Exercicis: Regla de tres composta

En una botiga de personalització de roba, $3$ màquines d'impressió tèrmica aconsegueixen estampar $120$ samarretes treballant durant $4$ hores. Si a causa d'una comanda urgent d'un institut es posen en marxa $5$ màquines iguals, quantes samarretes podran estampar en $6$ hores?

Un refugi d'animals necessita $480$ kg de pinso per alimentar $40$ gossos durant $30$ dies. Si el refugi rep una donació i augmenta la seva capacitat fins als $60$ gossos, quants quilos de pinso necessitaran per alimentar-los durant $20$ dies?

Per pujar els fitxers d'un nou videojoc a un servidor, $4$ connexions de fibra òptica iguals triguen $15$ minuts a transferir $120$ GB. Si volem transferir $200$ GB al mateix servidor fent servir $5$ connexions iguals, quants minuts trigaran?

Un grup de $6$ amics decideix repartir propaganda del seu equip d'e-sports local. En $3$ hores han aconseguit repartir per les bústies $450$ fullets. Si el dissabte vinent s'uneixen $2$ amics més al grup i treballen durant $4$ hores, quants fullets repartiran en total?

En una planta de reciclatge d'aigua, $8$ depuradores iguals filtren $2400$ metres cúbics d'aigua en un període de $5$ dies. Quants metres cúbics d'aigua filtraran $12$ depuradores si funcionen durant $7$ dies?

Cinc fonts d'aigua decoratives, amb el mateix cabal, consumeixen $300$ litres d'aigua si estan enceses durant $8$ hores. Calcula quants litres consumiran $10$ fonts iguals si es mantenen enceses durant només $2$ hores.

Una empresa de missatgeria utilitza $4$ furgonetes per repartir $640$ paquets en $5$ dies. Si l'empresa decideix llogar $2$ furgonetes més per reforçar el servei, quants paquets podran repartir en un període de $3$ dies?

Per il·luminar una sala d'exposicions d'art durant $12$ dies, $15$ focs LED de baix consum han generat una despesa de $54$ euros. Quina serà la despesa en electricitat si s'utilitzen $20$ focs iguals durant un esdeveniment que dura $10$ dies?

Per pintar les tanques d'un poliesportiu municipal, una colla de $3$ persones ha trigat $8$ dies treballant $6$ hores al dia. L'ajuntament encarrega un treball idèntic a una altra colla formada per $6$ persones que treballaran $4$ hores al dia. En Lucas ha resolt el problema escrivint el següent a la seva llibreta:

«Com que hi ha el doble de persones i menys hores diàries, plantejo la proporció: $x = 8 \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{4} = 24$ dies».

1. a) Sense fer càlculs numèrics, raona per què un resultat de $24$ dies és incoherent amb el sentit comú per a aquest cas.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès en Lucas en analitzar la relació de cada magnitud amb el nombre de dies.
3. c) Corregeix el plantejament i calcula el nombre exacte de dies que necessitarà la nova colla per acabar la feina.

En un viver municipal, $4$ aspersors iguals han regat un prat de $600\text{ m}^2$ durant $3$ hores seguides. Els operaris han de regar ara un altre prat de $1\,200\text{ m}^2$ utilitzant $6$ aspersors idèntics als anteriors.

1. a) Abans d'operar, fes una estimació qualitativa: tenint en compte que la superfície que s'ha de regar és exactament el doble, però que també es compta amb un $50\,\%$ més d'aspersors, esperes que el temps necessari sigui més gran, més petit o igual a les $3$ hores inicials? Justifica la teva deducció.
2. b) Classifica cada magnitud com a directa o inversament proporcional respecte al temps, planteja la regla de tres composta i calcula amb precisió quantes hores durarà el reg del segon prat.
3. c) Compara el valor obtingut amb l'estimació que has fet al principi i indica si el resultat confirma la teva deducció raonada.

Un grup de $4$ creadors de contingut especialitzats en viatges ha aconseguit editar $12$ vídeos per al seu canal treballant $6$ hores diàries durant una setmana. Si per al mes vinent s'uneixen $2$ col·laboradors més a l'equip i decideixen treballar $8$ hores diàries, quants vídeos podran editar en el mateix període de temps?

Per alimentar les $15$ vaques d'una granja escola durant $12$ dies s'han necessitat $540$ kg de pinso. A causa d'una nova subvenció, la granja ha adquirit $5$ vaques més. Quants quilos de pinso seran necessaris per alimentar tots els animals durant $20$ dies?

Una empresa de missatgeria utilitza $8$ drons per repartir $160$ paquets en $4$ hores de vol. Si l'empresa decideix augmentar la seva flota fins als $10$ drons i vol realitzar el repartiment de $250$ paquets, quantes hores de vol totals necessitaran els drons per completar la tasca?

Una quadrilla de $6$ operaris municipals neteja una superfície de $1500$ $m^2$ de platja en $5$ hores. Per a la pròxima jornada de neteja, l'ajuntament compta amb $8$ operaris, però la zona que s'ha de netejar és de $2800$ $m^2$. Calcula quant de temps trigaran a acabar la feina.

