Exercicis: El sistema de numeració sexagesimal

El sistema de numeració sexagesimal és posicional i té com a base el nombre $60$. Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses:

• a) En el sistema sexagesimal, $60$ unitats d'un ordre formen una unitat de l'ordre immediatament superior.

• b) El sistema sexagesimal s'utilitza actualment per mesurar la temperatura.

• c) Una hora té $3600$ segons.

Un arquitecte està dissenyant un plànol i necessita treballar amb angles molt precisos. Si té un angle de $45^\circ$ i $20'$, expressa'l íntegrament en minuts (forma incomplexa).

La Lucía està practicant amb el seu telescopi i ha girat l'objectiu un angle de $120^\circ$. Si després decideix retrocedir el gir uns $35^\circ$ $15'$, quin angle marca ara el seu telescopi?

En una cursa d'atletisme, el primer classificat va arribar a la meta amb un temps de $1$ min $42$ s. El segon classificat va arribar $15$ segons després. Quin temps va marcar el segon atleta? (Expressa el resultat en minuts i segons).

L'Alejandro ha participat en una cursa popular de $10\text{ km}$ a Madrid. El seu rellotge esportiu va registrar un temps de $52\text{ min } 18\text{ s}$, mentre que la seva companya Sofía va completar el recorregut en $48\text{ min } 45\text{ s}$. Per esbrinar la diferència exacta entre tots dos, l'Alejandro fa al seu quadern la resta $52\text{ min } 18\text{ s} - 48\text{ min } 45\text{ s}$ de la manera següent:

«Com que a $18$ no li puc restar $45$, demano $1$ prestat als minuts; me'n queden $51\text{ min}$ i poso un $1$ davant del $18$, obtenint $118\text{ s}$. Ara calculo $118 - 45 = 73\text{ s}$ i $51 - 48 = 3\text{ min}$. El resultat és $3\text{ min } 73\text{ s}$, que passant $60$ segons a minuts queda en $4\text{ min } 13\text{ s}$».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet l'Alejandro en «demanar prestat» una unitat d'ordre superior en el sistema sexagesimal.
2. b) Explica per què el seu raonament final tampoc no té sentit lògic si observes les dades de partida de la cursa.
3. c) Corregeix el càlcul resolent la resta pas a pas de manera correcta per determinar l'avantatge exacte de la Sofía.

Per preparar un debat de Ciències Socials a 2n d'ESO, has de veure una sèrie documental de quatre capítols amb les durades exactes següents:

• Capítol 1: $48\text{ min } 35\text{ s}$

• Capítol 2: $51\text{ min } 40\text{ s}$

• Capítol 3: $49\text{ min } 15\text{ s}$

• Capítol 4: $52\text{ min } 10\text{ s}$

Disposes d'una tarda amb un bloc lliure continu de $3\text{ hores i mitja}$ ($3\text{ h } 30\text{ min}$) per veure'ls seguits.

1. a) Estima: Sense fer operacions detallades en paper, arrodoneix mentalment la durada de cada capítol al nombre sencer de minuts més proper i prediu si tindràs prou temps per veure la sèrie completa o si et faltarà temps. Justifica com has fet l'aproximació.
2. b) Calcula: Fes la suma exacta de les durades en el sistema sexagesimal, expressant el temps total en hores, minuts i segons.
3. c) Comprova i valora: Compara el valor exacte amb la teva estimació inicial. Ha estat encertada la teva predicció? Quant de temps exacte et sobrarà o et faltarà dins d'aquest bloc de $3\text{ h } 30\text{ min}$?

En un campionat d'e-sports, la primera partida d'una final va durar $45$ min i $38$ s. Després d'un breu descans, la segona partida va durar $52$ min i $45$ s. Calcula la durada total de les dues partides combinades i expressa el resultat en el format de temps adequat.

Un equip de submarinisme professional té una reserva d'aire que els permet estar sota l'aigua durant $3$ hores i $15$ minuts. Si han de repartir aquest temps de forma equitativa per explorar $5$ sectors diferents d'un escull, quant de temps han de dedicar a l'observació de cada sector?

A classe de dibuix tècnic, se'ns demana traçar l'angle complementari d'un angle donat. Si l'angle original mesura $34^\circ 52' 18''$, realitza els càlculs necessaris per trobar la mesura exacta de l'angle que falta per completar l'angle recte ($90^\circ$).

