Exercicis: Percentatges

Calcula mentalment:

a) El $25\%$ de $240$.

b) El $10\%$ de $380$.

c) El $50\%$ de $96$.

d) El $75\%$ de $800$.

Observa la quadrícula de la figura, formada per $100$ caselles.

a) Quin tant per cent de les caselles estan acolorides?

b) Quin tant per cent queden sense acolorir?

Dels $30$ alumnes d'una classe, $18$ són noies. Quin tant per cent de la classe són noies? I nois?

Un equip d'handbol ha guanyat $12$ dels $20$ partits que ha jugat. Quin tant per cent de victòries porta?

Unes sabatilles de $60\text{ €}$ estan rebaixades un $15\%$. Quants euros t'estalvies? Quant pagues?

Uns auriculars costen $50\text{ €}$ sense IVA. Si l'IVA és del $21\%$, quin és el preu final?

Expressa cada percentatge com a nombre decimal i com a fracció irreductible:

a) $35\%$

b) $4\%$

c) $120\%$

La Vera té una tarifa de dades de $12$ GB mensuals i ja n'ha gastat el $30\%$. Quants gigabytes li queden?

En un poble de $2\,500$ habitants, el $8\%$ són menors de $15$ anys. Quants menors de $15$ anys viuen al poble?

L'abonament de transport costa $20\text{ €}$ i pujarà un $5\%$. Quin serà el nou preu?

Quin tant per cent representa $45$ respecte de $180$?

Calcula:

a) El $150\%$ de $60$.

b) El $0,5\%$ de $800$.

Completa al teu quadern:

a) Si et rebaixen el $30\%$, pagues el ____ $\%$ del preu.

b) Si un preu puja un $12\%$, pagues el ____ $\%$ del preu original.

c) Si has consumit el $45\%$ de la bateria, et queda el ____ $\%$.

En una enquesta a $400$ joves, el $64\%$ afirma practicar esport cada setmana. Quants joves en practiquen?

La Noa tenia $240\text{ €}$ estalviats i n'ha gastat el $25\%$ en un regal per a la seva mare. Quants diners li queden?

En un parc natural amb $12\,000$ arbres, el $35\%$ són pins. Quants pins hi ha al parc?

Un sopar familiar en un restaurant té un cost total de $68,40\text{ \euro}$. La família decideix deixar una propina voluntària del $10\,\%$.

1. a) Abans de fer cap operació escrita, estima mentalment entre quins dos nombres enters d'euros es trobarà la propina, arrodonint l'import del compte a les desenes més properes. Explica com has raonat l'estimació.
2. b) Calcula amb exactitud la propina i l'import final total a pagar utilitzant el factor decimal corresponent.
3. c) Compara el teu càlcul exacte amb l'estimació que has fet al principi: ha estat una aproximació útil per decidir amb rapidesa a la taula? Raona la teva resposta.

En Lucas vol comprar uns auriculars que marquen un preu de $50\text{ \euro}$. La botiga anuncia una rebaixa del $20\,\%$ a la secció de so i, a més, en el moment de pagar, en Lucas presenta un cupó de soci que descompta un $10\,\%$ addicional. En Lucas afirma convençut: «Com que $20\,\% + 10\,\% = 30\,\%$, em descomptaran el $30\,\%$ de $50\text{ \euro}$; és a dir, m'estalvio $15\text{ \euro}$ i pagaré només $35\text{ \euro}$».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet en Lucas en sumar directament els dos percentatges i explica amb les teves paraules per què no és correcte fer-ho.
2. b) Calcula el preu real que pagarà en Lucas aplicant els descomptes de manera encadenada mitjançant factors multiplicadors.
3. c) Indica quants diners de més o de menys pagarà en Lucas respecte al que ell havia calculat erròniament.

Una jaqueta que costava $74,90\text{ €}$ es rebaixa un $30\%$. Quants euros descompten? Quin és el preu final?

Per uns pantalons rebaixats un $15\%$ he pagat $59,50\text{ €}$. Quin era el preu abans de la rebaixa?

Un canal de cuina ha augmentat els seus seguidors un $25\%$ en l'últim any i ara té $1\,800$ seguidors. Quants seguidors tenia fa un any?