En una fàbrica de components electrònics, $5$ màquines idèntiques produeixen $2000$ processadors funcionant $8$ hores al dia. A causa d'una comanda urgent, la fàbrica ha de lliurar $3500$ processadors en el mateix nombre de dies. Si es posen en marxa $2$ màquines més, quantes hores diàries hauran de funcionar totes les màquines?

Tres aixetes iguals omplen un dipòsit de $10$ $m^3$ en $6$ hores. Si volem omplir un estany de $25$ $m^3$ utilitzant $5$ aixetes amb el mateix cabal que les anteriors, quantes hores necessitarem?

Per imprimir $1200$ cartells publicitaris, $4$ impressores industrials han estat funcionant durant $15$ hores. Si una de les impressores s'avaria i necessitem imprimir $1800$ cartells per a una nova campanya, quantes hores hauran de treballar les impressores restants?

Un equip de $12$ arqueòlegs ha excavat un tram de $60$ metres d'una antiga calçada romana treballant $9$ dies a raó de $7$ hores diàries. Si es vol excavar un altre tram de $80$ metres en $14$ dies, quantes hores diàries hauran de treballar si l'equip es manté amb el mateix nombre de persones?

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes elèctriques per distribuir paqueteria urbana. Durant el torn de matí, $4$ furgonetes han repartit $450$ paquets treballant durant $6$ hores. Per a la tarda, s'han acumulat $900$ paquets que s'han de repartir en una jornada reduïda de $4$ hores.

Per saber quantes furgonetes s'han d'activar a la tarda, dos integrants de l'equip plantegen dues estratègies diferents:

• La Sofía proposa aplicar directament una regla de tres composta analitzant les raons de proporcionalitat directa o inversa de cada magnitud respecte al nombre de furgonetes.

• En Mateo prefereix reduir primer a la unitat: calcular quants paquets reparteix una sola furgoneta en una hora, i a partir d'aquesta dada deduir les furgonetes necessàries.

1. a) Resol el problema seguint el mètode de la Sofía, detallant la classificació de cada magnitud i la fracció per la qual multipliques.
2. b) Resol el problema aplicant el mètode d'en Mateo, indicant el significat real i la unitat de mesura de cada resultat intermedi.
3. c) Analitza els dos camins: quins avantatges i inconvenients presenta cada mètode i quin et resultaria més fiable si el problema involucrés quatre o més magnituds alhora?

Durant un període d'alerta per sequera gestionat per la Confederació Hidrogràfica, la direcció d'un càmping registra la despesa d'aigua de les seves instal·lacions. Segons els seus mesuraments, un grup de $120$ persones allotjades durant $6$ dies ha generat un consum de $32\,400$ litres d'aigua potable. Per al mes d'agost, la previsió d'ocupació és de $180$ persones durant una quinzena completa ($15$ dies).

1. a) Identifica les magnituds del problema i analitza el tipus de relació de proporcionalitat que manté cadascuna d'elles respecte al volum d'aigua consumit.
2. b) Si les persones mantinguessin exactament el mateix hàbit de consum que en el registre previ, calcula mitjançant una regla de tres composta quants litres d'aigua es gastarien a l'agost.
3. c) El pla d'emergència municipal exigeix que en aquesta quinzena el càmping no superi un topall estricte de $67\,500$ litres en total. Determina a quants litres per persona i dia s'ha de limitar el consum diari per complir la norma i calcula quin percentatge de reducció sobre el consum diari inicial representa aquesta restricció.

En un centre d'acollida d'animals, s'ha calculat que $15$ sacs de pinso de $20\text{ kg}$ cadascun són suficients per alimentar $40$ gossos durant $12$ dies. A causa d'una campanya de rescat, el nombre de gossos augmenta en $20$ animals més. Si el centre compra sacs de $30\text{ kg}$ del mateix pinso, quants sacs necessitaran per alimentar tots els gossos durant $25$ dies?

Una brigada de neteja municipal, composta per $12$ operaris, ha aconseguit netejar una àrea de $3.600\text{ m}^2$ de bosc en $6$ dies, treballant $8$ hores diàries. Per a la setmana vinent, l'ajuntament necessita netejar una zona de $5.000\text{ m}^2$. Si $3$ operaris s'han donat de baixa i no podran assistir-hi, quantes hores diàries hauran de treballar els operaris restants per acabar la tasca en només $5$ dies?

Una granja de servidors de videojocs utilitza $8$ unitats de refrigeració per mantenir la temperatura òptima de $120$ servidors funcionant durant $24$ hores al dia, amb un cost elèctric de $480\text{ €}$ a la setmana. Si l'empresa decideix ampliar la seva capacitat a $200$ servidors i el preu de l'electricitat puja, de manera que el cost màxim permès és de $600\text{ €}$, durant quantes hores al dia podran estar encesos els servidors si es mantenen les mateixes $8$ unitats de refrigeració? (Considera que el cost és directament proporcional al nombre de servidors i a les hores d'ús).

