Exercicis: Raó

En una xarxa social, un vídeo d'un influencer ha aconseguit $450$ «m'agrada» després de ser visualitzat per $3000$ persones. Calcula la raó entre el nombre de «m'agrada» i el nombre de visualitzacions, simplifica el resultat i interpreta què significa el valor obtingut.

Una botiga de videojocs ofereix un pack de $3$ fundes per a comandaments per $12,60$ €. Expressa la raó entre el preu i el nombre de fundes. Com anomenaríem habitualment aquest resultat en el llenguatge quotidià?

Calcula la raó entre la base i l'alçada de la pantalla de la tauleta següent i explica si el resultat seria el mateix si la tauleta fos el doble de gran mantenint la mateixa forma.

En un examen de Matemàtiques de $20$ preguntes, la Nerea ha contestat correctament $15$ i n'ha fallat $5$. Escriu la raó entre:

1. a) El nombre d'encerts i el nombre d'errors.
2. b) El nombre d'encerts i el total de preguntes.

Indica en cada cas quin és l'antecedent i quin és el conseqüent.

Per preparar una barreja de pintura de color taronja, un artista utilitza $3$ potets de pintura vermella per cada $2$ potets de pintura groga.

1. a) Expressa la raó entre la pintura vermella i la groga.
2. b) Si vol mantenir el mateix tó i utilitza $6$ potets de pintura groga, quants potets de vermella necessitarà?

Un patinet elèctric recorre $12$ quilòmetres en $30$ minuts. Calcula la raó entre la distància recorreguda i el temps emprat (expressat en hores). Quina magnitud física representa aquesta raó?

En un entrenament de bàsquet, Marc ha encistellat $8$ tirs de $12$ intents, mentre que Paula n'ha encistellat $6$ de $9$ intents.

1. a) Escriu la raó d'encerts de cadascun.

1. b) Comprova si les dues raons formen una proporció. Qui té millor punteria?

Donada la raó $\frac{4}{5}$, inventa un context real per a adolescents (per exemple, relacionat amb el cinema, la roba o l'esport) on s'utilitzin aquestes quantitats i explica'n el significat. Indica quines són les magnituds que estàs comparant.

En una classe de 2n d'ESO hi ha $12$ noies i $18$ nois. En Marcos afirma en veu alta: «La raó entre noies i nois és $\dfrac{12}{30}$, que en simplificar queda $\dfrac{2}{5}$, cosa que significa que per cada $2$ noies hi ha $5$ nois a la nostra classe».

1. a) Detecta i explica l'error conceptual que ha comès en Marcos en construir els termes de la raó. Quina magnitud ha col·locat al denominador en realitat?
2. b) Escriu la raó correcta entre noies i nois, simplifica-la fins a obtenir una fracció irreductible i interpreta amb les teves pròpies paraules què significa el resultat en aquest context.
3. c) Si a l'institut veí es manté exactament aquesta mateixa raó entre noies i nois i sabem que hi ha $24$ nois, quantes noies hi ha en aquest institut? Escriu la proporció corresponent i troba el valor desconegut.

En un obrador de rebosteria artesanal de Toledo s'elabora massapà tradicional utilitzant únicament ametlla mòlta i sucre. El mestre pastisser indica que la raó entre la massa d'ametlla i la massa de sucre ha de ser exactament de $3$ a $2$ (és a dir, $\dfrac{3}{2}$).

1. a) Proposa dues combinacions diferents de quantitats d'ametlla i sucre (en grams) que respectin exactament aquesta raó, de manera que la massa total de la barreja no superi en cap cas els $600\text{ g}$.
2. b) Si disposes d'un paquet tancat de $450\text{ g}$ d'ametlla mòlta i vols utilitzar-lo completament sense que sobri res, quina quantitat exacta de sucre has d'afegir per mantenir la proporció? Planteja la proporció formal abans d'aïllar la incògnita.
3. c) Un aprenent afirma que barrejant $350\text{ g}$ d'ametlla amb $250\text{ g}$ de sucre es manté la proporció perquè «ha sumat $50\text{ g}$ a cada ingredient respecte a la barreja de $300\text{ g}$ i $200\text{ g}$». Justifica matemàticament mitjançant raons per què el seu raonament és erroni.

En una plataforma de streaming, un moderador ha comptabilitzat que en els últims $45$ minuts han aparegut $1350$ missatges al xat de l'emissió.

