Exercicis: Operacions amb nombres racionals

En una enquesta realitzada a la teva classe sobre la xarxa social preferida, $\frac{12}{30}$ dels alumnes van triar una plataforma de vídeos curts. Obtén la fracció irreductible per saber quina part del total representa aquest grup.

Observa la següent figura que representa un pastís de xocolata dividit en porcions iguals. Escriu la fracció que representa la part que falta i calcula la fracció oposada i la fracció inversa d'aquesta quantitat.

Un adolescent dedica $\frac{1}{3}$ del seu temps lliure de la tarda a fer esport i $\frac{2}{5}$ a estudiar matemàtiques.

1. a) Calcula quina fracció del seu temps lliure total ocupen aquestes dues activitats.
2. b) Quina fracció de temps li queda lliure per jugar a la consola?

La bateria del teu telèfon mòbil té una capacitat total de $4500$ mAh. Si en aquest moment la pantalla indica que li queda exactament $\frac{4}{9}$ de la seva capacitat:

1. a) Quants mAh té disponibles?
2. b) Si el mode d'estalvi d'energia s'activa quan queda $\frac{1}{5}$ del total, quants mAh representen aquest límit?

Per preparar un "smoothie" saludable, has barrejat $\frac{3}{4}$ de litre de llet d'avena amb $\frac{1}{2}$ litre de suc de taronja. En servir-lo, es vessen $\frac{1}{8}$ de litre. Realitza l'operació pas a pas per saber quina quantitat de mescla queda a la gerra.

En una prestatgeria d'una botiga de còmics, $\frac{2}{3}$ dels exemplars són de superherois. D'aquests còmics de superherois, la meitat ($\frac{1}{2}$) pertanyen a una famosa editorial americana. Calcula la fracció del total de la prestatgeria que representen els còmics d'aquesta editorial específica realitzant una multiplicació de fraccions.

Volem repartir $\frac{3}{2}$ de quilo de llaminadures en bosses petites. Si a cada bossa hi posem $\frac{1}{10}$ de quilo:

1. a) Quantes bosses podrem omplir completament?
2. b) Realitza l'operació utilitzant la divisió de fraccions: $\frac{3}{2} : \frac{1}{10}$

Resol la següent operació combinada respectant la jerarquia de les operacions:

L'Elena està resolent una tasca de classe i afirma el següent: «Per calcular $-\frac{3}{4} : \frac{2}{5}$, com que dividir és repartir, divideixo el numerador entre el numerador i el denominador entre el denominador: $\frac{-3 : 2}{4 : 5}$. Com que no dona exacte, llavors simplement canvio el signe de la segona fracció i multiplico en línia: $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que comet l'Elena en el seu raonament i explica la diferència fonamental entre la «fracció inversa» i la «fracció oposada».
2. b) Resol l'operació de manera correcta pas a pas, deixant el resultat final com una fracció irreductible.

Abans de fer càlculs llargs amb denominadors diferents, és molt útil estimar la mida del resultat per anticipar la resposta i detectar possibles errors. Tens la següent operació: $E = \left( 1 - \frac{1}{6} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{5}{11} \right)$.

1. a) Sense fer el càlcul exacte, estima raonadament el resultat contestant a aquestes preguntes guia:

• El factor $\left( 1 - \frac{1}{6} \right)$ és més gran o més petit que $1$? És a prop d'$1$?

• Sabent que $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$, la fracció $\frac{5}{11}$ és més gran o més petita que $\frac{1}{2}$? El segon parèntesi sumarà més o menys d'$1$?

• Amb base en l'anterior, dedueix raonadament si el producte final $E$ serà lleugerament menor que $1$, exactament $1$ o notablement més gran que $1$.

1. b) Fes ara el càlcul exacte d'$E$ resolent els parèntesis i multiplicant les fraccions. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible.
2. c) Obtén l'expressió decimal del teu resultat exacte (amb dues xifres decimals) i comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada.

Resol l'expressió combinada següent, simplificant el resultat fins a obtenir la fracció irreductible:

Calcula el resultat de l'operació combinada següent, simplificant el resultat fins a obtenir la fracció irreductible:

Tres amics decideixen comprar un regal per a un company que es canvia d'institut. El primer aporta $\frac{2}{5}$ del preu total, el segon aporta $\frac{1}{3}$ del que queda i el tercer completa el pagament amb $16$ €.

1. a) Quina fracció del total representa la quantitat aportada pel segon amic?
2. b) Quin és el preu total del regal?
3. c) Quants diners va posar cadascun?

