Exercicis: Repartiments proporcionals

Tres germans decideixen repartir-se una bossa de $120$ caramels de manera directament proporcional a les seves edats, que són $2$, $3$ i $7$ anys. Quants caramels li corresponen a cadascun?

Tres amics, Alba, Beto i Caio, han col·laborat en un mercat solidari venent manualitats. Decideixen repartir-se els $300 \ €$ de benefici de manera directament proporcional al nombre d'hores que ha treballat cadascun: Alba va treballar $2$ hores, Beto $3$ hores i Caio $5$ hores. Calcula quants diners rep cadascun.

En un concurs de videojocs, es reparteixen $100$ punts de bonificació entre dos jugadors de manera inversament proporcional al nombre d'errors que han comès. Si el primer jugador ha comès $2$ errors i el segon ha comès $4$ errors, quants punts rep cadascun?

Una fotògrafa ha fet un total de $180$ fotos durant un viatge. Vol organitzar el seu àlbum repartint les fotos de manera directament proporcional als dies que va passar a cada ciutat: $4$ dies a Sevilla, $5$ dies a Granada i $9$ dies a Còrdova. Quantes fotos posarà a la secció de cada ciutat?

Un fuster té un llistó de fusta de $240\text{ cm}$ i necessita tallar-lo en tres trossos les longituds dels quals siguin proporcionals als nombres $1$, $2$ i $3$. Anomenem $k$ la longitud del tros més curt, de manera que els altres dos mesuren $2k$ i $3k$. Quina serà la longitud de cada tros?

Es vol repartir un premi de $770 \ €$ entre els tres primers classificats d'una cursa escolar de manera inversament proporcional a la posició obtinguda (1r, 2n i 3r lloc). Quina quantitat de diners li correspon a cadascun dels tres guanyadors?

Un grup de tres YouTubers ha rebut una gratificació de $450 \ €$ per un vídeo conjunt. Han decidit repartir els diners de manera directament proporcional al nombre de vídeos que cadascú ha penjat al canal aquest mes: $4$, $5$ i $6$ vídeos respectivament. Quants diners rebrà cadascun?

Dos estudiants, Julia i Marcos, s'han de repartir $10$ hores d'ús d'una consola durant el cap de setmana. Com que Julia ha tret millors notes, decideixen repartir el temps de manera inversament proporcional al nombre d'assignatures suspeses: Julia ha suspès $4$ assignatures i Marcos n'ha suspès $6$. Quantes hores de joc li corresponen a cadascun?

Per repartir un premi de $180$ € entre tres germanes de manera directament proporcional a les hores que van dedicar a netejar el jardí ($2$ hores la Lucía, $3$ hores l'Elena i $4$ hores la Marta), el seu germà gran, en Pablo, raona així: «Com que són tres persones, divideixo $180$ entre $3$ i toquen a $60$ € per part. Després multiplico per les seves hores: la Lucía s'emporta $2 \cdot 60 = 120$ €, l'Elena $3 \cdot 60 = 180$ € i la Marta $4 \cdot 60 = 240$ €».

1. a) Explica amb les teves paraules quin error conceptual va cometre en Pablo en calcular el valor d'«una part» ($k$).
2. b) Comprova la suma de les quantitats que va obtenir en Pablo per demostrar per què la seva solució és impossible a la pràctica.
3. c) Corregeix l'exercici fent el repartiment directament proporcional de manera adequada i calcula quants diners rep realment cada germana.

Tres classes de $2n$ d'ESO d'un institut participen en una campanya solidària de recollida d'aliments i han reunit un total de $450\text{ kg}$. La direcció del centre premiarà el seu esforç repartint $90$ entrades de cinema de manera directament proporcional als quilos aportats per cada classe: $2n\text{ A}$ en va recollir $100\text{ kg}$, $2n\text{ B}$ en va recollir $150\text{ kg}$ i $2n\text{ C}$ en va recollir $200\text{ kg}$.