El preu d'un còmic ha passat de $12\text{ €}$ a $15\text{ €}$. Quin tant per cent ha augmentat?

Una jugadora de bàsquet ha encistellat $17$ dels $25$ tirs lliures que ha llançat aquesta temporada. Quin és el seu percentatge d'encert?

Per comprar-se una bicicleta elèctrica, l'Andrés diposita $1\,200\text{ €}$ en un compte a interès simple del $3\%$ anual durant $2$ anys. Quin interès rebrà? Quants diners tindrà al final?

En una papereria hi ha una oferta de $3\times 2$ en retoladors que costen $4,50\text{ €}$ cadascun. Si te n'emportes $3$ retoladors:

a) Quant pagues en total?

b) Quin tant per cent de rebaixa suposa l'oferta sobre el preu sense descompte? Arrodoneix a les centèsimes.

Una botiga de còmics ofereix la segona unitat al $50\%$ del seu preu. Si un tom de manga costa $9,95\text{ €}$:

a) Quant costen dos toms?

b) Quin percentatge de descompte s'aplica en total sobre la compra dels dos toms?

Un videojoc que costava $60\text{ €}$ va apujar un $10\%$ en la campanya de Nadal i, una vegada passades les festes, el nou preu va baixar un $10\%$.

a) Quin va ser el preu després de la pujada?

b) Quin és el preu després de la baixada?

c) Ha tornat al preu original? Si no és així, quin percentatge ha variat en total?

Una botiga en línia ven una motxilla per $95\text{ €}$ sense IVA. Aplica un descompte del $20\%$ i després afegeix el $21\%$ d'IVA sobre el preu ja rebaixat. Quin és el preu final que pagues?

En una enquesta a $1\,500$ joves, el $40\%$ afirma practicar esport en equip i, d'aquests, el $25\%$ juga a bàsquet. Quants joves juguen a bàsquet? Quin tant per cent del total representen?

Un embassament de $240\ \text{hm}^3$ de capacitat estava al $35\%$ després de l'estiu. Les pluges de tardor l'han omplert fins al $58\%$ de la seva capacitat.

a) Quants hectòmetres cúbics d'aigua tenia després de l'estiu?

b) Quants hectòmetres cúbics ha guanyat amb les pluges?

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions, basant-te en exemples numèrics:

a) Si un preu puja un $50\%$ i després baixa un $50\%$, torna al preu inicial.

b) Aplicar dues rebaixes del $10\%$ seguits equival a una sola rebaixa del $19\%$.

c) El $5\%$ d'una quantitat és la meitat del $10\%$ d'aquesta mateixa quantitat.

d) Si el $90\%$ dels alumnes va aprovar un examen, en va suspendre $1$ de cada $10$.

El gràfic mostra els còmics que una botiga va vendre entre dilluns i divendres de la setmana passada.

a) Quin tant per cent de les vendes de la setmana es van fer divendres?

b) En quin tant per cent van augmentar les vendes de divendres respecte a dilluns?

Dos gimnasos tenen aquestes ofertes:

• Gym A: $30\text{ €}$ al mes, amb un $20\%$ de descompte si pagues l'any complet per avançat.

• Gym B: $25\text{ €}$ al mes, més una matrícula única de $40\text{ €}$.

a) Calcula quant costa un any complet a cada gimnàs.

b) Quin triaries per a un any? I si només et vols apuntar $6$ mesos (en aquest cas el Gym A no aplica el descompte anual)? Justifica les dues respostes.

Un contenidor groc recull $800$ kg d'envasos. El $45\%$ del pes és plàstic i, d'aquest plàstic, només el $60\%$ es pot reciclar.

a) Quants quilos de plàstic hi ha al contenidor?

b) Quants quilos es reciclen realment?

c) Quin tant per cent del total del contenidor es recicla?

Una botiga d'esports liquida les seves sabatilles amb un $15\,\%$ de descompte sobre el preu d'etiqueta $P$. Dos empleats discuteixen quina és la millor manera de calcular el preu final rebaixat:

• L'Alba proposa: «Calculo primer el descompte multiplicant $P \cdot 0,15$ i després l'hi resto al preu original: $P - (P \cdot 0,15)$».

