Exercicis: Arrels quadrades

Calcula mentalment el valor de les arrels quadrades exactes següents basant-te en les taules de multiplicar:

1. a) $\sqrt{36}$
2. b) $\sqrt{64}$
3. c) $\sqrt{81}$
4. d) $\sqrt{100}$
5. e) $\sqrt{121}$

Associa al teu quadern cada potència amb la seva arrel corresponent, com a l'exemple:

Exemple: $7^2 = 49 \rightarrow \sqrt{49} = 7$

1. a) $4^2 = 16$
2. b) $9^2 = 81$
3. c) $12^2 = 144$
4. d) $15^2 = 225$

L'habitació de la Lucía té forma quadrada i té una superfície total de $16$ metres quadrats. Quant fa de llarg la paret de la seva habitació?

Indica entre quins dos nombres naturals consecutius es troben les arrels quadrades següents. Fixa't en l'exemple:

Exemple: $\sqrt{10}$ està entre $3$ i $4$ perquè $3^2=9$ i $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{45}$
3. c) $\sqrt{70}$
4. d) $\sqrt{95}$

Aplica la propietat de l'arrel d'un producte per calcular les arrels següents de manera més senzilla, tal com es mostra en el model:

Model: $\sqrt{4 \cdot 25} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$

1. a) $\sqrt{9 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{4 \cdot 81}$

Observa el mosaic següent format per punts. Quin nombre natural representa el total de punts? Quina és la seva arrel quadrada?

Resol les operacions combinades següents respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $10 + \sqrt{49}$
2. b) $3 \cdot \sqrt{25} - 2^2$
3. c) $\sqrt{64} : 2 + 5$
4. d) $(\sqrt{100} - 4) \cdot 3$

En Marcos vol organitzar la seva col·lecció de $40$ figures d'acció en una vitrina quadrada.

1. a) Quin és el quadrat perfecte més gran que pot formar amb les seves figures?
2. b) Quantes figures li sobraran si forma aquest quadrat?
3. c) Quantes figures li faltarien per poder formar el quadrat més gran següent?

En corregir una tasca a la pissarra, Marcos escriu el següent:

«Com que la rel quadrada d'un producte es pot separar en el producte de les rels, amb la suma passa exactament el mateix: $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8 + 6 = 14$».

1. a) Explica detalladament per què el raonament de Marcos és erroni sense limitar-te a dir que «les normes no ho permeten».
2. b) Calcula el valor vertader de l'expressió $\sqrt{64 + 36}$ respectant la jerarquia de les operacions i compara'l amb el resultat de Marcos.
3. c) Dibuixa mentalment o descriu una justificació geomètrica: pot un quadrat d'àrea $100\text{ cm}^2$ tenir de costat $14\text{ cm}$?

Volem esbrinar la rel quadrada del nombre $85$ sense utilitzar calculadora ni aplicar l'algorisme tradicional de la rel.

1. a) Estima el valor de $\sqrt{85}$ identificant entre quins dos quadrats perfectes consecutius es troba el radicand $85$, i dedueix entre quins dos nombres naturals enters consecutius està comprès aquest valor.
2. b) A partir de la teva estimació anterior, indica quina és la rel quadrada sencera $r$ de $85$ i calcula el seu residu $R$.
3. c) Comprova que el teu resultat és vàlid verificant que es compleix la igualtat $N = r^2 + R$ i assegurant que el residu és estrictament menor que el doble de la rel més u ($R < 2r + 1$).

Una empresa de logística vol emmagatzemar $196$ paquets de subministraments mèdics en un magatzem de planta quadrada. Si els paquets s'han de col·locar formant un quadrat perfecte a terra, quants paquets hi haurà a cada costat? Si després reben $30$ paquets més i volen tornar a formar el quadrat més gran possible, quants paquets sobraran?

