Exercicis: Proporcionalitat inversa

Indica raonadament si els parells de magnituds següents mantenen una relació de proporcionalitat inversa:

1. a) El nombre de persones que pinten una tanca i el temps que triguen a acabar-la.
2. b) El nombre de quilos de pomes que compres i el preu total que pagues.
3. c) La velocitat a la qual circula un tren i el temps que empra a recórrer la distància entre dues ciutats.
4. d) El nombre de pàgines d'un llibre i el seu pes.

Completa la taula següent al teu quadern sabent que les magnituds $A$ i $B$ són inversament proporcionals. Calcula també la constant de proporcionalitat $k$.

Per muntar l'escenari d'un festival de música, $4$ operaris han treballat durant $12$ hores. Si el festival decideix contractar un total de $8$ operaris que treballin al mateix ritme, quantes hores trigaran a muntar el mateix escenari?

Un grup d'amics vol llogar una furgoneta per anar d'excursió. Si hi van $6$ amics, cadascú ha de pagar $15$ euros. Calcula quant hauria de pagar cadascú si finalment s'apunten $10$ persones al viatge.

Un ramader té pinso suficient per alimentar les seves $20$ vaques durant $30$ dies. Si ven $5$ vaques i es queda amb $15$, quants dies podrà alimentar les vaques restants amb la mateixa quantitat de pinso?

Dos engranatges estan connectats. El primer té $12$ dents i fa $20$ voltes per minut. Quantes voltes farà el segon engranatge si té $24$ dents?

Un dipòsit d'aigua s'omple en $6$ hores utilitzant una aixeta amb un cabal de $10$ litres per minut. Quant de temps trigarà a omplir-se el mateix dipòsit si el cabal de l'aixeta augmenta a $15$ litres per minut?

La Marta ha fet un viatge en cotxe a una velocitat constant de $90$ km/h i ha trigat $4$ hores. Si per al viatge de tornada decideix anar més a poc a poc, a una velocitat de $60$ km/h, quant de temps trigarà a fer el mateix recorregut?

Per omplir la bassa contra incendis d'un municipi de la Sierra de Cazorla s'utilitzen $3$ boques d'aigua iguals, que tarden $12$ hores a omplir-la completament. Davant d'una emergència, l'equip municipal decideix connectar $6$ boques idèntiques alhora. En Marcos, un dels tècnics, calcula el temps que tardaran plantejant l'operació següent: $x = \dfrac{6 \cdot 12}{3} = 24\text{ hores}$.\na) Sense fer càlculs complexos, raona analitzant un cas extrem o lògic per què el resultat obtingut per en Marcos no té sentit en la realitat.\nb) Explica quin error conceptual va cometre en Marcos en plantejar la seva regla de tres.\nc) Corregeix el plantejament utilitzant la constant de proporcionalitat inversa i determina quantes hores tardaran realment les $6$ boques.

Una associació juvenil d'un barri de Zaragoza contracta un autobús per a una excursió al Monasterio de Piedra per un cost tancat de $720$ €, que es reparteix a parts iguals entre les persones que hi assisteixin.\na) Escriu la fórmula matemàtica que relaciona el preu per persona ($y$, en euros) en funció del nombre d'assistents ($x$). Indica el valor de la constant de proporcionalitat inversa i explica què representa en aquest context.\nb) L'organització estableix que el viatge només es realitzarà si el preu per persona es manté entre $15$ € i $30$ € (ambdós inclosos). Proposa tres valors possibles per al nombre d'assistents ($x$) i calcula el preu per persona ($y$) que correspondria a cadascun d'ells.

Un grup d'amics ha guanyat un premi de $300$ € en un concurs de robòtica i han decidit repartir-lo a parts iguals. Completa la taula següent per esbrinar quants diners rebria cadascun depenent del nombre de persones que formin el grup. Indica també quina és la constant de proporcionalitat inversa.

En la gràfica pots veure marcat el cas de $2$ amics.

Un dron de repartiment triga $12$ minuts a lliurar un paquet desplaçant-se a una velocitat de $40$ km/h. Si el centre de control decideix augmentar la seva velocitat a $60$ km/h per a la tramesa següent al mateix lloc, quant de temps trigarà a arribar?