• En Bruno proposa: «Multiplico directament el preu original pel factor decimal corresponent al descompte: $P \cdot 0,85$».

1. a) Demostra algebraicament, traient factor comú a $P$ en l'expressió de l'Alba, per què tots dos mètodes condueixen exactament al mateix resultat.
2. b) Si has de calcular mentalment la rebaixa d'unes sabatilles que costen $60\text{ \euro}$, quin mètode triem i per què et resulta més còmode?
3. c) Si has de programar la caixa enregistradora perquè actualitzi els preus de $500$ articles a l'instant, quin dels dos mètodes és més eficient per al processador de l'ordinador pel que fa al nombre d'operacions realitzades? Justifica la teva resposta.

Segons dades d'ocupació turística en allotjaments rurals a Espanya publicades per l'INE, una casa rural va registrar $200$ pernoctacions durant el mes d'abril. Al maig, coincidint amb un pont festiu, les reserves van augmentar un $35\,\%$ respecte a l'abril. Al juny, a causa del final de curs i els exàmens, les reserves van disminuir un $20\,\%$ respecte al maig.

1. a) Modela l'evolució de les reserves escrivint una única operació encadenada amb factors multiplicadors que permeti calcular directament les pernoctacions de juny a partir de les d'abril.
2. b) Calcula el nombre de reserves registrat al juny i interpreta si l'ocupació final va créixer o va decréixer respecte a la xifra inicial d'abril.
3. c) Determina la variació percentual global acumulada entre abril i juny. Explica per què aquest resultat final no coincideix amb la suma directa $+35\,\% - 20\,\% = +15\,\%$.

El preu de l'entrada a un parc aquàtic va baixar un $20\%$ en acabar l'estiu. En arribar la temporada següent, el parc vol recuperar exactament el preu original. En quin percentatge ha d'augmentar el preu rebaixat? Explica per què la resposta no és un $20\%$.

Les vendes d'una llibreria van caure un $35\%$ al febrer respecte al gener. Al març, les vendes es van recuperar fins a assolir de nou el nivell del gener. En quin percentatge van augmentar les vendes del març respecte a les del febrer? Arrodoneix el resultat a les centèsimes.

La Lucía va comprar en una pàgina web uns auriculars per $96,80\text{ €}$. Aquest preu ja incloïa un descompte del $20\%$ sobre el preu base i, a més, un $21\%$ d'IVA aplicat després del descompte. Quin era el preu base dels auriculars, sense descompte ni IVA?

El Martín es vol comprar una bicicleta de muntanya i estudia diverses opcions de dipòsit a interès simple:

a) Quin capital ha de dipositar al $4\%$ anual durant $3$ anys per obtenir $270\text{ €}$ d'interessos?

b) A quin tant per cent anual ha de col·locar $2\,500\text{ €}$ durant $2$ anys per obtenir $200\text{ €}$ d'interessos?

c) Durant quant de temps ha de mantenir $1\,800\text{ €}$ al $5\%$ anual per obtenir $360\text{ €}$ d'interessos?

Una botiga d'esports anuncia: «Rebaixes del $50\%$ més un $20\%$ addicional: un $70\%$ de descompte total!». Unes sabatilles de la botiga costen $120\text{ €}$. Explica l'error de l'anunci, calcula el descompte percentual real que s'aplica i el preu final correcte de les sabatilles.

Un compte d'estalvi ofereix un interès simple del $0,4\%$ mensual. Si hi diposites $3\,000\text{ €}$:

a) Quin interès guanyes cada mes?

b) Quants mesos complets han de passar per acumular $180\text{ €}$ d'interessos?

La família de Nora compara tres tarifes de mòbil:

a) Calcula el cost d'un any complet amb cada tarifa, tenint en compte les condicions.

b) Nora fa servir uns $45$ GB al mes. Quina tarifa li convé més? Justifica la resposta amb els càlculs de l'apartat anterior.

c) El seu pare fa servir $15$ GB al mes. Quina tarifa li recomanes? Quant s'estalvia a l'any respecte a la més cara que cobreix les seves necessitats?