1. a) Calcula la raó entre el nombre de missatges i el temps transcorregut en minuts.
2. b) Explica què significa el resultat obtingut en el context del problema.
3. c) Si la raó es manté constant, quants missatges es rebran en una hora completa?

Per a una festa de fi de curs, els alumnes estan comparant dues ofertes de bosses de patates fregides per veure quina és més econòmica. La marca «Crunch» ofereix una bossa de $250$ g per $1,75$ €, mentre que la marca «Snack» ven una bossa de $400$ g per $2,60$ €.

1. a) Calcula la raó entre el preu i el pes (en euros per gram) per a cada marca.
2. b) Utilitzant les raons obtingudes, indica quina de les dues marques és més barata.

Un dissenyador gràfic està treballant amb dos formats d'imatge. El primer format té unes dimensions de $12$ cm d'amplada i $18$ cm d'alçada. El segon format té $20$ cm d'amplada i $30$ cm d'alçada.

1. a) Calcula la raó entre l'amplada i l'alçada per a cadascun dels formats.
2. b) Són proporcionals, aquestes dimensions? Justifica la teva resposta comparant les raons.

Per aconseguir un tó de pintura verd oliva, un pintor barreja potets de pintura blanca, groga i negra. La raó entre la quantitat de pintura groga i pintura blanca és de $3/4$, i la raó entre la pintura negra i la groga és de $1/5$.

Si per a una habitació ha utilitzat $2$ litres de pintura blanca:

1. a) Quants litres de pintura groga ha necessitat?
2. b) Quina és la raó entre la pintura negra i la pintura blanca en aquesta barreja?

En un entrenament de bàsquet, la Lucía ha encistellat $18$ dels seus $30$ llançaments a cistella, mentre que en Marcos ha encistellat $14$ dels seus $20$ llançaments.

1. a) Calcula la raó d'encerts (tirs encistellats cap a tirs totals) de cada jugador en forma de nombre decimal.
2. b) Quin dels dos jugadors ha tingut un millor rendiment en l'entrenament?

S'ha construït una maqueta d'un nou poliesportiu municipal. L'edifici real té una longitud total de $75$ metres, mentre que a la maqueta aquesta mateixa distància mesura $30$ centímetres.

1. a) Calcula la raó entre la mesura de la maqueta i la mesura real (recorda expressar totes dues en la mateixa unitat).
2. b) Quina és l'escala del plànol utilitzada per a la maqueta?

La densitat de població és la raó entre el nombre d'habitants d'un territori i la seva superfície expressada en $km^2$. Observa les dades d'aquestes dues províncies fictícies:

• Província A: $450\,000$ habitants i $15\,000$ $km^2$.

• Província B: $280\,000$ habitants i $7\,000$ $km^2$.

1. a) Calcula la densitat de població de cada província i interpreta el resultat.
2. b) Quina de les dues províncies està més «poblada» en relació amb la seva mida?

En un institut de secundària, la raó entre el nombre d'alumnes i el nombre de professors és de $18$.

1. a) Explica mitjançant una frase què significa aquest valor de la raó.
2. b) Si a l'institut hi ha actualment $32$ professors, quants alumnes hi ha matriculats?
3. c) Si per al pròxim any s'espera que el nombre d'alumnes augmenti fins als $630$, quants professors hi hauria d'haver per mantenir la mateixa raó?

En una etapa de mitja muntanya de La Vuelta ciclista a Espanya s'analitzen dos ports de muntanya:

• L'Alto del Roble té una longitud horitzontal de $6\text{ km}$ i salva un desnivell acumulat de $420\text{ m}$.

• L'Alto de las Hazas té una longitud horitzontal de $9\text{ km}$ i salva un desnivell acumulat de $540\text{ m}$.

(La raó entre el desnivell en metres i la distància en quilòmetres determina l'exigència mitjana del port en $\text{m/km}$).

1. a) Abans de calcular cap quocient exacte, arrodoneix mentalment les dades i estima raonadament quin dels dos ports creus que és més costerut (major raó desnivell/distància). Explica en què t'has fixat per formular la teva estimació.
2. b) Calcula amb precisió la raó entre el desnivell i la distància per a cada port, expressant el resultat com a nombre decimal. Comprova si la teva estimació inicial era correcta.
3. c) L'organització vol dissenyar un nou tram d'enllaç de $5\text{ km}$ amb la mateixa raó desnivell/distància que l'Alto del Roble. Planteja la proporció formal i calcula quants metres de desnivell ha de tenir aquest tram. Valora si el resultat obtingut és coherent amb els pendents de l'etapa.