Per muntar l'escenari d'un festival de música, $8$ operaris han treballat durant $15$ hores. Si l'ajuntament necessita que el muntatge estigui acabat en només $10$ hores, quants operaris addicionals hauran de contractar, suposant que tots treballen al mateix ritme?

Una associació protectora d'animals té racions de pinso per alimentar els seus $45$ gossos durant $20$ dies. Si demà arriben $15$ gossos més rescatats d'una camada, quants dies duraran les existències de pinso si no es varia la ració diària per gos?

Un ramader utilitza una mànega amb un cabal de $5$ litres per minut per omplir un dipòsit d'aigua en $12$ hores. Quin cabal hauria de tenir una nova mànega si vol omplir el mateix dipòsit en tan sols $3$ hores?

Una aula de tecnologia té diverses plaques de contraplacat rectangulars que ocupen totes la mateixa superfície: $1200$ cm². Completa la taula de les possibles dimensions (base i altura) per a aquestes plaques i explica quina relació hi ha entre elles.

Dues rodes dentades estan engranades. La primera té $48$ dents i gira a $150$ voltes per minut (rpm). A quina velocitat girarà la segona roda si té $30$ dents?

Sis aixetes iguals triguen $40$ minuts a omplir una piscina infantil. Si dues de les aixetes s'espatllen i queden fora de servei, quant de temps trigaran les aixetes restants a omplir la mateixa piscina? Expressa el resultat en hores i minuts.

Una brigada forestal composta per $4$ operaris tarda $18$ hores de feina efectiva a desbrossar una franja tallafocs en una muntanya comunal de Galícia. Davant la previsió d'una onada de calor, es decideix incorporar $2$ operaris més, amb el mateix ritme de treball, formant un equip de $6$ persones.\na) Abans de calcular el valor exacte, fes una estimació raonada: sabent que el doble d'operaris ($8$) tardaria $9$ hores, l'equip de $6$ operaris tardarà més o menys de $10$ hores? Explica la teva deducció mental sense resoldre l'equació encara.\nb) Calcula el temps exacte que tardaran els $6$ operaris emprant la propietat del producte constant ($a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$).\nc) Comprova si el resultat numèric confirma la teva estimació inicial i interpreta quin significat físic té la constant de proporcionalitat obtinguda en termes d'«hores de feina d'un sol operari».

Un autobús de línia regular fa el trajecte de $120\text{ km}$ que uneix dues localitats a Castella i Lleó. La velocitat mitjana del trajecte ($v$, en $\text{km/h}$) i el temps invertit ($t$, en hores) són magnituds inversament proporcionals.\na) Escriu la funció que expressa el temps $t$ (en hores) en funció de la velocitat mitjana $v$.\nb) En un dia amb trànsit fluid l'autobús circula a una velocitat mitjana de $80\text{ km/h}$, mentre que en una jornada amb boira densa la seva velocitat mitjana descendeix a $50\text{ km/h}$. Calcula el temps de viatge en cada situació, expressant el resultat amb precisió en hores i minuts.\nc) Si el consorci de transports exigeix que el trajecte es completi en un temps màxim d'$1$ hora i $15$ minuts, a quina velocitat mitjana mínima ha de circular l'autobús? Justifica el teu procediment.

Tres amics decideixen repartir-se els $282$ € obtinguts en un premi d'un concurs de robòtica de manera inversament proporcional als minuts que han trigat a resoldre la seva prova final. Si el primer amic va trigar $12$ minuts, el segon $15$ minuts i el tercer $20$ minuts, quants diners li corresponen a cadascun?

Una expedició de muntanya té queviures emmagatzemats per alimentar $20$ excursionistes durant $12$ dies. Ara bé, després dels primers $4$ dies de travessa, es troben amb un altre grup de $5$ persones que s'han quedat sense subministraments i decideixen compartir els queviures. Si mantenen la mateixa ració diària per persona, quants dies menys dels previstos duraran els aliments restants?