Un arquitecte està dissenyant una zona de jocs en un parc rectangular. Ha decidit dividir el terreny com es mostra a l'esquema següent:

Si la zona de "Gespa" ocupa exactament la meitat del terreny i la zona de "Gronxadors" és $\frac{3}{10}$ del total del parc:

1. a) Quina fracció del total representa la zona de "Sorra"?
2. b) Si el parc té una superfície total de $1200$ $m^2$, quants metres quadrats mesura la zona de "Sorra"?

Troba el valor de l'expressió següent tenint en compte la jerarquia de les operacions i les regles dels signes:

Un creador de contingut ha gravat un vídeo per al seu canal. Durant l'edició, retalla $\frac{1}{6}$ del metratge total per errors de so. Després, elimina $\frac{2}{5}$ del que quedava perquè el ritme era massa lent. Al final, el vídeo editat té una durada de $18$ minuts.

1. a) Quina fracció del metratge original representa el vídeo final de $18$ minuts?
2. b) Quant durava la gravació original abans de començar a editar?

Calcula el valor de la següent operació combinada amb potències d'exponent negatiu i simplifica el resultat:

En un laboratori de química, un recipient conté $2,4$ litres d'una solució àcida. Per a un experiment, s'extreuen primer $\frac{2}{3}$ del contingut. Després, s'hi afegeixen $0,5$ litres d'aigua destil·lada per rebaixar la mescla. Finalment, s'utilitzen $\frac{3}{5}$ de la mescla resultant.

1. a) Realitza totes les operacions treballant exclusivament amb fraccions.
2. b) Quants litres de mescla queden al final al recipient? Expressa el resultat tant en fracció com en nombre decimal.

Per preparar una prova per parelles a classe de Matemàtiques, has de plantejar un enigma numèric amb la següent igualtat incompleta:

1. a) Aplicant les propietats de les operacions inverses i respectant la jerarquia de les operacions, aïlla pas a pas i calcula quina fracció irreductible s'ha de col·locar al requadre $\Box$.
2. b) Explica, a partir de la regla dels signes del producte, per què el contingut del parèntesi havia de ser necessàriament negatiu i justifica per què la fracció buscada $\Box$ ha de ser més gran que $\frac{2}{5}$.
3. c) Comprova la solució substituint la fracció obtinguda en l'expressió original i resolent-la pas a pas.

A finals de primavera, un embassament de la conca hidrogràfica del Guadalquivir es troba ple fins als $\frac{4}{5}$ de la seva capacitat total. Durant l'estiu, a causa de l'evaporació i del reg agrícola, es consumeix $\frac{3}{8}$ de l'aigua que contenia l'embassament. Al setembre, gràcies a les primeres tempestes de tardor, entra una quantitat d'aigua equivalent a $\frac{1}{10}$ de la capacitat total de l'embassament.

1. a) Quina fracció de la capacitat total de l'embassament representa l'aigua consumida durant l'estiu?
2. b) Planteja una única operació combinada amb fraccions que expressi la fracció de la capacitat total que conté l'embassament després de les pluges de setembre, i calcula-la simplificant fins a la fracció irreductible.
3. c) Si la capacitat màxima total de l'embassament és de $160\text{ hm}^3$, quants hectòmetres cúbics d'aigua queden efectivament emmagatzemats en acabar el setembre?

Calcula el valor exacte de l'expressió combinada següent, transformant prèviament els nombres decimals en les seves fraccions generatrius respectives i simplificant els passos intermedis:

Una jove influencer està organitzant el seu pressupost mensual derivat de les seves col·laboracions. Destina $\frac{2}{5}$ dels seus ingressos al lloguer del seu estudi i $\frac{1}{4}$ de la resta a l'edició de vídeo. Si després d'aquestes despeses encara li queden $\frac{5}{9}$ del que quedaba per estalviar i encara disposa de $480$ € per a despeses personals, a quant ascendeixen els seus ingressos totals mensuals?

En un laboratori de química, un dipòsit conté una barreja d'alcohol i aigua. Inicialment, $\frac{2}{7}$ del contingut és alcohol. S'extreuen $12$ litres de la barreja i es substitueixen per $12$ litres d'alcohol pur. Si ara la barreja conté $\frac{2}{5}$ d'alcohol, quants litres de líquid hi ha en total al dipòsit?

Observa el disseny d'aquesta rajola moderna per a un centre cultural. El quadrat exterior té una àrea de $1$ m$^2$. S'han ombrejat diferents regions seguint un patró geomètric. Determina quina fracció del total representa la zona ombrejada de color taronja i calcula quants cm$^2$ li corresponen.

En una competició d'eSports, el premi total es reparteix de la manera següent: l'equip guanyador es emporta $\frac{4}{7}$ del total, el segon classificat $\frac{2}{3}$ del que queda, i el tercer classificat la resta. Si la diferència entre el premi del segon i el del tercer és de $3.500$ €, calcula el valor total del premi i quants diners rep cadascun dels tres equips.

