Exercicis: Fraccions. Fraccions equivalents.

En una rajola de xocolata com la de la imatge, hem consumit els troços que estan acolorits de taronja.

1. a) Escriu la fracció que representen els troços consumits respecte al total de la rajola.
2. b) Simplifica la fracció anterior fins a arribar a la seva fracció irreductible.

Un grup d'amics està comparant l'èxit de les seves publicacions a les xarxes socials. La Lucía diu que $2$ de cada $5$ seguidors li han donat un "m'agrada" a la seva última foto.

1. a) Escriu la fracció de "m'agrada" de la Lucía.
2. b) Obtén una fracció equivalent per amplificació multiplicant tots dos termes per $3$.
3. c) Obtén una altra fracció equivalent si la Lucía tingués un total de $50$ seguidors.

En un videojoc, has aconseguit $45$ monedes d'un total de $60$ que hi havia al nivell. Per d'altra banda, el teu germà n'ha aconseguit $15$ d'un total de $20$ a la seva partida.

Utilitza la regla dels productes creuats per comprovar si les dues fraccions de monedes aconsegides són equivalents.

Observa els rectangles següents de la mateixa mida. El primer està dividit en $4$ parts iguals i el segon en $8$ parts iguals.

1. a) Escriu la fracció ombrejada de la Figura A.
2. b) Escriu la fracció ombrejada de la Figura B.
3. c) Són equivalents? Justifica la teva resposta observant el dibuix i fent el càlcul.

Per preparar un batut de fruites, la recepta indica que hem d'utilitzar $\frac{3}{4}$ de litre de llet. Si volem preparar una quantitat més gran mantenint la proporció i el nou recipient graduat marca vuitens de litre ($8$ parts):

Troba el valor de $x$ perquè les fraccions siguin equivalents:

A la biblioteca de l'institut, l'encarregat ens diu que $\frac{12}{30}$ dels llibres són d'aventures. Ajuda'l a simplificar aquesta fracció per posar-la en un cartell:

1. a) Divideix el numerador i el denominador entre $2$.
2. b) Divideix el resultat anterior entre $3$.
3. c) És la fracció obtinguda a l'apartat b una fracció irreductible? Per què?

Copia al teu quadern i completa el terme que falta en cada cas perquè les parelles de fraccions siguin equivalents:

1. a) $\frac{1}{3} = \frac{\Box}{12}$

1. b) $\frac{10}{15} = \frac{2}{\Box}$

1. c) $\frac{\Box}{7} = \frac{20}{28}$

Identifica, d'aquesta llista, quines de les fraccions són equivalents a $\frac{2}{3}$:

En un examen de Matemàtiques, la Lucía ha de trobar una fracció equivalent a $\frac{4}{9}$ que tingui per numerador $12$. La Lucía escriu al seu full:

«Com que per passar de $4$ a $12$ he de sumar $8$, faig el mateix al denominador: $\frac{4}{9} = \frac{4+8}{9+8} = \frac{12}{17}$. Per tant, $\frac{12}{17}$ és equivalent a $\frac{4}{9}$».

1. a) Explica detalladament per què el procediment de la Lucía és incorrecte, basant-te en la definició d'amplificació de fraccions i comprovant el producte encreuat d'ambdues fraccions.
2. b) Corregeix el seu exercici calculant la vertadera fracció equivalent a $\frac{4}{9}$ amb numerador $12$.

Observa les fraccions $\frac{12}{24}$ i $\frac{21}{40}$.

1. a) Estima: Sense fer productes encreuats ni simplificacions per escrit, compara mentalment cadascuna d'elles amb el valor de referència $\frac{1}{2}$ i dedueix si poden ser equivalents o no. Explica amb les teves paraules el teu raonament inicial.
2. b) Comprova: Fes la comprovació matemàtica rigorosa mitjançant la regla dels productes encreuats per confirmar si la teva estimació era encertada.

Dos dissenyadors gràfics estan treballant amb quadrícules per crear un logotip. El primer dissenyador ha ombrejat $\frac{12}{20}$ de la seva quadrícula, mentre que el segon ha ombrejat $\frac{18}{30}$ de la seva. Observa les representacions gràfiques següents i raona si tots dos han ombrejat la mateixa proporció de superfície, comprovant si les fraccions són equivalents.

En una competició d'e-sports, un jugador ha completat $42$ dels $60$ nivells d'un videojoc. Un altre jugador porta completada la mateixa proporció de nivells, però el joc a què juga té un total de $90$ nivells. Quants nivells ha superat el segon jugador? Resol-ho cercant el terme desconegut $x$ en la igualtat de fraccions equivalents.

