Exercicis: La mesura del temps

Observa la imatge següent d'un rellotge de paret que utilitza el sistema de numeració romà. Indica quina hora marca el rellotge expressant les hores i els minuts en el sistema decimal.

En l'estudi de la història i el temps, utilitzem unitats superiors a l'any. Completa les equivalències següents:

1. a) $3$ segles = $\dots$ anys.
2. b) $5$ dècades = $\dots$ anys.
3. c) $8$ lustres = $\dots$ anys.
4. d) $200$ anys = $\dots$ segles.

Un vídeo curt en una xarxa social dura exactament $145$ segons. Expressa la durada d'aquest vídeo en forma complexa, és a dir, indicant els minuts i els segons que dura ($145$ s = $\dots$ min $\dots$ s).

Aquesta tarda has dedicat dos períodes de temps a estudiar per a l'examen de Matemàtiques. El primer ha durat $1$ h $40$ min i el segon $55$ min. Calcula el temps total d'estudi expressant el resultat en hores i minuts.

Una pel·lícula d'animació comença a les $17:15$ i acaba a les $18:50$. Quina és la durada exacta de la pel·lícula en hores i minuts?

En Marcos està preparant una cursa popular de $10\text{ km}$. Per controlar el seu entrenament, anota al seu diari que dilluns va córrer durant $1\text{ h } 40\text{ min}$ i dimecres durant $1\text{ h } 50\text{ min}$. Per calcular el temps total acumulat, introdueix a la calculadora $1{,}40 + 1{,}50 = 2{,}90$ i conclou que ha entrenat «$2\text{ hores i } 90\text{ minuts}$», que segons ell equivalen a «$3\text{ hores i } 30\text{ minuts}$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors conceptuals que ha comès en Marcos en operar amb les mesures de temps.
2. b) Corregeix el càlcul fent la suma en el sistema sexagesimal de manera correcta i expressa el resultat final en forma complexa ($h$ i $min$).
3. c) A quantes hores en nombre decimal equival realment el temps total que va córrer en Marcos? Arrodoneix a dues xifres decimals.

Un rellotge analògic de paret marca exactament les $03:20$.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, fes una estimació raonada: l'angle menor que formen les dues agulles serà exactament de $30^\circ$, més gran de $30^\circ$ o més petit de $30^\circ$? Justifica la teva predicció pensant en la posició de l'agulla horària quan el minutera ja ha avançat $20\text{ minuts}$.
2. b) Calcula de manera exacta la posició en graus de cada agulla prenent com a referència les $12:00$ ($0^\circ$), sabent que el minutera avança $6^\circ$ per minut i l'agulla horària avança $30^\circ$ per hora més $0{,}5^\circ$ per cada minut transcorregut.
3. c) Determina l'angle exacte que formen ambdues agulles a les $03:20$ i compara'l amb la teva estimació inicial. Per què moltes persones pensen erròniament a primera vista que a les $03:20$ les agulles formen un angle de $30^\circ$?

Un atleta d'elit ha completat una marató en un temps oficial de $2$ hores, $12$ minuts i $15$ segons.

1. a) Expressa la durada total de la cursa únicament en segons.
2. b) Si el seu entrenador li diu que ha de reduir el seu temps en $450$ segons per a la propera competició, quin seria el seu nou objectiu de temps expressat en forma complexa ($h$, $min$, $s$)?

El tren d'alta velocitat (AVE) surt de Madrid a les $08:45:00$ i té prevista l'arribada a Sevilla a les $11:17:25$. A causa d'un petit retard tècnic, el tren ha arribat a les $11:23:10$.

1. a) Quina era la durada teòrica del viatge?
2. b) Quant de temps de retard ha tingut el tren respecte de l'hora prevista?

Una associació juvenil organitza una jornada de neteja en un parc que dura un total de $5$ hores, $42$ minuts i $36$ segons. Si s'han format $4$ equips de treball i volen repartir-se el temps total de forma equitativa perquè cada equip cobreixi una franja horària diferent sense encavalcar-se:

Quant de temps ha de durar el torn de cada equip? (Realitza la divisió en sistema sexagesimal).

