Exercicis: Proporcionalitat directa

Indica quins dels parells de magnituds següents són directament proporcionals. Justifica breument la teva resposta:

1. a) El nombre de persones que entren en un museu i els diners recaptats per les entrades.
2. b) L'edat d'una persona i la seva alçada.
3. c) El pes de les pomes que compres i el preu total a pagar.
4. d) La velocitat d'un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància fixa.

En una botiga d'esports, totes les samarretes del mateix model tenen el preu proporcional a la quantitat comprada. Copia i completa la taula següent al teu quadern i calcula la constant de proporcionalitat $k$ (preu per una samarreta).

Si una aixeta aboca $15$ litres d'aigua cada $3$ minuts, quants litres abocarà si es manté oberta durant $10$ minuts? Resol-ho utilitzant el mètode de reducció a la unitat (calculant primer quant aboca en un minut).

Per preparar un pa de pessic per a $6$ persones, es necessiten $300$ grams de farina. Si volem convidar $15$ persones i que tothom mengi la mateixa proporció de pa de pessic, quina quantitat de farina necessitarem?

Un videojoc ocupa $12$ GB d'espai i ha trigat $8$ minuts a descarregar-se amb una connexió estable. Si el joc següent que vols descarregar ocupa $18$ GB i la velocitat de descàrrega és la mateixa, quants minuts trigarà la descàrrega?

El perímetre d'un hexàgon regular és directament proporcional a la longitud del seu costat. Si un hexàgon el costat del qual mesura $4$ cm té un perímetre de $24$ cm, calcula el perímetre d'un altre hexàgon regular el costat del qual mesura $7,5$ cm.

En un plànol d'una habitació amb una escala $1:50$, la llargada del llit mesura $4$ cm. Quina és la mida real del llit expressada en metres? (Recorda que l'escala $1:50$ significa que $1$ cm al dibuix equivalen a $50$ cm a la realitat).

La Marta ha pagat $4,50$ € per $3$ caixes de retoladors per al seu projecte de dibuix. Si necessita comprar $5$ caixes més per als seus companys de grup, quants diners li costaran aquestes $5$ caixes extra?

En Pablo compra taronges al mercat del seu barri. Sap que $3\text{ kg}$ de taronges costen $4,20\text{ €}$ i necessita esbrinar quant costaran $5\text{ kg}$. Per resoldre-ho, en Pablo raona de la manera següent: «Com que $5$ és igual a $3 + 2$, al preu de $4,20\text{ €}$ només li he de sumar $2\text{ €}$, de manera que pagaré $6,20\text{ €}$». Identifica l'error en el raonament d'en Pablo, explica per què el seu mètode no respecta la definició de proporcionalitat directa i calcula el preu correcte obtenint primer la constant de proporcionalitat directa $k$ (preu per quilogram).

En un forn artesanal de Toledo venen barres de pa ecològic al mateix preu unitari. Quatre barres idèntiques costen $5,40\text{ €}$ i vols comprar $7$ barres.

1. a) Abans de fer cap càlcul per escrit, fes una estimació: raona entre quins dos nombres enters consecutius d'euros s'ha de situar el preu final de les $7$ barres i explica la teva deducció intuïtiva.
2. b) Calcula el cost exacte utilitzant el mètode de reducció a la unitat (preu d'una sola barra).
3. c) Compara el resultat exacte amb la teva estimació inicial i valora si la xifra obtinguda és coherent amb la situació plantejada.

Una plataforma de streaming de videojocs ofereix una subscripció prèmium. Sabem que per $4$ mesos de servei es paguen $35,20$ €.

1. a) Calcula la constant de proporcionalitat directa $k$ (preu per mes).
2. b) Completa la taula de valors següent:

1. c) Quants mesos podries contractar si dsiposes d'un pressupost màxim de $100$ €?

Un dron de vigilància forestal vola a una velocitat constant. El centre de control registra que el dron ha recorregut $10,5$ quilòmetres en els primers $15$ minuts de vol.

1. a) Quina distància recorrerà el dron si manté la mateixa velocitat durant una hora completa?
2. b) Si el dron necessita cobrir una distància total de $63$ km, quants minuts trigarà a completar la missió?

Indica raonadament quins dels parells de magnituds següents mantenen una relació de proporcionalitat directa:

1. a) El nombre d'entrades per a un concert i el preu total a pagar (sense despeses de gestió fixes).
2. b) L'edat d'una persona i la seva alçada en centímetres.
3. c) El pes de les pomes comprades a granel i el cost de la compra.
4. d) La velocitat d'un cotxe i el temps que triga a recorrer una distància fixa.
5. e) El nombre de pàgines d'un llibre i el temps que es triga a llegir-lo (assumint una velocitat de lectura constant).

Per preparar una pintura d'un color taronja específic, un artista barreja $150$ ml de pintura vermella amb $225$ ml de pintura groga.

1. a) Quants mil·lilitres de pintura vermella necessitarà si vol utilitzar $600$ ml de pintura groga per obtenir el mateix tó?
2. b) Si l'artista decideix crear una barreja total de $1$ litre ($1000$ ml), quina quantitat de cada color ha d'afegir mantenint la proporció original?