Per imprimir els fullets d'un festival de música, $3$ impressores industrials treballant simultàniament triguen $15$ hores a imprimir $4.500$ exemplars. Una de les impressores s'avaria i s'ha de retirar. Quant de temps trigaran les impressores restants a imprimir $6.000$ exemplars si, per compensar la manca de la tercera màquina, s'augmenta la velocitat d'impressió de les altres dues en un $25\text{ \%}$? (Ajuda: pensa com afecta l'augment de velocitat al temps necessari).

Un grup de $5$ aixetes iguals triguen $8$ hores a omplir $3$ dipòsits de $600$ litres cadascun. Si volem omplir $4$ dipòsits de $900$ litres cadascun en un temps màxim de $10$ hores, quantes aixetes de les mateixes característiques necessitarem obrir? Si el resultat no és enter, raona quantes aixetes hauríem d'instal·lar com a mínim.

Sis camions cisterna de $12.000\text{ L}$ de capacitat cadascun han realitzat $4$ viatges per buidar un contenidor de residus industrials en $2$ dies. Si es contracten $2$ camions més de $15.000\text{ L}$ de capacitat cadascun per fer una feina similar buidant un contenidor que és un $50\text{ \%}$ més gran que l'anterior, quants dies trigaran a completar el buidatge si cada camió realitza $5$ viatges diaris?

Un equip de $4$ programadors ha desenvolupat una aplicació mòbil de $180$ pantalles en $15$ dies, dedicant-hi $6$ hores al dia cadascun. Per a un nou projecte d'una aplicació més complexa de $300$ pantalles, l'empresa disposa de $20$ dies. Si decideixen contractar $2$ programadors més i augmentar la jornada laboral a $8$ hores diàries, calcula si podran lliurar el projecte a temps i quantes pantalles diàries de mitjana desenvoluparà ara l'equip complet.

Una fàbrica de calçat esportiu ha produït $2.400$ parells de bambes en $10$ dies treballant amb $12$ màquines automàtiques durant $16$ hores al dia. A causa d'una comanda urgent d'un distribuïdor internacional, la fàbrica ha de produir $3.600$ parells en només $8$ dies. Si han comprat $3$ màquines addicionals de les mateixes característiques, quantes hores extra al dia, per sobre de les $16$ habituals, hauran de funcionar totes les màquines per complir el termini?

Al taller de tecnologia d'un institut, $4$ impressores 3D funcionant $5$ hores diàries han trigat $3$ dies a fabricar $30$ peces idèntiques per a un projecte de robòtica.

1. a) Per a una fira de divulgació científica es necessita fabricar un lot de $96$ peces iguals. El departament compta ara amb $6$ impressores 3D idèntiques i programa jornades de $4$ hores diàries. Determina quants dies sencers trigaran a tenir a punt el lot complet.
2. b) Escriu l'enunciat complet d'un problema invers a l'apartat anterior, on la incògnita sigui el nombre d'hores diàries que han de funcionar les $6$ impressores, fixant com a dades conegudes els dies obtinguts a l'apartat (a) i l'objectiu de fabricar les $96$ peces.
3. c) Suposa que la feina del nou lot comença amb les $6$ impressores a $4$ hores diàries, però en finalitzar el quart dia de feina s'avarien $2$ màquines i queden inutilitzades. Planteja una equació basada en la proporcionalitat composta que permeti calcular quantes hores diàries hauran de treballar les màquines restants durant els dies que falten per no endarrerir el lliurament final.

En una planta d'energia solar fotovoltaica, una contracta de manteniment empra $36$ operaris organitzats en colles per desbrossar i inspeccionar una superfície de $45\text{ hectàrees}$ de panells, trigant $10$ dies amb jornades de $8$ hores diàries.

1. a) Per a una ampliació de la planta que abraçarà $90\text{ hectàrees}$, l'empresa disposa d'un termini de $16$ dies, però la jornada laboral s'ha de limitar a $6$ hores al dia a causa de les restriccions de treball per onada de calor. Utilitza la regla de tres composta per deduir quants operaris s'han de contractar en total per complir el termini previst.
2. b) Per incentivar la productivitat, la direcció reparteix una gratificació econòmica de $21\,600\text{ €}$ entre tres brigades ($A$, $B$ i $C$) segons dos criteris conjunts: el nombre de persones a la brigada i els dies treballats en el mes. La brigada $A$ té $10$ persones i va treballar $18$ dies; la brigada $B$ té $12$ persones i va treballar $15$ dies; i la brigada $C$ té $15$ persones i va treballar $12$ dies. Calcula la quantitat exacta que rep cada brigada i justifica per què el repartiment resulta equitatiu malgrat tenir plantilles i calendaris diferents.
3. c) Un supervisor afirma: «No cal treballar amb quatre magnituds. Com que els dies i les hores diàries es multipliquen per donar les hores totals per operari, podem reduir el problema a només tres magnituds: operaris, hores totals per operari i hectàrees». Demostra si la seva proposta és matemàticament vàlida analitzant la relació de proporcionalitat d'aquesta nova magnitud combinada respecte al nombre d'operaris.