En una classe de tecnologia i robòtica, un servomotor ha de girar un angle de $13^\circ 25'\ 40''$ a cada pols de control. Per completar un cicle de treball, el motor ha de repetir aquest gir exactament $6$ vegades consecutives. Dos estudiants proposen estratègies diferents per calcular el gir total acumulat:

• Estratègia de la Marta: Multiplica per $6$ cada ordre d'unitat per separat ($13^\circ \cdot 6$, $25' \cdot 6$ i $40'' \cdot 6$) i després fa les conversions pertinents passant els grups de $60''$ a minuts i els de $60'$ a graus.

• Estratègia de l'Hugo: Converteix primer tot l'angle inicial a segons d'arc ($13 \cdot 3600 + 25 \cdot 60 + 40$), multiplica el resultat obtingut per $6$ i, finalment, efectua divisions senceres successives entre $60$ per tornar a escriure la solució en graus, minuts i segons.

1. a) Aplica tots dos mètodes per obtenir el resultat final del gir acumulat i comprova que donen exactament el mateix angle.
2. b) Quins avantatges i inconvenients presenta cada estratègia si haguessis de fer el càlcul a mà sense calculadora? Justifica quina minimitza el risc de cometre errors aritmètics.
3. c) Si ara es tractés de repartir un angle de $53^\circ 14'\ 25''$ entre $5$ parts iguals mitjançant una divisió, quin dels dos enfocaments consideres més convenient i per què?

A l'estació de tren de rodalia de Nuevos Ministerios (Madrid), conflueixen dues línies de transport amb pas periòdic durant l'hora punta matinal:

• Un comboi de la línia C-2 passa cada $6\text{ min } 40\text{ s}$.

• Un comboi de la línia C-7 passa cada $10\text{ min } 00\text{ s}$.

A les $07:20:00$, tots dos trens efectuen la seva parada a l'andana simultàniament.

1. a) Modela la situació en una única unitat de mesura: transforma els intervals de pas de totes dues línies a segons i troba el mínim comú múltiple (mcm) per determinar cada quants segons coincideixen de nou a l'andana.
2. b) Expressa aquest interval de coincidència en forma complexa (minuts i segons).
3. c) Determina l'hora exacta a la qual tornaran a coincidir per primera vegada després de les $07:20:00$.
4. d) Quantes vegades en total coincidiran tots dos trens en aquesta estació en la franja compresa entre les $07:20:00$ i les $09:00:00$, totes dues hores incloses?

Els antics babilonis utilitzaven un sistema de numeració posicional en base $60$. Per representar els seus càlculs astronòmics, utilitzaven símbols per al $10$ ($\langle$) i per al $1$ ($\curlyvee$). Si un astrònom va registrar el temps d'observació d'un estel com el nombre sexagesimal $(12, 45, 18)$, on el primer valor són hores, el segon minuts i el tercer segons:

1. a) Representa aquest nombre utilitzant els símbols babilonis (agrupant les cunyes per a cada posició).

1. b) Calcula quants segons totals va durar l'observació, expressant el resultat en notació científica.

Un dron de vigilància realitza un escombrat de seguretat girant sobre el seu eix. Comença en una posició de $0^\circ$ i realitza els moviments consecutius següents:

1. Gira a la dreta un angle de $125^\circ \ 45' \ 52''$.

2. Gira a l'esquerra $87^\circ \ 50' \ 15''$.

3. Realitza un tercer gir a la dreta que és exactament el triple de l'angle resultant de la resta dels dos moviments anteriors.

Calcula la posició final del dron respecte al punt d'inici en graus, minuts i segons.

Un editor de vídeo està treballant en un curtmetratge per a xarxes socials. El projecte té un límit estricte de durada d'exactament $10$ minuts. Té quatre clips amb les durades següents:

• Clip 1: $2$ min $14$ s $45$ centèsimes.

• Clip 2: $155$ s $80$ centèsimes.

• Clip 3: $3$ min $12$ s.

• Clip 4: $1$ min $58$ s $95$ centèsimes.

Calcula el temps exacte que li sobra o li falta per arribar al límit dels $10$ minuts. (Recorda que $1$ segon té $100$ centèsimes).

En el disseny d'una peça per a un motor d'alta precisió, s'ha de dividir un angle de $145^\circ \ 25'$ en 6 sectors iguals per col·locar-hi uns coixinets. Per limitacions de la màquina, la mesura de cada sector ha de ser un nombre enter de minuts (sense segons) i el més gran possible. En fer la divisió, l'angle sobrant es reparteix equitativament entre dos marges de seguretat laterals.

El dibuix no està a escala: els marges són tan petits que no s'aprecien.

1. a) Calcula la mesura de cadascun dels 6 sectors.

1. b) Calcula l'angle sobrant i la mesura de l'angle de cada marge de seguretat.