Simplifica les fraccions següents fins a obtenir la seva fracció irreductible. Per fer-ho, utilitza el mètode de dividir numerador i denominador pel seu màxim comú divisor (m.c.d.):

1. a) $\dfrac{126}{180}$

1. b) $\dfrac{210}{315}$

1. c) $\dfrac{154}{198}$

Un influencer analitza l'impacte dels seus vídeos. En el primer, va obtenir $36$ "m'agrada" per cada $80$ visualitzacions. En el segon, va obtenir $45$ "m'agrada" per cada $100$ visualitzacions. Utilitza la regla del producte creuat per determinar si la proporció d'èxit és equivalent en tots dos vídeos.

Troba el valor de la incògnita $n$ en cadascuna de les igualtats següents perquè les fraccions siguin equivalents:

1. a) $\dfrac{n}{15} = \dfrac{12}{45}$

1. b) $\dfrac{7}{n} = \dfrac{28}{36}$

1. c) $\dfrac{10}{18} = \dfrac{25}{n}$

De les fraccions següents, identifica quina és la que no pertany al grup de fraccions equivalents. Justifica la teva resposta simplificant-les totes fins a la seva fracció irreductible.

Per fer un experiment de química, un laboratori necessita barrejar líquids en una proporció de $\frac{3}{8}$. Si disposen d'un recipient amb $120$ ml de capacitat total per a la barreja, quina quantitat de líquid actiu han d'abocar si volen mantenir la mateixa proporció? Representa la situació mitjançant dues fraccions equivalents on el denominador de la segona sigui $120$.

Dibuixa al teu quadern una recta numèrica (marca el 0 i l'1, i fes servir una unitat prou gran, per exemple 8 quadradets) i representa-hi les fraccions següents. Demostra gràficament que són equivalents observant que totes se situen en el mateix punt de la recta:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A la línia de Rodalies de Madrid C-5, Renfe fa una auditoria de puntualitat durant una setmana:

• Al tram Móstoles El Soto - Atocha, van arribar puntuals $72$ dels $90$ trens programats.

• Al tram Atocha - Fuenlabrada Central, es van programar $150$ trens en total, i la companyia assegura que la taxa de puntualitat va ser exactament equivalent a la del primer tram.

1. a) Modela la proporció de puntualitat del primer tram mitjançant una fracció i simplifica-la pas a pas fins a obtenir la seva fracció irreductible.
2. b) Planteja una igualtat de fraccions equivalents per esbrinar quants trens van haver d'arribar puntuals al segon tram perquè l'afirmació de la companyia sigui certa. Utilitza els productes encreuats per resoldre-ho.

Per comprovar si les fraccions $\frac{84}{126}$ i $\frac{140}{210}$ són equivalents, dos alumnes de 2n d'ESO proposen camins diferents:

• El Sergio proposa utilitzar directament el criteri del producte encreuat calculant $84 \cdot 210$ i $126 \cdot 140$.

• La Laura proposa simplificar prèviament ambdues fraccions fins a la seva fracció irreductible dividint numerador i denominador entre el seu màxim comú divisor ($\text{m.c.d.}$).

1. a) Analitza els avantatges i els desavantatges de cada mètode tenint en compte la mida dels nombres i el risc de cometre errors de càlcul sense calculadora. Justifica quin dels dos mètodes és més convenient en aquest cas.
2. b) Aplica el mètode de la Laura per comprovar si les fraccions són equivalents, indicant el $\text{m.c.d.}$ dels termes de cada fracció i la fracció irreductible obtinguda en cada cas.

En una competició de robòtica, dos robots han de recórrer la mateixa distància, des de la Sortida fins a la Meta. El primer robot ha completat $\frac{42}{105}$ del trajecte. El segon robot ha recorregut una fracció equivalent a l'anterior, però el seu numerador i el seu denominador són nombres naturals la suma dels quals és exactament $112$.

Quina fracció del trajecte ha recorregut el segon robot? Justifica si tots dos robots se troben en el mateix punt de la pista i calcula la fracció irreductible que representa la posició de tots dos.

Cerca una fracció equivalent a $\frac{126}{198}$ que compleixi les condicions següents de manera simultània:

1. El seu denominador és un nombre comprès entre $50$ i $100$.

2. La suma de les xifres del numerador i la suma de les xifres del denominador són, cadascuna per separat, múltiples de $9$.

3. És una fracció pròpia.

Explica pas a pas el procés de simplificació i amplificació que has seguit per trobar-la.

Un dissenyador d'interfícies està treballant en la resolució d'una pantalla nova. La relació d'aspecte és de $16:9$ (cosa que significa que per cada $16$ unitats d'amplada n'hi ha $9$ d'alçada). Dibuixa l'esquema al teu quadern. Si l'amplada de la pantalla es defineix amb un nombre $x$ i l'alçada amb un nombre $y$, troba els valors de $x$ i $y$ sabent que:

• $\frac{x}{y}$ és equivalent a $\frac{16}{9}$.