1. a) Abans de calcular res, estima: rebrà el grup de $2n\text{ C}$ més o menys de la meitat de les entrades disponibles? Raona la teva estimació comparant els quilos de $2n\text{ C}$ amb el total recollit.
2. b) Calcula el valor de cada part ($k$) i determina quantes entrades exactes li corresponen a cada aula.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i confirma que la suma de les tres quantitats coincideix amb el total d'entrades.

Tres amics decideixen llogar un servidor privat per jugar a un videojoc en línia durant les vacances. El cost total del lloguer és de $153\ €$. Han acordat repartir el pagament de manera directament proporcional al temps que cadascú ha estat connectat: Álex hi va estar $12$ hores, Bea $18$ hores i Cristian $21$ hores. Quant ha d'aportar cadascun per pagar la factura?

Una associació ecologista ha rebut una subvenció de $2\ 160\ €$ per premiar tres voluntaris que han participat en la neteja de les platges. El repartiment dels diners es farà de manera directament proporcional al nombre de bosses de residus recollides per cadascun. Si el primer voluntari va recollir $24$ bosses, el segon $30$ bosses i el tercer $36$ bosses, calcula la quantitat econòmica que li correspon a cada voluntari.

En una cursa de drons, es reparteixen $310$ punts de bonificació entre els tres primers classificats de manera inversament proporcional al nombre de faltes tècniques que han comès durant el circuit. El primer classificat va tenir $2$ faltes, el segon va tenir $5$ faltes i el tercer va tenir $10$ faltes. Quants punts rep cadascun?

Tres germans ajuden en les tasques de la llar i el seu avi decideix donar-los una gratificació de $114\ €$ per als seus estalvis. Tanmateix, per fomentar la responsabilitat, reparteix els diners de manera inversament proporcional al nombre de vegades que han oblidat endreçar la seva habitació aquest mes. Lucía la va oblidar $2$ vegades, Jorge $3$ vegades i Marta $6$ vegades. Quina quantitat de diners rebrà cadascun?

Un petit estudi de disseny gràfic ha obtingut uns beneficis de $5\ 400\ €$ per un projecte publicitari. El director decideix repartir el benefici entre els seus tres empleats de manera directament proporcional als anys d'experiència que tenen a l'empresa. L'empleat A fa $2$ anys que hi treballa, l'empleat B hi fa $4$ anys i l'empleat C hi fa $6$ anys. Calcula la part del benefici que li correspon a cada treballador.

En un concurs de tir amb arc, es reparteixen $135$ fletxes artesanals entre els tres millors arquers de manera inversament proporcional a la distància (en centímetres) a la qual s'han quedat del centre de la diana en el seu últim llançament. L'arquer A s'ha quedat a $3\ cm$, l'arquer B a $4\ cm$ i l'arquer C a $6\ cm$. Quantes fletxes li corresponen a cadascun?

Un grup de tres amics, Sara, Luis i Alba, han muntat una parada de llimonada a les festes del barri. Per començar, Sara va aportar $10\ €$, Luis $15\ €$ i Alba $25\ €$. En acabar el dia han obtingut un guany net de $160\ €$. Si decideixen repartir els beneficis de manera directament proporcional als diners que cadascú va posar al principi, quants diners es portarà cadascun dels tres amics?

Es vol repartir una caixa amb $120$ entrades per a un festival de música entre tres instituts de la zona. El repartiment es farà de manera inversament proporcional al nombre d'alumnes que van arribar tard en la darrera jornada cultural. L'Institut "A" va tenir $10$ retards, l'Institut "B" va tenir $15$ retards i l'Institut "C" va tenir $30$ retards. Quantes entrades rebrà cada centre educatiu?

En una competició de robòtica escolar es reparteixen $270$ punts entre els tres equips finalistes de manera inversament proporcional al nombre de penalitzacions tècniques comeses durant la prova: l'equip Alfa va cometre $3$ penalitzacions, l'equip Beta en va cometre $4$ i l'equip Gamma en va cometre $6$.