L'equip de realització d'un canal de televisió educativa disposa d'un documental que dura exactament $1\text{ h } 14\text{ min } 24\text{ s}$ i necessita dividir-lo en $6$ blocs de durada idèntica per intercalar-hi pauses divulgatives.

1. a) Aplica el Mètode A (divisió directa en forma sexagesimal complexa): divideix les hores entre 6, transforma el residu en minuts, suma'ls als minuts existents i repeteix el procés amb els segons.
2. b) Aplica el Mètode B (reducció a la unitat mínima): converteix tota la durada original a segons, fes la divisió entre 6 en base decimal, i torna a convertir el quocient resultant a hores, minuts i segons.
3. c) Compara ambdós procediments: amb quin dels dos mètodes consideres que hi ha menys risc de cometre errors amb els portats? Si la durada del documental s'hagués de repartir entre $7$ equips en lloc de $6$, quin dels dos mètodes resultaria més avantatjós i per què?

Un tren d'alta velocitat AVE surt de l'estació de Madrid-Puerta de Atocha a les $08:35$ amb destinació a Sevilla-Santa Justa. Segons l'itinerari oficial previst, la durada del trajecte directe sense incidències és de $2\text{ h } 42\text{ min } 30\text{ s}$. Durant el viatge es produeixen dos esdeveniments:

• En passar per La Mancha pateix una limitació temporal de velocitat per obres que afegeix un retard de $14\text{ min } 45\text{ s}$.

• En el tram final entre Còrdova i Sevilla, el tren recupera $3\text{ min } 15\text{ s}$ sobre la marxa.

1. a) Modela la situació mitjançant operacions en sistema sexagesimal i calcula l'hora exacta (hores, minuts i segons) a la qual el tren arriba finalment a Sevilla.
2. b) La longitud de la línia ferroviària recorreguda és de $471\text{ km}$. Expressa la durada real total del viatge en segons i, a partir d'aquesta dada, calcula la velocitat mitjana del tren al llarg de tot el trajecte en quilòmetres per hora ($km/h$), arrodonint el resultat a les dècimes.

Un corredor d'ultra-trail ha completat una cursa de $105 \text{ km}$ en un temps de $14 \text{ h } 18 \text{ min } 36 \text{ s}$.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana en metres per segon ($m/s$), arrodonint a les centèsimes.
2. b) Si el rècord de la prova està en $12 \text{ h } 45 \text{ min } 50 \text{ s}$, quants segons per quilòmetre hauria d'haver baixat la seva marca per igualar el rècord?

Un rellotge analògic marca exactament les $10:15:30$ (10 hores, 15 minuts i 30 segons). Calcula l'angle exacte que formen l'agulla de les hores i l'agulla dels minuts en aquest precís instant. Nota: Tingues en compte que l'agulla de les hores es desplaça de forma contínua amb el pas dels minuts i dels segons.

El planeta Mart té un període de rotació (un "sol") d'aproximadament $24 \text{ h } 37 \text{ min } 22 \text{ s}$. Un astronauta arriba a Mart i posa en marxa un cronòmetre terrestre i un cronòmetre ajustat al temps de Mart just en el moment de la sortida del sol. Quina diferència de temps terrestre hi haurà entre tots dos rellotges quan hagin transcorregut exactament una setmana marciana (7 sols)? Expressa el resultat en forma complexa (hores, minuts i segons).

Un servidor d'Internet processa peticions d'usuaris. Es sap que triga una mitjana de $1,25$ centèsimes de segon a resoldre cada petició. Si durant un atac informàtic el servidor rep un total de $2^{18}$ peticions:

1. a) Calcula el nombre total de peticions en sistema decimal.
2. b) Calcula el temps total que trigarà el servidor a processar-les totes. Expressa el resultat final en hores, minuts i segons.

