Exercicis: Plànols i escala

En un mapa de carreteres d'Espanya, l'escala indicada és $1:250.000$. Si utilitzes un regle per mesurar la distància entre dos pobles i marques exactament $8\text{ cm}$, quants quilòmetres separen aquests dos pobles en la realitat?

Vols fer un dibuix a la teva llibreta de la teva nova tauleta gràfica. La tauleta té una llargada real de $30\text{ cm}$. Si decideixes utilitzar una escala de reducció de $1:3$, quant mesurarà de llarg el dibuix a la teva llibreta?

Un grup d'arqueòlegs ha dibuixat una gerra antiga en un paper. En el dibuix, la gerra fa $15\text{ cm}$ d'alt. Si sabem que la gerra real té una altura de $75\text{ cm}$, quina és l'escala que han utilitzat els arqueòlegs?

En el plànol d'un habitatge realitzat a escala $1:100$, el dormitori principal apareix representat com un rectangle que mesura $4\text{ cm}$ de llarg i $3\text{ cm}$ d'amplada. Calcula les dimensions reals de l'habitació expressades en metres.

Un col·leccionista de cotxes en miniatura té un model a escala $1:24$. Si la longitud de la miniatura és de $18\text{ cm}$, quant mesurarà el cotxe real en metres?

Observes una escala gràfica en un mapa de senderisme on un segment de $1\text{ cm}$ equival a $500\text{ metres}$ en la realitat. Si la ruta que vols fer mesura $12\text{ cm}$ sobre el mapa, quants quilòmetres caminaràs en total?

Un biòleg fotografia una petita formiga reina utilitzant una escala d'ampliació de $5:1$. Si en la fotografia la formiga fa $45\text{ mm}$ de longitud, quina és la seva mida real en mil·límetres?

En un fullet d'un poliesportiu, han dibuixat una pista de bàsquet a escala $1:200$. Si la pista real fa $28\text{ metres}$ de llarg, quants centímetres mesurarà la llargada de la pista en el dibuix del fullet?

En Marcos està dissenyant a la classe de Tecnologia el plànol del seu dormitori a escala $1:50$. En mesurar amb el regle la paret principal on col·locarà el llit, anota una longitud de $7,2\text{ cm}$. A continuació, fa l'operació següent per calcular la mesura en la realitat: $7,2 \cdot 50 = 360$, i conclou al seu quadern: «La paret de la meva habitació fa $360\text{ metres}$ de llarg».

1. Explica raonadament per què el resultat al qual arriba en Marcos no té sentit físic per a un habitatge.

2. Identifica l'error concret d'unitats o de concepte que ha comès en interpretar l'escala.

3. Corregeix el seu procediment i determina la longitud real correcta de la paret expressada en metres.

Estàs planificant una ruta senderista pel Parc Natural de Cabo de Gata (Almeria) utilitzant un mapa topogràfic a escala $1:40.000$. Amb un regle, mesures una distància de $7,5\text{ cm}$ en línia recta entre dues cales costaneres.

1. Estima: Sense utilitzar calculadora ni fer multiplicacions complexes amb decimals, fes una estimació mental prèvia. Sabent que a escala $1:40.000$ cada centímetre equival a una mica menys de mig quilòmetre ($0,4\text{ km}$), la distància real estarà més a prop d'$1\text{ km}$, de $3\text{ km}$ o de $10\text{ km}$? Explica en què et bases.

2. Calcula: Aplica les relacions d'escala per trobar el valor exacte de la distància real en quilòmetres.

3. Comprova: Contrasta el càlcul amb la teva estimació inicial i argumenta si una persona caminant a un ritme constant de $4\text{ km/h}$ trigaria més o menys d'una hora a recórrer aquest trajecte en línia recta.

En un mapa de senderisme de la Sierra de Guadarrama, l'escala indicada és $1:25.000$. Si la distància mesurada amb un regle entre el Puerto de Navacerrada i la Bola del Mundo és de $12,4$ cm sobre el paper, quants quilòmetres reals haurà de recórrer un grup d'excursionistes per anar d'un punt a l'altre en línia recta?