En el plànol d'un habitatge realitzat a escala $1:250$, la sala d'estar té una longitud de $3,2$ cm i una amplada de $2,4$ cm.

1. a) Calcula les dimensions reals de la sala d'estar en metres.
2. b) Calcula l'àrea real de la sala d'estar en metres quadrats.

Tres germans decideixen repartir-se els $144$ € que han rebut de regal per part dels seus avis de manera directament proporcional a les seves edats, que són de $10$, $12$ i $14$ anys respectivament. Quina quantitat de diners li correspon a cadascun?

Un carregador ràpid de telèfon intel·ligent és capaç de carregar el $18\%$ de la bateria en tan sols $12$ minuts. Si la velocitat de càrrega es manté constant:

1. a) Quin percentatge de bateria s'haurà carregat després de mitja hora ($30$ minuts)?
2. b) Quant de temps total (en minuts i segons) trigarà el telèfon a passar del $0\%$ al $100\%$ de càrrega?

Una empresa de reciclatge paga $0,65$ € per cada quilogram de llaunes d'alumini lliurat. Un grup d'estudiants ha recollit llaunes durant el mes i les ha pesades en lots:

1. a) Quants diners rebran per un lot que pesa $8,4$ kg?
2. b) Si al final de la campanya han aconseguit un total de $27,30$ €, quants quilos d'alumini van aconseguir reciclar en total?

Un grup escolta de la serra de Guadarrama prepara una ruta de senderisme. Segons els registres del seu monitor, el grup consumeix $15\text{ litres}$ d'aigua potable per cada $6\text{ km}$ que recorre a marxa constant. Volen preveure el consum per a dues jornades diferents: una etapa plana de $18\text{ km}$ i una altra etapa de muntanya de $7\text{ km}$.

Es plantegen dos procediments: el Mètode A (reducció a la unitat, calculant quants litres consumeixen per cada quilòmetre) i el Mètode B (multiplicar o dividir directament mitjançant el factor d'escala entre els quilòmetres coneguts i els que es recorreran).

1. a) Per a l'etapa de $18\text{ km}$, justifica quin dels dos mètodes permet calcular l'aigua necessària de manera més ràpida i mental. Troba el resultat amb aquest mètode.
2. b) Per a l'etapa de $7\text{ km}$, justifica quin mètode resulta més clar i operatiu. Calcula-hi els litres d'aigua necessaris.
3. c) Quin significat pràctic té la constant de proporcionalitat $k = \frac{15}{6}$ en aquest context i en quines unitats s'expressa?

Segons dades de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), durant una tempesta d'intensitat regular a la comarca del Baix Segura (Alacant), un pluviòmetre va recollir $14\text{ litres}$ d'aigua per metre quadrat en $40\text{ minuts}$.

1. a) Suposant que la pluja cau de manera uniforme, comprova que el temps i la quantitat d'aigua acumulada són directament proporcionals i escriu la fórmula matemàtica que relaciona els litres per metre quadrat recollits ($y$) en funció del temps en minuts ($x$).
2. b) Quants litres per metre quadrat s'acumularan després de $2\text{ hores i mitja}$ de pluja contínua?
3. c) Protecció Civil emet avís taronja en aquesta zona si se superen els $40\text{ litres}$ per metre quadrat en una hora. Amb la intensitat registrada en aquest episodi, s'assoliria el llindar d'avís taronja al cap de $60\text{ minuts}$? Justifica la teva resposta amb càlculs.

Tres amics decideixen muntar un canal de streaming de videojocs. En acabar el primer mes, han obtingut uns ingressos de $1\,260\text{ €}$ per publicitat. Acorden repartir els diners de manera directament proporcional a les hores que cadascun ha dedicat a gravar i editar contingut.

En Marcos hi va dedicar $12$ hores, la Lucía hi va dedicar el doble que en Marcos, i en Sergio hi va dedicar tantes hores com la meitat del que hi van dedicar en Marcos i la Lucía junts. Calcula quants diners li corresponen a cadascun i determina quina és la constant de proporcionalitat $k$ (diners per hora treballada).

Una empresa de fabricació de filament per a impressores 3D sap que la longitud del fil extret és directament proporcional al temps de funcionament de la màquina extrusora. Si en $15$ minuts es produeixen $45$ metres de fil d'un gruix determinat:

• a) Quants quilòmetres de fil es fabricaran si la màquina treballa sense interrupció durant una jornada laboral completa de $8$ hores?

• b) Si el cost de producció és de $0,12\text{ €}$ per cada decàmetre ($10\text{ m}$) de fil, quin serà el valor total de la producció després d'aquestes $8$ hores?

En un mapa de senderisme de la Sierra de Guadarrama, la distància entre dos refugis és de $12,5\text{ cm}$. Sabem que l'escala del mapa és $1:50\,000$. Dos excursionistes decideixen realitzar aquest trajecte. Si la seva velocitat mitjana és de $4\text{ km/h}$, calcula quant de temps trigaran a arribar d'un refugi a l'altre expressant el resultat en hores i minuts.