Segons les dades del Padró Municipal publicades per l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la província de Sòria compta amb uns $90\,000$ habitants en una superfície aproximada de $10\,300\text{ km}^2$, mentre que la província de Pontevedra compta amb uns $945\,000$ habitants en una superfície d'uns $4500\text{ km}^2$.

1. a) Modela matemàticament aquesta situació plantejant la raó que defineix la densitat de població (nombre d'habitants per quilòmetre quadrat) per a cadascuna de les dues províncies. Calcula el seu valor decimal arrodonint a les dècimes.
2. b) Interpreta el significat real d'ambdós valors decimals: què representa aquest nombre en la vida quotidiana i en la distribució espacial dels habitants de cada província?
3. c) Si una comarca de l'interior de Pontevedra té una superfície de $350\text{ km}^2$ i manté exactament la mateixa densitat mitjana provincial, quants habitants hi resideixen? Planteja la proporció formal $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ i calcula la incògnita mitjançant la propietat dels productes encreuats.

En un taller de pintura artística, es estan creant dues tonalitats de color verd esmeralda barrejant pintura blava i groga. La Barreja A conté $5$ parts de pintura blava per cada $3$ de pintura groga. La Barreja B utilitza $8$ parts de pintura blava per cada $5$ de pintura groga.

1. a) Determina la raó entre el blau i el groc en totes dues barreges expressant-la en forma de nombre decimal.

1. b) Si volem que el mural sigui el més "blavós" possible, quina barreja hauríem d'triar? Raona la teva resposta comparant les raons.

1. c) Si a la Barreja A decidim afegir $2$ parts més de cada color, variarà la raó inicial? Justifica-ho matemàticament.

Un dissenyador de videojocs està comparant dos monitors per a la seva nova estació de treball. El primer monitor té un format «panoràmic estàndard» amb una raó entre la seva amplada i la seva alçada de $16:9$. El segon és un monitor «ultrapanoràmic» amb una raó de $21:9$.

1. a) Si tots dos monitors tenen exactament la mateixa alçada de $36$ cm, quina és la diferència entre les seves amplades?

1. b) Calcula la raó entre l'àrea del monitor ultrapanoràmic i l'àrea del monitor estàndard. Expressa el resultat com una fracció irreductible.

En un mapa d'alta precisió dels Pirineus, l'escala ve indicada com una raó de $1:50\thinspace000$. Un excursionista mesura al mapa la distància entre dos refugis i obté $14,2$ cm. Tanmateix, en consultar una aplicació digital, observa que la distància real és de $7,5$ km.

1. a) Calcula la raó real (escala) que hi ha entre la mesura del mapa i la mesura de l'aplicació digital.

1. b) Quin és l'error en centímetres que presenta el mapa respecte a la distància de l'aplicació?

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets. Es sap que la raó entre el pes del paquet ($P$, en kg) i el consum de bateria ($B$, en % per quilòmetre) segueix una relació constant de $1,5 : 0,4$.

1. a) Si un paquet pesa $4,5$ kg, quin serà el consum de bateria per cada quilòmetre recorregut?

1. b) Si un dron només disposa d'un $12\%$ de bateria restant i ha de realitzar un enviament a $5$ km de distància, quin és el pes màxim (raó pes/distància) que podria transportar per arribar just a la destinació?

En un estudi sobre arquitectura bioclimàtica, s'analitza la raó entre la superfície de les finestres i la superfície total de les parets d'una habitació per optimitzar la llum natural. En una habitació de $25$ $m^2$ de parets, hi ha dues finestres: una de $120$ cm $\times$ $150$ cm i una altra de circular de $80$ cm de radi.

1. a) Calcula la raó entre la superfície total vidrada i la superfície de les parets. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

1. b) Si la recomanació ideal és una raó de $1:5$, quants $m^2$ de vidre sobren o falten per complir-la?

L'«índex de massa corporal» (IMC) és la raó entre la massa d'una persona ($m$, en kg) i el quadrat de la seva alçada ($h$, en metres), és a dir, $IMC = \frac{m}{h^2}$.

