persones de la junta proposen mètodes diferents:

• Mètode de la Sonia: Calcula la hipotenusa d'un únic esglaó aplicant Pitàgores a les seves mesures ($18\text{ cm}$ i $15\text{ cm}$) i multiplica el resultat obtingut per $4$.

• Mètode d'en Roberto: Suma primer les mesures dels $4$ esglaons per trobar la base total ($4 \cdot 18 = 72\text{ cm}$) i l'alçària total ($4 \cdot 15 = 60\text{ cm}$), i aplica Pitàgores una sola vegada sobre el triangle rectangle global.

1. a) Desenvolupa ambdós mètodes mostrant els càlculs amb dues xifres decimals i comprova si s'obté la mateixa longitud total.
2. b) Demostra, recolzant-te en la semblança de triangles, per què ambdós procediments són matemàticament equivalents.
3. c) Justifica quin dels dos mètodes és més recomanable si es busca minimitzar l'acumulació d'errors d'arrodoniment quan les mesures dels esglaons tenen decimals inexactes.

Un habitatge unifamiliar a Segòvia reformarà la seva teulada simètrica a dues aigües (amb perfil de triangle isòsceles) per instal·lar-hi panells solars fotovoltaics. La façana horitzontal de la casa fa $8\text{ m}$ d'amplada i l'edifici té una longitud de $12\text{ m}$ de fons. Per complir la normativa tècnica davant sobrecàrregues de neu i permetre una evacuació adequada de l'aigua, l'alçària vertical del carener (el vèrtex superior de la teulada) ha de ser d'almenys $3\text{ m}$, però no pot sobrepassar els $4,5\text{ m}$ per restriccions urbanístiques del municipi. L'arquitecte disposa de dos tipus de bigues de fusta per a la caiguda inclinada de la teulada:

• Biga A: de $4,5\text{ m}$ de longitud.

• Biga B: de $5,5\text{ m}$ de longitud.

1. a) Identifica el triangle rectangle del perfil de la teulada, calcula amb dos decimals l'alçària del carener que s'assoliria amb cada tipus de biga i dedueix quina de les dues opcions és l'única que compleix la normativa tècnica.
2. b) Per a l'opció de biga reglamentària, calcula l'àrea total de la coberta inclinada sumant els dos aiguavessos rectangulars de l'habitatge.
3. c) Els panells solars són rectangulars i mesuren $2\text{ m}$ de llarg per $1\text{ m}$ d'ample, i s'instal·laran únicament a l'aiguavés orientat al sud (un rectangle de $12\text{ m}$ de fons per la longitud de la biga vàlida). Analitza com convé orientar les plaques (en horitzontal o en vertical respecte a terra) per no sobrepassar les vores de la teulada i calcula el nombre màxim de panells complets que es poden col·locar.