En un videojoc de construcció, un jugador disposa de $150$ blocs de pedra per crear la base d'una torre quadrada. Calcula:

1. La longitud del costat de la base quadrada més gran que pot construir.

2. El nombre de blocs que li sobraran després de la construcció.

Calcula el valor de les expressions següents respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $3 \cdot \sqrt{81} - 2^2 \cdot (10 - \sqrt{49})$

1. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + \sqrt{144} : 3$

Indica, sense utilitzar la calculadora, entre quins dos nombres naturals consecutius es troben les arrels quadrades següents. Raona la teva resposta basant-te en els quadrats perfectes més propers:

1. a) $\sqrt{45}$

1. b) $\sqrt{115}$

Utilitza les propietats de les arrels per resoldre de la manera més senzilla possible:

1. a) $\sqrt{9 \cdot 16 \cdot 25}$

1. b) $\sqrt{3600 : 4}$

1. c) $\sqrt{100 \cdot 49}$

El club d'escacs d'un institut té $85$ alumnes inscrits. Per a la foto oficial del curs, el fotògraf vol situar-los formant un quadrat perfecte.

1. Quants alumnes es quedaran fora de la foto si vol formar el quadrat més gran possible?

2. Quants alumnes faltarien per poder afegir una fila i una columna més al quadrat anterior i que ningú es quedi fora?

Es sap que un nombre natural té una arrel quadrada entera igual a $15$ i el seu residu és el més gran possible. De quin nombre estem parlant?

(Pista: El residu d'una arrel no pot ser igual o més gran que $2 \cdot \text{arrel} + 1$).

La Mei està dissenyant un collage amb fotos quadrades de $10\text{ cm}$ de costat. Vol col·locar-les sobre una cartolina quadrada la superfície de la qual és de $2500\text{ cm}^2$ sense deixar forats entre elles.

1. Quina és la mida del costat de la cartolina?

2. Quantes fotos de la Mei caben en total a la cartolina?

Per calcular el valor exacte de l'expressió $\sqrt{144 \cdot 25}$, dos estudiants de 2n d'ESO plantegen estratègies diferents:

• Alejandro realitza primer la multiplicació del radicand: $144 \cdot 25 = 3600$, i després calcula $\sqrt{3600}$.

• Berta aplica la propietat distributiva de la rel respecte al producte: $\sqrt{144 \cdot 25} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{25}$, i després multiplica les rels obtingudes.

1. a) Desenvolupa completament tots dos procediments fins a arribar al resultat final.
2. b) Compara els dos camins i justifica quin resulta més avantatjós si has de realitzar el càlcul mentalment o sense calculadora.
3. c) Si l'operació proposada fos $\sqrt{144 : 4}$, es podria aplicar el mètode de Berta? I si fos $\sqrt{144 - 64}$? Justifica en cada cas si la propietat corresponent és aplicable o no.

En una explotació d'oliveres de Martos (Jaén), una cooperativa agrària rep una remesa de $750$ plantons d'olivera per disposar-los en una parcel·la formant una quadrícula quadrada perfecta (mateix nombre d'arbres per fila que per columna).

1. a) Quin és el nombre més gran d'oliveres que pot tenir cada costat de la quadrícula? Quants plantons quedaran sense plantar després de formar aquest quadrat?
2. b) Per aprofitar els plantons sobrants i no deixar buits, decideixen comprar al viver els arbres justos i necessaris per formar un quadrat amb una olivera més a cada fila i a cada columna. Quines oliveres addicionals han de comprar com a mínim?
3. c) Raona geomètricament per què la quantitat d'arbres que cal afegir per passar d'un quadrat de costat $r$ al següent quadrat de costat $r + 1$ sempre és igual a $2r + 1$.

Sabent que un nombre natural $N$ té per arrel quadrada entera $a = 45$, calcula quin és el valor més gran que pot prendre aquest nombre $N$ i quin és el seu residu en aquest cas. Tingues en compte la propietat que relaciona el residu amb l'arrel entera perquè l'aproximació sigui màxima. A la figura (sense escala exacta als buits) tens el quadrat de costat $a$ i el quadrat següent, de costat $a+1$.

Una empresa de logística vol organitzar una flota de $2\,500$ drons en una formació perfectament quadrada per a un espectacle nocturn. A causa d'una fallada tècnica, el $15\%$ dels drons no pot enlairar-se. Calcula:

1. El costat del quadrat més gran que poden formar amb els drons que queden operatius.

2. Quants drons sobren després de formar aquest quadrat.

3. Quants drons operatius addicionals necessitarien per afegir una fila i una columna més al quadrat i que aquest continuï sent complet.

