Exercicis: Concepte

En un sopar amb amics, heu demanat una pizza familiar que ve dividida en $8$ racions iguals. Si tu t'has menjat $3$ racions, identifica els termes de la fracció que representa la part de pizza que has consumit.

1. a) Quin és el numerador i què indica en aquest context?
2. b) Quin és el denominador i què indica en aquest context?

La bateria del teu telèfon mòbil té una capacitat total de $4500$ mAh. Si a la pantalla apareix que et queda exactament $\frac{2}{9}$ de la càrrega total, quants mAh de bateria tens disponibles en aquest moment?

Observa les figures geomètriques següents i escriu la fracció que representa la part acolorida en cada cas. Després, indica quina d'elles és una fracció pròpia i quina és una fracció igual a la unitat.

Classifica les fraccions següents en pròpies o impròpies. Recorda que per diferenciar-les t'has de fixar en la relació entre el numerador i el denominador:

Simplifica les fraccions següents fins a obtenir la seva fracció irreductible:

1. a) $\frac{15}{20}$
2. b) $\frac{24}{36}$
3. c) $\frac{10}{100}$

Després d'un entrenament d'atletisme, has begut $\frac{7}{3}$ de litre d'aigua. Expressa aquesta quantitat com un nombre mixt per saber quants litres complets i quina fracció del següent has consumit.

A la figura, cada litre està dividit en 3 parts iguals (terços) i es mostra sobre una recta numèrica. Pots utilitzar-la per ajudar-te.

Escriu l'oposat i l'invers de cadascuna de les fraccions següents. Para atenció al signe:

1. a) $\frac{2}{5}$
2. b) $-\frac{3}{7}$
3. c) $4$ (recorda que un nombre enter també es pot escriure com a fracció)

Compara els parells de nombres racionals següents utilitzant els signes $<$ (menor que), $>$ (major que) o $=$ (igual que):

1. a) $\dfrac{4}{7} \square \dfrac{6}{7}$

1. b) $\dfrac{3}{2} \square \dfrac{3}{5}$

1. c) $\dfrac{1}{3} \square \dfrac{4}{12}$

En un examen de Matemàtiques sobre nombres racionals, Marcos havia de respondre a una pregunta sobre el nombre $-\frac{3}{5}$. Al seu full va escriure:

«L'invers de $-\frac{3}{5}$ és $\frac{5}{3}$, perquè en invertir una fracció sempre canvia el seu signe i passa a ser positiva».

1. a) Explica quins dos conceptes teòrics diferents està confonent Marcos i per què la seva afirmació matemàtica és incorrecta.
2. b) Escriu amb claredat quin és l'oposat i quin és l'invers de $-\frac{3}{5}$, justificant cadascun a partir de la seva definició.

En una etapa de muntanya de la Vuelta Ciclista a España, l'organització situa una pancarta especial d'esprint en el punt quilomètric que correspon exactament als $\frac{47}{6}$ d'una pujada de referència.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul exacte, estima raonadament entre quins dos quilòmetres enters consecutius es troba aquesta pancarta i a quin dels dos creus que estarà més a prop.
2. b) Converteix la fracció $\frac{47}{6}$ a nombre mixt (enter més fracció pròpia) i comprova si la teva estimació era correcta. Explica com la fracció pròpia restant et confirma a quin nombre enter s'aproxima més el punt quilomètric.

En un centre de dades, el panell d'emmagatzematge està dividit en mòduls idèntics. Observa la representació gràfica següent on els quadres acolorits indiquen l'espai ocupat per la base de dades d'una xarxa social.

1. a) Escriu la fracció que representa l'espai ocupat i la fracció que representa l'espai lliure.
2. b) Es tracta d'una fracció pròpia o impròpia? Justifica la teva resposta comparant el numerador i el denominador.

Per preparar una barreja de pintura lila, un artista utilitza $\frac{4}{10}$ de litre de color blau per cada litre de pintura blanca. Si l'artista vol mantenir exactament la mateixa tonalitat però necessita fabricar una quantitat més gran:

1. a) Troba el valor de $x$ en la igualtat següent perquè les fraccions siguin equivalents: $\frac{4}{10} = \frac{x}{25}$.
2. b) Escriu tres fraccions equivalents a $\frac{4}{10}$ per amplificació i una per simplificació.

En un campionat escolar de bàsquet, l'equip dels "Tigres" ha anotat $48$ cistelles de $72$ intents, mentre que els "Halcones" han anotat $36$ cistelles de $54$ intents.

1. a) Escriu la fracció d'encert de cada equip.
2. b) Redueix totes dues fraccions a la seva forma irreductible utilitzant el mètode del màxim comú divisor (M.C.D.).
3. c) Veient els resultats, quin dels dos equips té una millor proporció d'encert?