Un satèl·lit de telecomunicacions orbita la Terra. En el seu panell de control, un tècnic observa que el satèl·lit ha completat $4,72$ òrbites en les últimes $24$ hores.

1. a) Expressa la part decimal de les òrbites ($0,72$) en forma complexa utilitzant graus, minuts i segons (sabent que una òrbita completa són $360^\circ$).

1. b) Si el satèl·lit triga el mateix en cada òrbita, quin és el temps exacte que triga a completar una sola volta? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.

Un far emet tres senyals de llum diferents per orientar els vaixells:

• La llum vermella parpelleja cada $18$ segons.

• La llum verda parpelleja cada $45$ segons.

• La llum blanca parpelleja cada $1$ minut i $15$ segons.

Si a les $22:00:00$ de la nit les tres llums coincideixen per primera vegada:

1. a) Quant de temps passarà fins que tornin a coincidir? Expressa el resultat en minuts i segons.
2. b) A quina hora exacta coincidiran per segona vegada?
3. c) Quantes vegades coincidiran les tres llums des de les $22:00:00$ fins a les $00:00:00$, ambdues hores incloses?

En un hexàgon irregular, es coneixen les mesures de cinc dels seus angles interiors:

• $A = 110^\circ \ 15' \ 20''$

• $B = 125^\circ \ 40'$

• $C = 98^\circ \ 25''$

• $D = 130^\circ \ 12' \ 15''$

• $E = 115^\circ \ 50' \ 30''$

Tenint en compte que la suma dels angles interiors d'un polígon de $n$ costats és $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, calcula la mesura del sisè angle $F$ en forma complexa.

Un equip de topografia municipal mesura els angles d'una parcel·la triangular. Un dels angles interiors, anomenat $\hat{A}$, s'ha determinat dividint una visual angular més àmplia en $4$ seccions idèntiques. En consultar el registre del teodolit, l'anotació original de la visual s'ha esborrat parcialment, però es conserven intactes les dades de la divisió: el quocient exacte ha estat $18^\circ 42'\ 35''$ i el residu final no divisible ha estat de $2''$.

1. a) Problema invers: Utilitza la relació fonamental de la divisió sencera ($\text{Dividend} = \text{divisor} \cdot \text{quocient} + \text{residu}$) per reconstruir la mesura original en forma complexa ($^\circ, ', ''$) de la visual completa que va mesurar el teodolit.
2. b) Si l'angle $\hat{A}$ de la parcel·la triangular mesura exactament el que va resultar de cada secció ($18^\circ 42'\ 35''$) i se sap que la parcel·la té forma de triangle isòsceles (dos angles interiors iguals i un de diferent), calcula les possibles mesures dels altres dos angles interiors del triangle en forma complexa. Tingues en compte que la suma dels angles interiors de qualsevol triangle és $(3-2) \cdot 180^\circ = 180^\circ$ i preveu els dos casos possibles: que $\hat{A}$ sigui l'angle desigual o que $\hat{A}$ sigui un dels dos angles repetits.

El moviment de rotació de la Terra descriu una circumferència completa de $360^\circ$ en un dia solar mitjà ($24\text{ hores}$). Per això, el sistema sexagesimal vincula de manera directa la longitud geogràfica terrestre amb la diferència horària solar.

1. a) Demostra, efectuant les divisions sexagesimals corresponents, que a una diferència de longitud d'$1^\circ$ li corresponen exactament $4\text{ minuts}$ de diferència horària solar, i que a una diferència d'$1'$ d'arc li corresponen $4\text{ segons}$ de temps.
2. b) La localitat d'A Frouxeira (A Coruña) està situada a una longitud geogràfica de $8^\circ 15'\ 00''\text{ O}$ (oest), mentre que Castelló de la Plana se situa sobre el meridià de Greenwich ($0^\circ 0'\ 0''$). Quan a Castelló és exactament el migdia solar (les 12:00:00 solars, instant en què el Sol assoleix el seu punt més alt al cel), quina hora solar marca un rellotge de sol a A Frouxeira? Fes les operacions en forma complexa explicant si has de sumar o restar la diferència calculada i per què.
3. c) A l'Espanya peninsular, durant l'horari d'estiu, l'hora oficial dels rellotges s'avança $2\text{ hores}$ respecte al meridià de Greenwich (horari UTC+2). A quina hora oficial marquen les 12:00:00 solars (el migdia solar) a A Frouxeira durant l'estiu? A partir del teu resultat, justifica per què a Galícia es fa de nit molt més tard segons el rellotge oficial que a la costa mediterrània peninsular.