Per resoldre el repartiment, dos membres del jurat proposen camins diferents:

• Mètode 1: Sumar les fraccions dels inversos $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$, dividir el total de punts entre aquesta suma fraccionària per trobar la constant $k$ i multiplicar cada fracció per $k$.

• Mètode 2: Multiplicar els inversos pel mínim comú múltiple dels denominadors (m.c.m.$(3, 4, 6) = 12$) per obtenir nombres enters equivalents ($4$, $3$ i $2$), i fer un repartiment directament proporcional sobre aquests enters.

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas i comprova que amb tots dos s'obté exactament la mateixa puntuació per a cada equip.
2. b) Justifica quin dels dos procediments et sembla més còmode i segur a l'hora de treballar a mà en un examen, explicant quines dificultats presenta l'altre camí.

Tres agricultors d'una comunitat de regants de l'horta valenciana comparteixen la factura elèctrica del motor del pou que proveeix els seus camps. Al juliol, el cost total de l'electricitat ha estat de $1\,500$ €. Tanmateix, la comunitat disposa d'una subvenció autonòmica per ús eficient de l'aigua que finança el $20\%$ de l'import total abans d'emetre els cobraments. L'import net resultant s'ha de repartir de manera directament proporcional al volum d'aigua consumit per cada explotació:

• Vicente: $1\,200\text{ m}^3$

• Amparo: $1\,800\text{ m}^3$

• Carles: $3\,000\text{ m}^3$

1. a) Calcula l'import net que queda per pagar després d'aplicar la subvenció del $20\%$.
2. b) Troba el preu del metre cúbic ($k$) per a aquest repartiment i determina quant ha de pagar cadascun dels tres agricultors.
3. c) Per què la subvenció del $20\%$ s'ha d'aplicar sobre el total abans de fer el repartiment proporcional, en lloc de repartir primer els $1\,500$ € i després restar una tercera part de l'ajut a cadascú? Raona la teva resposta basant-te en la justícia del repartiment proporcional.

Tres amics d'un club d'e-sports han guanyat un torneig regional i es repartiran un premi de $1\,900$ €. El repartiment ha de ser directament proporcional als punts obtinguts a la gran final. El primer jugador va aconseguir $150$ punts, el segon $120$ punts i el tercer $110$ punts. Tanmateix, abans de cobrar, el club els descompta un $5\%$ del total del premi per despeses de gestió. Quina quantitat neta rebrà cadascun dels tres jugadors després d'aplicar el descompte i fer el repartiment proporcional?

Una empresa de missatgeria sostenible vol premiar els seus tres millors repartidors de la secció de bicicletes. El premi total és de $1\,160$ € i es repartirà de manera inversament proporcional al nombre de paquets que hagin arribat amb retard durant el darrer mes. El repartidor $A$ va tenir $2$ retards, el repartidor $B$ en va tenir $3$ i el repartidor $C$ en va tenir $4$. Calcula quants diners li corresponen a cadascun.

Tres famílies han llogat una casa rural per passar les vacances de Setmana Santa. El cost total del lloguer és de $1\,500$ €. Decideixen repartir la despesa de manera directament proporcional al nombre de nits que cada família ha estat a la casa. La família Sánchez hi va estar $5$ nits, la família Pérez hi va estar el doble de nits que la família García, i la família García hi va estar $3$ nits menys que la família Sánchez. Quina quantitat ha de pagar cada família?

Una aplicació de música ha repartit els seus beneficis trimestrals entre tres artistes emergents de manera directament proporcional al nombre de reproduccions de les seves cançons. Sabem que l'artista $X$ va rebre $1\,200$ € per tenir $300\,000$ reproduccions. Si l'artista $Y$ va tenir $450\,000$ reproduccions i l'artista $Z$ va rebre $2\,400$ €, calcula:

1. El nombre de reproduccions que va tenir l'artista $Z$.

2. La quantitat de diners que va rebre l'artista $Y$.

3. El benefici total que va repartir l'aplicació entre tots tres.

Un avi vol repartir una col·lecció de $168$ monedes antigues entre els seus tres nets de manera inversament proporcional a les seves edats, que són $12$, $15$ i $20$ anys. Al net més petit li fa tanta il·lusió que l'avi decideix regalar-li, a més, $10$ monedes més que treu de la seva pròpia reserva personal. Amb quantes monedes acabarà cada net?