• L'àrea del rectangle format ($x \cdot y$) és de $576$ unitats quadrades.

• $x$ i $y$ han de ser nombres naturals.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la fracció $\frac{A}{B}$, sabem que és equivalent a $\frac{4}{7}$. Si al numerador li sumem $12$ unitats, perquè la nova fracció sigui equivalent a l'original, el denominador ha d'augmentar en $21$ unitats.

Demostra si aquesta afirmació és certa per a qualsevol valor inicial de $A$ i $B$ que mantingui la proporció $\frac{4}{7}$. A continuació, troba una fracció equivalent a $\frac{4}{7}$ tal que el producte dels seus termes ($A \cdot B$) sigui $700$.

En un videojoc d'estratègia, la salut d'un personatge es representa amb una barra. Actualment, el personatge té $\frac{15}{24}$ de la seva vida total. El jugador consumeix una poció que augmenta la vida actual en una quantitat tal que la nova fracció de vida és equivalent a $\frac{11}{12}$ de la vida total.

Si el denominador de la vida total (la capacitat màxima) és de $120$ punts, quants punts de vida exactes ha recuperat el personatge amb la poció? Expressa totes les fraccions del problema amb denominador $120$ abans de resoldre'l.

Tres germans es reparteixen el premi en metàl·lic d'un concurs de matemàtiques de la manera següent: el gran rep $\frac{24}{60}$ del total, el mitjà rep una fracció equivalent a $\frac{18}{45}$ i el petit la resta.

1. Calcula la fracció irreductible del que rep cadascun dels dos germans grans.

2. Qui rep més diners, el gran o el mitjà?

3. Quina fracció del total rep el germà petit? És major o menor que les parts dels seus germans?

Troba el valor de la incògnita $n$ perquè les fraccions següents siguin equivalents:

Un cop trobat $n$, troba una altra fracció equivalent a les anteriors el denominador de la qual sigui el quadrat de $n$. És possible que el numerador d'aquesta última fracció sigui un nombre primer? Raona la teva resposta.

Considera el nombre decimal periòdic pur $1,\widehat{36}$ i el nombre decimal periòdic mixt $1,3\widehat{6}$.

1. Troba les fraccions generatrius d'ambdós nombres i simplifica-les fins que siguin irreductibles.

2. És alguna d'aquestes fraccions equivalent a $\frac{60}{44}$?

3. Hi ha algun nombre natural pel qual hagis de multiplicar el denominador de la fracció generatriu d'$1,\widehat{36}$ per obtenir com a resultat el denominador de la fracció generatriu d'$1,3\widehat{6}$? Justifica la teva resposta.

Determina dues fraccions positives $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ sabent que totes dues tenen com a fracció irreductible comuna $\frac{5}{8}$ i que compleixen els requisits independents següents:

1. a) A la fracció $\frac{a}{b}$, el producte del seu numerador pel seu denominador és exactament $1000$. Dedueix el factor natural pel qual s'ha amplificat la fracció irreductible i escriu la fracció $\frac{a}{b}$.
2. b) A la fracció $\frac{c}{d}$, la suma del seu numerador i el seu denominador és igual al menor múltiple comú de $13$ i $3$ comprès estrictament entre $100$ i $200$. Determina el factor d'amplificació corresponent i escriu la fracció $\frac{c}{d}$.
3. c) Comprova que les fraccions $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ obtingudes són equivalents entre si aplicant la regla dels productes encreuats.

El Ministeri per a la Transició Ecològica (MITECO) publica les dades següents sobre dos embassaments d'una mateixa conca hidrogràfica:

• L'embassament de Valdecañas té una capacitat màxima de $160\text{ hm}^3$ i conté actualment $64\text{ hm}^3$ d'aigua.

• L'embassament d'Alarcón té una capacitat total desconeguda $C$, però se sap que si rebés $15\text{ hm}^3$ addicionals assoliria un volum embassat de $55\text{ hm}^3$. A més, els tècnics confirmen que la proporció actual d'aigua respecte a la seva capacitat total és exactament la mateixa que a Valdecañas (les seves fraccions d'ompliment són equivalents).

1. a) Modela la situació plantejant la igualtat de fraccions entre ambdós embassaments i calcula raonadament la capacitat total $C$ d'Alarcón mitjançant productes encreuats.
2. b) Durant el mes següent, les pluges afegeixen exactament $20\text{ hm}^3$ d'aigua a cadascun dels dos embassaments. Un portaveu afirma: «Com que als dos embassaments els ha entrat exactament el mateix volum d'aigua, les seves proporcions d'ompliment respecte a les seves capacitats totals continuen sent equivalents». Demostra matemàticament si l'afirmació del portaveu és vertadera o falsa calculant la fracció irreductible del nou ompliment de cada embassament.