Calcula el valor de la següent expressió combinada, parant atenció a la jerarquia de les operacions i a les propietats de les arrels:

L'àrea d'un jardí quadrat és de $676$ $m^2$. Al voltant del jardí es vol instal·lar una tanca de seguretat que costa $12,50$ € el metre lineal. Tanmateix, s'ha de deixar una obertura de $2,5$ metres per a una porta en un dels costats. Calcula el pressupost total per a la instal·lació de la tanca.

Troba el valor de la xifra $k$ perquè el nombre $7\,05k$ sigui un quadrat perfecte. Una vegada trobat, calcula l'arrel quadrada d'aquest nombre utilitzant l'algorisme pas a pas. (Pista: El nombre està comprès entre $80^2$ i $90^2$).

S'ha construït una plataforma quadrada unint peces quadrades de plàstic de $1$ $dm^2$ cadascuna. Per resseguir tota la plataforma, s'han utilitzat $156$ peces de color blau (que formen el perímetre exterior d'una peça d'amplada).

1. Quina és l'àrea total de la plataforma en $dm^2$?

2. Quina és l'arrel quadrada exacta d'aquesta àrea?

Un astrònom observa una nebulosa la superfície aparent de la qual al cel és aproximadament circular. Si l'àrea calculada és de $5,76 \cdot 10^{10}$ $km^2$:

1. Expressa aquesta quantitat en notació decimal estàndard.

2. Calcula el radi d'aquesta nebulosa sabent que l'àrea d'un cercle s'aproxima mitjançant la fórmula $A \approx 3 \cdot r^2$ (utilitzant $\pi \approx 3$ per simplificar).

3. Expressa el resultat del radi en notació científica.

Determina, sense utilitzar la calculadora i raonant la teva resposta mitjançant el càlcul de quadrats de nombres propers, entre quins dos nombres decimals consecutius amb una xifra decimal (per exemple, $4,4$ i $4,5$) es troba l'arrel quadrada de $75$.

(Exemple: $\sqrt{20}$ està entre $4,4$ i $4,5$ perquè $4,4^2 = 19,36$ i $4,5^2 = 20,25$).

Analitzem les propietats de la rel quadrada sencera i el residu en el conjunt dels nombres naturals.

1. a) Demostra raonadament per què el residu $R$ de la rel quadrada sencera $r$ d'un nombre natural $N$ mai no pot ser major o igual que $2r + 1$. Recolza't en el càlcul del següent quadrat perfecte, $(r + 1)^2$.
2. b) Troba tots els nombres naturals de dues xifres ($10 \le N \le 99$) la rel quadrada sencera dels quals sigui exactament igual al seu residu ($r = R$). Justifica per què no hi ha més solucions a part de les que has trobat.
3. c) Un nombre natural desconegut $N$ té rel sencera $r$ i el seu residu $R$ és el residu més gran possible per a aquesta rel. Si sabem que en sumar-li una unitat es converteix en un quadrat perfecte ($N + 1 = 144$), calcula el valor exacte de $N$, la seva rel sencera $r$ i el seu residu $R$.

A la plataforma logística de Saragossa (PLAZA), una empresa de paqueteria emmagatzema palets quadrats idèntics a terra formant un gran bloc quadrat compacte de $n$ palets per costat.

1. a) Després de rebre una remesa de $49$ nous palets, l'encarregat comprova que pot col·locar-los tots reorganitzant la càrrega en un nou quadrat compacte que té exactament una fila i una columna més que l'original (és a dir, de costat $n + 1$). Planteja la igualtat corresponent i calcula quants palets hi havia inicialment al magatzem.
2. b) Prenent com a punt de partida el bloc ja ampliat (de costat $n + 1$), volen planificar una futura ampliació perquè el costat passi a ser de $n + 3$ palets. Dedueix raonadament quants palets addicionals necessitaran encarregar en total per aconseguir-ho.
3. c) Si en lloc de $49$ palets n'haguessin rebut únicament $35$ sobre l'estoc inicial de l'apartat a), hauria estat possible ampliar el costat del quadrat a $n + 1$? Si no és així, calcula la rel quadrada sencera i el residu del nou total de palets, i explica quin significat pràctic tenen tots dos valors en l'organització del magatzem.