En un rellotge d'agulles, les dues agulles coincideixen exactament a les $12:00$ (formant un angle de $0^\circ$). Tanmateix, al llarg del matí es tornen a superposar en diverses ocasions. Ens interessa esbrinar quan passa això entre les $04:00$ i les $05:00$.

1. a) Si anomenem $m$ el nombre de minuts transcorreguts des de les $04:00$ en punt, escriu l'expressió algebraica de la posició angular (en graus des de les $12:00$) de l'agulla horària i del minutera en funció de $m$. Recorda que a les 4 en punt l'horària parteix de $120^\circ$ i avança $0{,}5^\circ$ per minut, mentre que el minutera avança $6^\circ$ per minut.
2. b) Planteja l'equació que expressa que ambdues agulles coincideixen en la mateixa posició angular i calcula el valor exacte de $m$. Expressa la solució com una fracció irreductible de minut i com un nombre mixt ($m = A + \frac{B}{C}$).
3. c) A partir d'aquest valor, determina l'hora exacta de la coincidència expressada en hores, minuts i segons complets (arrodonint els segons a la unitat). Comprova numèricament que a aquella hora calculada les posicions angulars d'ambdues agulles difereixen en menys de $0{,}1^\circ$.

Una planta solar fotovoltaica a la província de Càceres (Extremadura) disposa de panells proveïts d'un eix de seguiment que giren d'est a oest un angle total de $180^\circ$ per mantenir-se orientats perpendicularment al Sol. Segons els registres astronòmics locals, en el solstici d'estiu el Sol surt a les $06:52$ i es pon a les $21:48$, mentre que en el solstici d'hivern surt a les $08:38$ i es pon a les $18:04$.

1. a) Modela i calcula la durada del dia (temps de llum solar) en cada solstici en forma complexa ($h$ i $min$). Quantes hores i minuts de llum solar perd la planta en el solstici d'hivern respecte al d'estiu?
2. b) Perquè el panell completi de manera contínua i uniforme el recorregut de $180^\circ$ exactament durant les hores de llum diürna, calcula la velocitat angular constant (en graus per hora, arrodonint a les centèsimes) que s'ha de programar al motor en el solstici d'estiu i en el solstici d'hivern.
3. c) El responsable de manteniment proposa una simplificació: «Com que la Terra gira $360^\circ$ en 24 hores, el Sol sempre es desplaça pel cel a $15^\circ$ per hora. Deixem programat el motor tot l'any a una velocitat fixa de $15^\circ$ per hora». Demostra matemàticament quants graus de desfasament acumularia el panell en pondre's el Sol en el solstici d'hivern si se seguís la seva proposta, i raona per què el seu plantejament teòric no és vàlid per a aquest mecanisme de seguiment.

Repte del tema. Com canvia la durada de la llum solar al llarg de l'any? Investiga el ritme solar del teu municipi mitjançant la mesura del temps i el sistema sexagesimal.

1. Recollida: Consulta al web oficial de l'IGN (ign.es) o d'AEMET l'hora exacta de sortida i posta de sol a la teva localitat en dues dates: el 21 de juny i el 21 de desembre passats.

2. Càlcul sexagesimal: Calcula a mà la durada de llum de tots dos dies restant l'hora de posta i la de sortida en format sexagesimal ($h$, $min$, $s$), aplicant transformacions de base $60$ en les portades.

3. Tractament digital: En un full de càlcul, anota les dades i converteix totes dues durades a hores decimals (per exemple, $9\text{ h } 30\text{ min} = 9,5\text{ h}$). Troba la diferència total de llum entre totes dues dates i calcula la variació mitjana diària dividint aquesta resta entre els $183$ dies transcorreguts.

4. Informe final: Redacta una conclusió raonada de mitja pàgina valorant els avantatges i inconvenients de fer servir el sistema sexagesimal enfront del decimal per mesurar el temps en la vida quotidiana.

Es valorarà:

• Rigor en les operacions i transformacions del sistema sexagesimal.

• Correcció en el pas d'expressions sexagesimals a decimals (amb coma).

• Ús adequat de fórmules al full de càlcul.

• Argumentació crítica en les conclusions de l'informe.