1. a) Si un atleta de $1,80$ m té un IMC de $22,5$, quina és la seva massa?

1. b) Si un altre atleta pesa $85$ kg i mesura $1,92$ m, calcula el seu IMC. Quina és la raó entre l'IMC del segon atleta i el del primer? Expressa el resultat amb dos decimals.

Es vol construir una maqueta d'un rascacelsc. La raó de semblança entre la maqueta i l'edifici real és de $1:250$.

1. a) Si la superfície de la base de l'edifici real és de $1\thinspace200$ $m^2$, quina és la raó entre la superfície de la base de la maqueta i la del rascacelsc real?

1. b) Calcula l'àrea de la base de la maqueta en centímetres quadrats. (Compte: recorda que la raó de les superfícies és el quadrat de la raó de les longituds).

En una competició de tir amb arc, la puntuació d'un arquer s'analitza mitjançant la raó entre «fletxes al centre» i «fletxes totals llençades».

• L'Arquer A ha aconseguit una raó de $7:12$ en $48$ llançaments.

• L'Arquer B ha aconseguit una raó de $5:8$ en $40$ llançaments.

1. a) Quin dels dos arquers ha tingut una eficàcia més gran? Justifica-ho comparant les raons mitjançant el comú denominador.

1. b) Si l'Arquer A vol igualar la raó d'eficàcia de l'Arquer B en la seva següent ronda de $24$ fletxes, quantes d'aquestes noves fletxes haurà de clavar obligatòriament al centre?

Per comprovar si dues raons formen una proporció (és a dir, si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$), es poden utilitzar tres mètodes diferents:

• Mètode 1 (Valor decimal): Calcular el quocient decimal de cada raó i comprovar si coincideixen.

• Mètode 2 (Fracció irreductible): Simplificar totes dues raons dividint entre el seu màxim comú divisor i comparar les fraccions irreductibles.

• Mètode 3 (Productes encreuats): Comprovar si es compleix la igualtat $a \cdot d = b \cdot c$.

Es presenten dues parelles de raons obtingudes en comparar el consum de combustible de diferents vehicles:

• Parella A: $\dfrac{7}{13}$ i $\dfrac{21}{39}$

• Parella B: $\dfrac{1200}{1800}$ i $\dfrac{1400}{2100}$

1. a) Per a la Parella A, aplica el Mètode 1 i el Mètode 3. Explica per què el Mètode 1 pot generar dubtes en arrodonir xifres decimals periòdiques infinites, mentre que el Mètode 3 garanteix una resposta exacta.
2. b) Per a la Parella B, compara l'esforç de càlcul entre el Mètode 2 i el Mètode 3 si ho haguessis de resoldre a mà sense calculadora. Justifica quin dels dos és clarament més ràpid i segur en aquest cas.
3. c) Estableix una conclusió raonada: en quines condicions convé triar el mètode dels productes encreuats i en quines és preferible simplificar a la fracció irreductible?

Al servei d'urgències d'un hospital comarcal, la direcció mèdica estableix que la raó òptima entre el nombre de pacients en espera i el nombre de metges de guàrdia ha de ser com a màxim de $8$ a $1$ (és a dir, una raó de $\dfrac{8}{1}$).

En una nit amb alta afluència de pacients hi ha $78$ persones esperant a la sala i únicament $6$ metges atenent.

1. a) Modela la situació calculant la raó actual de pacients per metge en forma de nombre decimal. Interpreta el resultat obtingut i determina si el servei compleix la recomanació o si la plantilla es troba sobrecarregada.
2. b) Si al llarg d'aquesta nit no és possible incorporar cap metge addicional, quants pacients com a màxim hi hauria d'haver en espera perquè la raó sigui exactament la recomanada de $8:1$? Quants pacients s'haurien de desviar a altres centres d'atenció primària per aconseguir-ho?
3. c) Suposa que durant la matinada arriben nous pacients i el total de persones en espera puja a $96$. Per afrontar la situació amb més qualitat assistencial, la direcció fixa una nova raó més exigent de $6$ pacients per metge. Planteja una equació a partir de la proporció $\dfrac{96}{6 + x} = \dfrac{6}{1}$ per calcular quants metges de reforç ($x$) s'han de cridar immediatament, i explica cada pas de la resolució.