En un experiment de laboratori, es registra la variació de la temperatura d'un fluid respecte a la temperatura ambient. S'obtenen els valors següents en graus Celsius:

1. a) Representa de forma aproximada aquests nombres en una recta numèrica.
2. b) Ordena els valors de menor a major (de més fred a més càlid).
3. c) Indica quin d'aquests valors té el valor absolut més gran.

Classifica les expressions següents indicant si representen un nombre natural, un nombre enter (però no natural) o un nombre racional no enter:

1. a) $\frac{15}{3}$
2. b) $-\frac{12}{4}$
3. c) $\frac{7}{5}$
4. d) $\frac{0}{8}$
5. e) $-\frac{1}{2}$
6. f) $\frac{24}{6}$

Troba el terme desconegut $x$ en cadascuna de les igualtats següents perquè les fraccions siguin equivalents:

1. a) $\frac{x}{12} = \frac{20}{48}$

1. b) $\frac{5}{9} = \frac{x}{45}$

1. c) $\frac{14}{x} = \frac{2}{7}$

1. d) $\frac{27}{81} = \frac{1}{x}$

Ordena de menor a major els nombres racionals següents. Per fer-ho, redueix-los primer a denominador comú utilitzant el mínim comú múltiple:

Tres amics estan completant un àlbum de cromos de futbol. L'Àlex ha enganxat $\frac{1}{3}$ del total de cromos, la Beatriz n'ha enganxat $\frac{2}{5}$ del total i la resta de cromos els té en Wei.

1. a) Quina fracció de l'àlbum ha completat en Wei?
2. b) Si l'àlbum té un total de $300$ cromos, quants n'ha enganxat cadascun?
3. c) Quin dels tres amics ha enganxat més cromos?

Per reduir la fracció $\frac{420}{1260}$ a la seva forma irreductible, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Sofía proposa: «Aniré dividint successivament numerador i denominador aplicant criteris de divisibilitat senzills (entre 2, entre 3, entre 5...) fins que no pugui més».

• Mateo proposa: «Prefereixo descompondre tots dos nombres en factors primers, calcular el $\text{m.c.d.}(420, 1260)$ i fer una única divisió».

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas al teu quadern per obtenir la fracció irreductible.
2. b) Valora críticament els dos procediments: quins avantatges i inconvenients té cada mètode en aquest cas amb nombres de tres i quatre xifres? Per què calcular el $\text{m.c.d.}$ garanteix matemàticament que la fracció obtinguda no es pot simplificar més?

Un estudi sobre sostenibilitat urbana en dos municipis espanyols analitza l'ús de la bicicleta. Al municipi A, 180 de cada 450 persones enquestades utilitzen la bicicleta diàriament. Al municipi B, 252 de cada 588 persones enquestades afirmen utilitzar-la diàriament.

1. a) Modela la proporció de ciclistes diaris de cada municipi mitjançant una fracció irreductible.
2. b) Sense calcular l'expressió decimal de les fraccions, compara totes dues proporcions a partir de les seves formes irreductibles i indica raonadament en quin municipi hi ha un hàbit d'ús de la bicicleta més gran.
3. c) Justifica a quins conjunts numèrics ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o només $\mathbb{Q}$) pertanyen els valors d'aquestes proporcions i què hauria de passar teòricament a l'enquesta perquè la fracció resultant pertanyés al conjunt $\mathbb{N}$.

En una excavació arqueològica s'ha trobat un papir que descriu un repartiment de terres utilitzant fraccions unitàries (aquelles el numerador de les quals és 1). L'escriba va anotar que la parcel·la d'un agricultor és la suma de tres fraccions unitàries diferents i que el total suma $\frac{13}{12}$ de la unitat bàsica de mesura.

Si sabem que el denominador més petit d'aquestes fraccions és $2$, troba els altres dos denominadors perquè la igualtat sigui correcta.

Observa la figura geomètrica següent que representa un panell solar quadrat de costat $L$. El panell està dividit en diferents seccions per maximitzar-ne l'eficiència.

Calcula quina fracció de l'àrea total del quadrat representa la regió ombrejada A. Si l'àrea total és de $1$ metre quadrat, expressa l'àrea de la regió B com una fracció irreductible.

Dos amics, la Amina i el Diego, estan comparant les seves marques en una cursa d'obstacles. La Amina ha completat $\frac{5}{7}$ del recorregut i el Diego $\frac{6}{7}$. Un tercer corredor, el Mateo, es troba en algun punt entre tots dos (no necessàriament al punt mitjà).