Troba el valor de $x$ en la igualtat de potències següent amb nombres racionals, aplicant les propietats necessàries per simplificar l'expressió:

Un dron de vigilància fa un trajecte d'anada i tornada entre dues bases. A l'anada, vola amb el vent a favor a una velocitat constant. A la tornada, amb el vent en contra, la seva velocitat es redueix a les $\frac{3}{5}$ parts de la velocitat d'anada. Si el temps total de vol ha estat de $1$ hora i $20$ minuts, quina fracció del temps total ha emprat en el viatge de tornada? Expressa el resultat també en minuts i segons.

Tres socis inverteixen en un negoci tecnològic. El primer aporta $12.000$ €, el segon aporta les $\frac{2}{5}$ parts del total i el tercer aporta la mateixa quantitat que els altres dos junts menys $18.000$ €.

1. a) Quina és l'inversió total del negoci?
2. b) Quina fracció del total aporta cada soci? (Expressa les fraccions de forma irreductible).

Per calcular el valor exacte de l'expressió $M = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{8}{9} - \frac{16}{21} \right)$, la Sofía i el David debaten quin és el camí més intel·ligent:

• Mètode de la Sofía (parèntesi primer): troba el m.c.m. de $9$ i $21$, resol la resta de dins del parèntesi i després multiplica per $\frac{3}{4}$, simplificant la fracció resultant.

• Mètode del David (propietat distributiva): aplica la propietat distributiva calculant $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} - \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{21}$, simplificant cada producte abans de fer la resta.

1. a) Resol l'expressió seguint amb detall el mètode proposat per la Sofía fins a arribar a la fracció irreductible.
2. b) Resol l'expressió seguint el mètode del David, indicant amb claredat les simplificacions creuades prèvies a cada multiplicació.
3. c) Analitza la mida dels denominadors i numeradors amb què has operat en cada camí. Justifica quin dels dos mètodes és més eficaç i presenta menys risc d'error de càlcul en aquest cas concret.

En una exigent etapa de muntanya de la Vuelta a España:

• En el primer tram es retira $\frac{1}{12}$ dels ciclistes que han pres la sortida.

• En el segon tram, durant la pujada a un port de categoria especial, abandona $\frac{2}{11}$ dels corredors que encara continuaven en cursa.

• En el tercer tram, a causa d'una intensa pedregada en el descens, es retira $\frac{1}{3}$ dels ciclistes que han superat el port.

• A l'inici de la pujada final a meta queden únicament $60$ corredors disputant l'etapa.

1. a) Expressa mitjançant un producte encadenat de fraccions la part del pilot que continua en cursa tram a tram, i simplifica creuant factors per demostrar que els $60$ corredors representen exactament $\frac{1}{2}$ del pilot inicial.
2. b) Dedueix quants ciclistes van prendre la sortida al principi de l'etapa.
3. c) En la retransmissió televisiva, un comentarista assegura: «Com que s'ha retirat $\frac{1}{12}$ al principi, $\frac{2}{11}$ al port i $\frac{1}{3}$ a la baixada, sumem $\frac{1}{12} + \frac{2}{11} + \frac{1}{3} = \frac{79}{132}$, la qual cosa significa que gairebé el $60\,\%$ del pilot ha abandonat». Justifica amb precisió matemàtica el greu error conceptual del comentarista i indica quina és la fracció real del pilot inicial que va abandonar la cursa.

Repte del tema. Com influeix el temps en el nostre entorn? Converteix-te en analista meteorològic analitzant dades reals de la teva província.

1. Recollida de dades: Accedeix al web oficial d'AEMET i registra les temperatures màximes i mínimes (enters o decimals amb signe) i la precipitació dels últims $7$ dies.

2. Enters i fraccions: Calcula l'oscil·lació tèrmica diària ($T_{\text{màx}} - T_{\text{mín}}$) aplicant operacions amb nombres enters i decimals. Expressa mitjançant una fracció els dies amb pluja respecte al total setmanal, troba la seva fracció irreductible i troba'n una d'equivalent projectada a un mes de $28$ dies.

3. Càlcul i conclusions: Introdueix les dades en un full de càlcul per trobar la temperatura mitjana de la setmana i estima l'estalvi econòmic en reg sabent que cada litre recollit suposa $0,18$ € (la precipitació en l/m² indica els litres recollits per metre quadrat, així que expressa l'estalvi en €/m²). Redacta un informe breu raonant els teus resultats.

Es valorarà:

• Correcció en l'aplicació de signes i resta d'enters/decimals en l'oscil·lació tèrmica.

• Determinació rigorosa de la fracció irreductible i la seva equivalent.

• Precisió en les operacions combinades amb decimals al full de càlcul.

• Claredat i fonamentació matemàtica de l'informe final.