En una bicicleta de muntanya, la relació entre el nombre de dents del plat i el del pinyó determina l'avanç. Si amb un plat de $48$ dents i un pinyó de $24$ dents la roda del darrere fa exactament $200$ voltes en un tram, quantes voltes faria la roda si canviéssim a un pinyó de $16$ dents mantenint el mateix pedaleig (mateixes voltes de plat)? Justifica el tipus de proporcionalitat.

Un rectangle té una base de $12$ cm i una altura de $8$ cm. Volem construir un altre rectangle que tingui exactament la mateixa superfície, però la base del qual sigui un $25$ % més llarga que la del primer.

• a) Quina serà l'altura del nou rectangle?

• b) En quin percentatge ha disminuït l'altura respecte al rectangle original?

Sis impressores d'alta velocitat triguen $4$ hores i $30$ minuts a imprimir $5000$ fullets publicitaris. Si dues de les impressores pateixen una avaria abans de començar la feina, quantes hores i minuts trigaran les impressores restants a fer el mateix encàrrec?

Per omplir una piscina olímpica, s'utilitzen $4$ aixetes que aboquen un cabal de $12$ litres per minut cadascuna, i triguen un total de $30$ hores. Si volem que la piscina s'ompli en tan sols $18$ hores fent servir aixetes amb un cabal superior, de $16$ litres per minut, quantes aixetes d'aquest nou model necessitarem obrir?

Un tren de mercaderies fa el trajecte entre dues ciutats a una velocitat mitjana de $80$ km/h, i triga $3$ hores i $45$ minuts. En el viatge de tornada, a causa d'una avaria a la via, ha de reduir la seva velocitat mitjana fins als $60$ km/h.

• a) Quant de temps trigarà a completar el viatge de tornada?

• b) Expressa el resultat en hores, minuts i segons.

Observa la taula següent que representa la relació entre dues magnituds $M$ i $N$. Determina si es tracta d'una relació de proporcionalitat inversa calculant la seva constant $k$. Un cop trobada, completa els valors que falten, expressant-los com a nombres enters o decimals exactes.

En una cooperativa vinícola de La Rioja, una colla de $12$ veremadors recull el raïm d'una parcel·la en $20$ dies. La direcció necessita preveure quants dies es tardaria a recollir la mateixa parcel·la en tres contractacions possibles: amb $24$ veremadors, amb $6$ veremadors i amb $15$ veremadors.\nEs proposen dues maneres de resoldre-ho:\n- Mètode A: Plantejar tres regles de tres inverses independents per a cada cas.\n- Mètode B: Calcular la constant de proporcionalitat inversa $k$ (jornades totals necessàries), formular l'expressió $y = \dfrac{k}{x}$ i utilitzar les relacions de proporcionalitat simple (doble/meitat) quan sigui possible.\na) Aplica tots dos mètodes per calcular els dies que corresponen a cadascun dels tres supòsits.\nb) Compara els dos procediments i justifica raonadament per què el Mètode B és més eficient i segur quan s'han d'avaluar múltiples escenaris de personal.

Al laboratori de Ciències d'un institut es comprova experimentalment la llei de Boyle-Mariotte: a temperatura constant, el volum ($V$, en litres) que ocupa una massa de gas i la pressió ($P$, en atmosferes) a la qual està sotmesa són inversament proporcionals ($P \cdot V = k$). En iniciar la pràctica, el gas ocupa $12\text{ litres}$ sotmès a una pressió de $2\text{ atm}$.\na) S'acciona un èmbol per comprimir el gas de manera que el seu volum final quedi situat entre $3\text{ litres}$ i $4\text{ litres}$ (ambdós valors inclosos). Determina raonadament l'interval de pressió ($P$) en el qual ha de treballar el compressor.\nb) Un alumne planteja la hipòtesi següent: «Com que duplicar la pressió redueix el volum a la meitat, si incrementem la pressió un $50\,\%$, el volum es reduirà també un $50\,\%$.» Demostra algebraicament si la seva deducció és vertadera o falsa, i calcula el percentatge exacte en què disminueix realment el volum en augmentar la pressió un $50\,\%$.