Troba una fracció que representi la posició del Mateo de manera que el seu denominador sigui un nombre primer major que $10$. Justifica si existeix més d'una possibilitat.

Analitza la propietat de les fraccions següent: "Si tenim una fracció pròpia positiva $\frac{n}{d}$ (on $n < d$) i sumem el mateix nombre natural $k$ tant al numerador com al denominador, obtenim una nova fracció $\frac{n+k}{d+k}$".

Demostra, utilitzant com a exemple la fracció $\frac{2}{5}$ i sumant-hi $k=3$, si la nova fracció és major, menor o igual que l'original. Es mantindria aquesta conclusió si la fracció original fos impròpia ($\frac{5}{2}$)?

Un dissenyador gràfic està creant un logotip basat en un hexàgon regular. Ha dividit l'hexàgon unint els seus vèrtexs oposats per formar sis triangles equilàters. Posteriorment, ha dividit un d'aquests triangles en quatre triangles més petits unint els punts mitjans dels seus costats.

Si ombregem un d'aquests triangles minúsculs (com es mostra en el color taronja), quina fracció de l'àrea total de l'hexàgon representa? Expressa el resultat com una fracció irreductible.

Cerca una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ que compleixi les següents tres condicions simultàniament:

1. És més gran que $\frac{3}{5}$ però més petita que $\frac{2}{3}$.

2. La suma del seu numerador i el seu denominador és un nombre múltiple de $13$.

3. El denominador $b$ és un nombre parell menor que $20$.

Justifica els passos seguits per trobar-la.

En una estació meteorològica d'alta muntanya, s'han registrat les variacions de temperatura següents respecte a la mitjana estacional, en graus Celsius:

• Dilluns: $-\frac{9}{4}\ ^\circ\text{C}$

• Dimarts: $-2,1\overset{\frown}{6}\ ^\circ\text{C}$ (el 6 es repeteix: $-2,1666\ldots$)

• Dimecres: $-|-2,2|\ ^\circ\text{C}$

• Dijous: $-\frac{22}{10}\ ^\circ\text{C}$

Representa aquests quatre valors en una recta numèrica com la de la figura (copia-la al teu quadern) i ordena'ls de manera creixent (de menor a major) utilitzant els símbols $<$ i $=$ quan calgui. Justifica la teva resposta passant tots els nombres a la seva forma de fracció irreductible.

Dissenya un mosaic quadrat per a una piscina. El mosaic es divideix en tres zones de diferents colors:

• La Zona A ocupa $\frac{2}{5}$ del total.

• La Zona B ocupa $\frac{3}{7}$ del que queda després de delimitar la Zona A.

• La Zona C ocupa la resta de la superfície.

Si la superfície total de la piscina és de $140 \text{ m}^2$, calcula quina fracció del total representa la Zona C i quants metres quadrats li corresponen. Expressa el resultat de la superfície de la Zona C com un nombre decimal exacte.

Troba una fracció positiva i irreductible $\frac{a}{b}$ que compleixi de manera simultània aquestes tres condicions:

1. La seva expressió com a nombre mixt té com a part sencera el nombre 3 (és a dir, $\frac{a}{b} = 3 + \frac{r}{b}$, amb $0 < r < b$).

2. L'invers de la fracció pròpia restant $\frac{r}{b}$ és un nombre enter exacte.

3. El producte del numerador pel denominador, $a \cdot b$, és un nombre estrictament més gran que 50 i menor que 80.

Dedueix pas a pas quin valor o valors poden tenir $a$ i $b$, raonant per què la condició que la fracció inicial sigui irreductible obliga que $r = 1$ i descartant amb arguments matemàtics les opcions que no compleixin totes les restriccions.

Durant una posada en comú a l'aula, Carla planteja la següent afirmació sobre simplificació i equivalència de fraccions:

«Si tinc qualsevol fracció pròpia i irreductible $\frac{a}{b}$ (amb $a < b$) i li sumo un mateix nombre natural $k$ ($k > 0$) tant al numerador com al denominador, obtinc una fracció equivalent $\frac{a+k}{b+k}$, perquè a totes dues parts els he afegit exactament la mateixa quantitat».

1. a) Proporciona un contraexemple numèric senzill per demostrar que la nova fracció obtinguda per Carla no és equivalent a l'original.
2. b) Fent servir els valors del teu contraexemple, determina si la nova fracció és més gran o més petita que l'original.
3. c) Explica per què el raonament de Carla és un error conceptual: justifica quin tipus de relació (additiva o multiplicativa) defineix les fraccions equivalents i raona per què en sumar $k$ a tots dos termes d'una fracció pròpia, el valor resultant s'aproxima a 1 en lloc de romandre constant.