Les entrades d'un festival de música han apujat un $5\%$ cada any durant tres anys consecutius. Si fa tres anys costaven $40\text{ €}$:

a) Quant costen ara? Arrodoneix als cèntims.

b) Quin ha estat el percentatge total de pujada en els tres anys? Coincideix amb el $15\%$? Raona la resposta.

Dues botigues venen la mateixa motxilla per $80\text{ €}$. A la botiga A la rebaixen directament un $25\%$. A la botiga B apliquen primer un descompte del $10\%$ i, sobre el preu resultant, un altre descompte del $15\%$.

a) Calcula el preu final de la motxilla a cada botiga.

b) A quina convé comprar-la? Explica, amb els càlculs, per què no són equivalents les dues ofertes.

Indica si són certes o falses les afirmacions següents, raonant cada resposta amb un exemple numèric:

a) Una quantitat no pot augmentar més d'un $100\%$.

b) El $200\%$ d'una quantitat és el doble d'aquesta quantitat.

c) Si el preu d'un producte passa de $50\text{ €}$ a $150\text{ €}$, ha augmentat un $200\%$.

d) És impossible rebaixar un preu un $110\%$.

En un institut, $360$ alumnes practiquen algun esport federat, la qual cosa representa el $37,5\%$ del total.

a) Quants alumnes té l'institut?

b) Quants no practiquen esport federat?

Aquesta és la factura d'electricitat de la família de l'Alex d'un mes:

• Consum: $62,40\text{ €}$

• Potència contractada: $18,20\text{ €}$

• Impost d'electricitat: $5,11\%$ sobre la suma de consum i potència

• IVA: $21\%$ sobre el total anterior

a) Calcula l'import de l'impost d'electricitat, arrodonint als cèntims.

b) Calcula l'import total de la factura.

c) La família instal·la panells solars i el consum baixa un $40\%$. Si la potència contractada i els impostos es calculen igual, quin serà l'import total de la nova factura?

En una botiga de tecnologia modifiquen el preu de venda d'una tauleta en dues fases consecutives: primer apliquen una apujada del $x\,\%$ sobre el preu original i, posteriorment, una rebaixa del $x\,\%$ sobre el nou preu ja incrementat. En acabar totes dues modificacions, es comprova que el preu final de la tauleta és exactament un $9\,\%$ menor que el seu preu de partida.

1. a) Modela la situació plantejant una equació en funció de $x$ que iguali el producte dels dos factors de variació amb el factor de variació global resultant.
2. b) Resol l'equació i troba quin percentatge $x$ es va aplicar en cadascuna de les dues fases.
3. c) Si el comerciant hagués aplicat primer la rebaixa del $x\,\%$ i després l'apujada del $x\,\%$, hauria obtingut un preu final diferent? Justifica la teva resposta analitzant les propietats matemàtiques de la multiplicació de factors, sense necessitat d'inventar nombres concrets.

Per al menjador d'un centre educatiu cal comprar un lot de $6$ garrafes d'oli d'oliva el preu estàndard de les quals és de $12\text{ \euro}$ per garrafa. El responsable de compres compara tres ofertes vigents en diferents distribuïdors:

• Distribuïdor A: Promoció «$3 \times 2$» (per cada $3$ garrafes que compres, només en pagues $2$).

• Distribuïdor B: «Segona unitat al $60\,\%$ de descompte» (comprant en parelles, la primera garrafa es paga sencera i la segona té un descompte del $60\,\%$ sobre el seu preu individual).

• Distribuïdor C: «Descompte directe del $25\,\%$ en tota la compra» en adquirir $6$ o més garrafes.

1. a) Modela mitjançant expressions numèriques el cost total que es pagaria a cada distribuïdor en adquirir el lot de $6$ garrafes i calcula el preu mitjà resultant per garrafa en cada opció.
2. b) Determina a quin percentatge de descompte real sobre el preu original equival la promoció «$3 \times 2$» en un lot de $6$ garrafes i compara'l amb els percentatges de descompte globals dels altres dos distribuïdors.
3. c) Quin distribuïdor resulta més econòmic per comprar les $6$ garrafes? Justifica si canviaria la teva elecció si el centre només necessités comprar $5$ garrafes, calculant el cost total que suposaria en els dos distribuïdors que han resultat més competitius.