Una jove arquitecta està dissenyant un nou skate park per a la seva ciutat. Al plànol tècnic, la pista principal de salts té una longitud de $15$ cm. Si el parc es construirà a una escala de $1:150$, calcula la longitud real de la pista en metres.

Has decidit canviar la decoració de la teva habitació i vols dibuixar un plànol a escala $1:20$ per veure si hi cap un nou escriptori. Si la teva habitació és rectangular i mesura $4,2$ metres de llargada per $3,4$ metres d'amplada, quines seran les dimensions (llargada i amplada) que tindrà el rectangle al teu dibuix expressades en centímetres?

En la maqueta d'una famosa torre de comunicacions, l'altura de la rèplica és de $85$ cm. Si sabem que l'altura real de la torre és de $255$ metres, determina l'escala numèrica simplificada a la qual ha estat construïda la maqueta.

Un mapa de carreteres té una escala gràfica en la qual un segment de $2$ cm representa una distància real de $15$ km. Si la distància entre dues ciutats en aquest mapa és de $9,4$ cm, quina és la distància real en quilòmetres entre totes dues ciutats?

Un biòleg observa una formiga a través d'un microscopi. En el seu dibuix tècnic, la formiga té una longitud de $12$ cm. Si l'escala del dibuix és d'ampliació $25:1$, quina és la longitud real de la formiga expressada en mil·límetres?

El plànol d'un camp de futbol municipal està dibuixat a escala $1:400$. En el plànol, l'àrea que ocupa la gespa és un rectangle de $25$ cm de llarg per $15$ cm d'amplada. Calcula l'àrea real del camp de futbol en metres quadrats.

Disposes de dos mapes diferents de la mateixa zona. Al Mapa A, la distància entre dos pobles és de $6$ cm i l'escala és $1:50.000$. Al Mapa B, la distància entre aquests mateixos pobles és de $15$ cm. Calcula quina és l'escala numèrica del Mapa B.

El departament d'Esports d'un ajuntament editarà un fullet informatiu amb el plànol d'una pista poliesportiva reglamentària exterior. Les dimensions reals de la pista són $40\text{ m}$ de llarg per $20\text{ m}$ d'ample. A la maqueta d'impremta han reservat un requadre tancat de $12\text{ cm}$ de llarg per $8\text{ cm}$ d'ample per inserir aquest plànol. El dissenyador només pot triar entre quatre escales estàndard normalitzades: $1:200$, $1:300$, $1:400$ i $1:500$.

1. Analitza cada escala i determina quina és l'escala més gran (la de més nivell de detall) que permet dibuixar la pista íntegra dins del requadre sense sobrepassar cap dels seus marges.

2. Amb l'escala adequada que has seleccionat, calcula les dimensions exactes (llarg i ample) que tindrà el rectangle dibuixat sobre el paper en centímetres.

3. Quants centímetres de marge lliure quedaran al llarg i a l'ample dins del requadre del fullet?

A través de la seu electrònica del Cadastre, una cooperativa agrícola de Jaén consulta una parcel·la d'oliveres rectangular representada en un mapa a escala $1:5.000$. Sobre la pantalla, el rectangle de la finca fa $8\text{ cm}$ de llarg i $5\text{ cm}$ d'ample.

1. Modela matemàticament la situació i calcula les dimensions reals de la finca (longitud i amplada) expressades en metres.

2. Obtén la superfície real total de la parcel·la expressada en metres quadrats ($\text{m}^2$) i converteix-la a hectàrees ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$).

3. Els informes agronòmics de la zona indiquen un rendiment mitjà de $4.200\text{ kg}$ d'oliva per hectàrea, i se sap que a la tafona s'obté un $20\,\%$ del seu pes en oli d'oliva verge extra. Calcula quants quilograms d'oli d'oliva preveu produir la cooperativa amb la collita d'aquesta parcel·la.