Un ajuntament vol fomentar l'ús d'energies netes i reparteix una subvenció de $15\,000\text{ €}$ entre tres comunitats de veïns que han instal·lat plaques solars. El repartiment es fa de manera directament proporcional a la superfície de panells instal·lada.

La Comunitat A ha instal·lat $120\text{ m}^2$. La Comunitat B ha instal·lat un $25\%$ més que la Comunitat A. La Comunitat C ha instal·lat el $60\%$ de la suma de les superfícies de les comunitats A i B juntes. Calcula quants diners rep cada comunitat.

La gràfica següent representa la relació entre la massa d'un metall preciós i el seu valor al mercat. Observa que és una funció de proporcionalitat directa:

• a) Troba la constant de proporcionalitat $k$, que representa el preu per gram.

• b) Si una joia conté un $15\%$ d'impureses (massa que no té valor) i pesa en total $24\text{ g}$, quin és el valor del metall pur que conté basant-te en la gràfica?

Per tenyir un lot de samarretes de cotó, un taller utilitza una barreja de tint concentrat i aigua. La recepta indica que per cada $2,5\text{ litres}$ d'aigua cal afegir $150\text{ ml}$ de tint.

Si el taller disposa d'un dipòsit de $60\text{ litres}$ de capacitat i vol omplir-lo mantenint exactament la mateixa proporció, quina quantitat de tint concentrat i quina quantitat d'aigua haurà de barrejar? (Ves amb compte: el volum final del dipòsit és la suma de tots dos líquids).

Un far projecta una ombra de $18\text{ metres}$ sobre el terra. En aquest mateix instant, un pal vertical de $2,5\text{ metres}$ d'alçada situat a prop del far projecta una ombra de $150\text{ cm}$.

• a) Calcula l'alçada del far.

• b) Si el sol baixa i l'ombra del pal augmenta en $30\text{ cm}$ més, quant mesurarà la nova ombra del far?

Una cadena de muntatge produeix un nombre constant de components electrònics cada hora. Es sap que treballant $5$ dies a raó de $8$ hores diàries, han fabricat un total de $14\,000$ components.

Si a causa d'una comanda urgent necessiten fabricar $25\,200$ components en els pròxims $6$ dies, quantes hores diàries hauran de treballar les màquines per complir amb el termini, suposant que el ritme de producció per hora no varia?

Al laboratori de Ciències s'investiga la relació entre la massa ($M$, en grams) i el volum ($V$, en centímetres cúbics) d'un líquid desconegut mitjançant provetes graduades. Se sap amb certesa que totes dues magnituds són directament proporcionals. Després de l'experiment, una part del quadern de notes s'ha tacat de tinta, però es conserven tres pistes:

1. En augmentar el volum en $15\text{ cm}^3$, la massa augmenta exactament en $12\text{ g}$.

2. La constant de proporcionalitat $k = \frac{M}{V}$ és un nombre decimal exacte menor que $1$.

3. La suma de la massa que tenen $20\text{ cm}^3$ d'aquest líquid més el volum que ocupen $32\text{ g}$ del mateix líquid és igual a $56$.

1. a) Dedueix el valor exacte de la constant $k$ (densitat del líquid en $\text{g/cm}^3$) a partir de les dades conservades i demostra que les pistes 1 i 3 són coherents entre si.
2. b) Escriu l'expressió analítica que permet obtenir la massa en funció del volum.
3. c) Si disposes d'un recipient que suporta una càrrega màxima de $140\text{ g}$, quin és el volum màxim de líquid que hi pots abocar sense superar aquesta massa?

El servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola aplica la tarifa següent: $1,20\text{ €}$ fixos per desbloquejar la bicicleta més $0,15\text{ €}$ per cada minut de trajecte.

L'Elena sosté: «Si per un trajecte de $10\text{ minuts}$ pago $1,20 + 10 \cdot 0,15 = 2,70\text{ €}$, quan pedali durant el doble de temps ($20\text{ minuts}$) hauré de pagar el doble ($5,40\text{ €}$). Com que en duplicar el temps es duplica el cost, totes dues magnituds són directament proporcionals».

1. a) Calcula el cost real d'un viatge de $20\text{ minuts}$ i determina si l'afirmació de l'Elena sobre el preu és correcta.
2. b) Utilitza el quocient $\frac{\text{preu}}{\text{temps}}$ per a $10$ i per a $20\text{ minuts}$ i explica detalladament per què el temps d'ús i el preu final NO són magnituds directament proporcionals, assenyalant quin element de la tarifa trenca aquesta proporcionalitat i com es reflectiria això en la seva gràfica enfront d'una recta de proporcionalitat directa.
3. c) Modifica l'enunciat original eliminant o canviant únicament un element de la tarifa perquè el preu total passi a ser directament proporcional al temps d'ús. Indica quina seria la nova constant de proporcionalitat directa $k$ i quin seria el seu significat en la vida real.