Una donació de $110\,000$ € es reparteix entre tres institucions benèfiques de manera directament proporcional a les places que ofereixen. La institució $P$ té $x$ places, la institució $Q$ té el triple de places que la $P$, i la institució $R$ té la meitat de places que la $Q$. Sabent que a la institució $Q$ li han correspost $60\,000$ €, quants diners rep cadascuna de les altres dues institucions?

En un concurs de reciclatge, un ajuntament reparteix un fons de $2\,600$ € entre tres centres educatius de manera inversament proporcional al nombre de tones de residus no reciclats que han generat. El Centre $1$ va generar $\frac{1}{2}$ tona, el Centre $2$ va generar $\frac{1}{3}$ de tona i el Centre $3$ va generar $\frac{1}{4}$ de tona. Quin premi econòmic rep cada centre?

Una parcel·la rectangular de $1\,200$ $m^2$ es divideix en tres horts escolars per a les classes de 2n d'ESO. El repartiment de la superfície es fa de manera directament proporcional a la quantitat d'alumnes de cada classe. A la classe $A$ hi ha $24$ alumnes, a la classe $B$ hi ha $26$ alumnes i la classe $C$ té un nombre d'alumnes tal que li han correspost $450$ $m^2$ d'hort.

1. Quants alumnes té la classe $C$?

2. Quina superfície correspon a les classes $A$ i $B$?

Tres socis fundadors d'una empresa emergent (startup) de desenvolupament d'aplicacions mòbils decideixen repartir-se els beneficis nets del primer trimestre de manera directament proporcional al capital que va aportar cadascú en constituir la societat. Se sap que l'Ana va aportar $12\,000$ € i que en Borja va aportar $18\,000$ €. A l'assessoria comptable s'ha extraviat la dada del capital aportat per la Carla, però es disposa dels registres següents de la liquidació:

1. A en Borja li han correspost exactament $5\,400$ € de benefici.

2. La Carla ha rebut $1\,800$ € més de benefici que l'Ana.

1. a) Esbrina la constant de proporcionalitat directa $k$ (euros de benefici per cada euro aportat).
2. b) Calcula quants diners de benefici li van correspondre a l'Ana i quants a la Carla.
3. c) Reconstrueix raonadament la quantitat exacta de capital que va aportar la Carla a l'inici de l'empresa.
4. d) Quin va ser el benefici total que es van repartir entre els tres socis? Comprova que la suma dels tres beneficis individuals coincideix amb el producte del capital total per la constant $k$.

Un ajuntament destina una partida pressupostària de $3\,700$ € a tres associacions veïnals per a projectes de mobilitat sostenible. Per normativa municipal, cada associació rep primer un ajut fix individual de $200$ € per a despeses de secretaria i gestió. Els diners restants de la partida es reparteixen de manera inversament proporcional al nombre de queixes veïnals per sorolls i trànsit que acumula cada barri durant l'any: Barri Nord ($2$ queixes), Barri Centre ($3$ queixes) i Barri Sud ($5$ queixes).

1. a) Determina quina quantitat de la partida municipal es distribueix mitjançant repartiment inversament proporcional i calcula l'assignació que li correspon a cada barri per aquest concepte.
2. b) Afegeix l'ajut fix de secretaria i calcula l'import total definitiu que ingressarà cadascuna de les tres associacions.
3. c) La portaveu del Barri Sud protesta afirmant: «Nosaltres només tenim tres queixes més que el Barri Nord, però ells reben més del doble de diners que nosaltres en el repartiment proporcional; aquest repartiment és injust». Rebat matemàticament la seva queixa: analitza la relació multiplicativa entre les queixes ($5$ respecte a $2$) i explica com actua la proporcionalitat inversa en l'assignació de parts.