Un dron de vigilància forestal recorre una ruta rectangular sobre un parc natural. Al centre de control, els tècnics visualitzen la ruta en una pantalla digital on l'escala és $1:50.000$. En aquesta pantalla, el rectangle mesura $12\text{ cm}$ de llargada i $8\text{ cm}$ d'amplada. Tanmateix, per a l'informe imprès, han de reduir el mapa de manera que la llargada de la ruta mesuri només $4\text{ cm}$.

Calcula:

1. L'àrea real del parc natural en quilòmetres quadrats ($\text{km}^2$).

2. L'escala numèrica que ha de tenir el mapa de l'informe imprès.

Estàs dissenyant la teva pròpia "Gaming Room" en un plànol a escala $1:40$. En el dibuix, l'habitació té una superfície de $75\text{ cm}^2$. Has vist un escriptori professional que ocupa una superfície real de $1,28\text{ m}^2$ i una cadira que n'ocupa $0,6\text{ m}^2$.

Si decideixes col·locar l'escriptori i dues cadires iguals, quina superfície real quedarà lliure a l'habitació? Expressa el resultat en metres quadrats ($\text{m}^2$).

En un mapa de carreteres d'Espanya amb escala $1:2.500.000$, la distància mesurada amb un regle entre Madrid i València és de $14,2\text{ cm}$. Un camió de repartiment surt de Madrid a les $08:00\text{ h}$ i viatja cap a València a una velocitat mitjana de $90\text{ km/h}$.

A quina hora s'espera que arribi a la seva destinació si para mitja hora a meitat de camí per descansar?

Una aplicació de mapes en un telèfon intel·ligent mostra una zona de la ciutat. Quan el zoom està al nivell A, l'escala és $1:15.000$ i la distància entre dues parades de metro és de $6\text{ cm}$. Si l'usuari fa "zoom out" fins que l'escala sigui $1:50.000$ (nivell B):

1. Quina serà la distància en centímetres entre aquestes mateixes parades a la pantalla?

2. Si la pantalla del telèfon té una àrea de $80\text{ cm}^2$, quants quilòmetres quadrats reals de superfície urbana es visualitzen al nivell B?

Un arquitecte ha construït una maqueta d'un nou auditori a escala $1:250$. El volum total de la maqueta és de $0,64\text{ dm}^3$.

Sabent que la densitat dels materials reals és diferent, però el volum es manté proporcional al cub de l'escala, calcula el volum real de l'auditori en metres cúbics ($\text{m}^3$).

(Nota: Recorda que si l'escala de longitud és $k$, l'escala de volum és $k^3$).

El plànol d'una piscina municipal està dibuixat a una escala tal que una de les seves parets, que mesura $25\text{ metres}$ en la realitat, està representada per un segment de $12,5\text{ cm}$. Al plànol, el fons de la piscina té una àrea de $120\text{ cm}^2$.

Es vol cobrir el fons real amb rajoles quadrades de $20\text{ cm}$ de costat. Quantes rajoles serà necessari comprar?

Un mapa antic ha perdut la indicació d'escala numèrica. Tanmateix, mostra una escala gràfica en la qual un segment que mesura $3,5\text{ cm}$ al paper representa una distància real de $17,5\text{ quilòmetres}$.

1. Determina l'escala numèrica del mapa.

2. Si dos pobles estan separats al mapa per $12\text{ cm}$, quantes hores trigarà un ciclista a anar de l'un a l'altre a una velocitat constant de $24\text{ km/h}$?

S'ha realitzat una fotocòpia d'un plànol original que estava a escala $1:200$. A causa d'un error en la configuració, la fotocòpia ha sortit reduïda al $75\%$ de la seva mida original.

A la fotocòpia, la sala d'estar de l'habitatge mesura $6\text{ cm}$ de llargada.

1. Quina és l'escala real de la fotocòpia respecte a la realitat?

2. Quina és la llargada real de la sala d'estar en metres?

El servei d'urbanisme té el plànol d'una futura plaça de vianants a escala $1:200$. En aquest plànol, la plaça abasta una superfície de $64\text{ cm}^2$. Per a una exposició veïnal, necessiten dibuixar una ampliació de la mateixa plaça en un panell a escala $1:50$. Dos delineants discuteixen sobre quin és el mètode més convenient per esbrinar l'àrea que ocuparà la plaça al nou panell:

• Mètode A (Pas per la realitat): Calcular la superfície real de la plaça en $\text{m}^2$ a partir del primer plànol i la seva escala ($1:200$) i, a partir d'aquesta dada real, deduir la superfície que ocuparà al panell a escala $1:50$.

• Mètode B (Raó directa d'àrees): Comparar directament les dues escales observant que $200 \div 50 = 4$ (les longituds al panell es quadrupliquen) i aplicar directament la relació entre àrees multiplicant l'àrea inicial per $4^2 = 16$.

• Resol el problema aplicant el Mètode A pas a pas, indicant la superfície real en $\text{m}^2$ i la superfície final al panell en $\text{cm}^2$.

• Resol el problema aplicant el Mètode B i comprova si tots dos resultats coincideixen exactament.

• Compara tots dos procediments: quin redueix el risc de cometre errors amb els canvis d'unitat i quin seria imprescindible si a més ens demanessin pressupostar el cost de pavimentar la plaça real?

Durant un episodi d'altes temperatures, Protecció Civil monitora un incendi forestal actiu mitjançant una aplicació d'emergències configurada a escala $1:25.000$. Al mapa tàctic, la zona cremada s'aproxima a un trapezi amb bases de $6\text{ cm}$ i $10\text{ cm}$, i una alçària de $4\text{ cm}$.

1. Calcula l'àrea que ocupa l'incendi al mapa en $\text{cm}^2$ i, emprant la relació quadràtica d'escales ($\text{Àrea real} = \text{Àrea al plànol} \cdot k^2$), calcula la superfície real cremada expressada directament en hectàrees ($1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$). Justifica el factor de conversió emprat.

2. Al mateix mapa tàctic, el front d'avanç que han d'atacar les brigades terrestres mesura un segment de $12\text{ cm}$. Els comandaments sol·liciten imprimir una fitxa de mà per a les quadrilles en una làmina plastificada l'espai útil màxim disponible de la qual és de $15\text{ cm}$. Si s'exigeix utilitzar una escala tècnica normalitzada $1:k$ on $k$ sigui un múltiple exacte de $5.000$ ($1:15.000$, $1:20.000$, $1:25.000$, $1:30.000$...), determina quina és l'escala de màxim detall (menor valor de $k$) que permet representar aquest front complet sense sobrepassar els $15\text{ cm}$ i calcula la longitud exacta que tindrà aquest front a la fitxa.

Repte del tema. Dissenya la renovació del teu dormitori!

1. Plànol i escala: Mesura amb cinta mètrica les dimensions reals de la teva habitació. Dibuixa el seu plànol a escala $1:50$ (a mà o amb GeoGebra) i calcula la raó entre la superfície real i la del dibuix.

2. Pressupost i rendiment: Busca en un web comercial el preu d'un pot de pintura. Sabent que $2$ pots cobreixen $15,5\text{ m}^2$ aplicant $2$ capes amb $4$ hores de feina, calcula mitjançant una regla de tres composta quants pots i hores necessitaries per pintar el sostre de la teva habitació (de la mateixa àrea que la planta) a $3$ capes. Aplica al cost final un descompte del $10\%$ i suma-li el $21\%$ d'IVA.

3. Repartiment i modelització: En un full de càlcul, tabula i grafica la funció de proporcionalitat inversa $t = k/n$ (temps invertit segons el nombre $n$ de persones pintant). Finalment, simula finançar la despesa total mitjançant un repartiment directament proporcional entre dos familiars segons les seves edats.

Presenta un informe breu amb el plànol, la taula amb la gràfica i els càlculs detallats.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de l'escala, la raó i el traçat del plànol.

• Correcció i rigor en la regla de tres composta i el tractament de percentatges.

• Representació adequada de la funció inversa i resolució del repartiment proporcional.

• Claredat expositiva i presentació de les dades a l'informe.