Exercicis: Potències

Expressa els productes següents en forma de potència i indica quina és la base i quin és l'exponent en cada cas:

1. a) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

1. b) $12 \cdot 12 \cdot 12$

1. c) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

1. d) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$

Calcula el valor de les potències bàsiques següents:

1. a) $3^{4}$

1. b) $2^{5}$

1. c) $7^{2}$

1. d) $11^{0}$

1. e) $1^{25}$

Observa el quadrat següent format per cel·les petites. Expressa el nombre total de cel·les en forma de potència i calcula'n el resultat.

Escriu la descomposició polinòmica dels nombres següents utilitzant potències de base $10$:

1. a) $4\,527$

1. b) $30\,816$

1. c) $504$

Aplica les propietats de les potències per escriure el resultat com una sola potència:

1. a) $3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{5}$

1. b) $a^{3} \cdot a^{4}$

1. c) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3}$

1. d) $2^{6} \cdot 2^{6}$

Redueix a una sola potència utilitzant la propietat del quocient de potències de la mateixa base:

1. a) $5^{8} : 5^{3}$

1. b) $x^{10} : x^{7}$

1. c) $10^{6} : 10^{5}$

1. d) $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$

Simplifica les expressions següents deixant el resultat en forma d'una única potència:

1. a) $(4^{3})^{2}$

1. b) $(10^{5})^{4}$

1. c) $(x^{2})^{8}$

Un creador de contingut publica un vídeo que es fa viral. Si cada hora el nombre de persones que l'han vist es triplica ($3^{n}$), completa la taula següent expressant els resultats en forma de potència:

Temps transcorregut	Persones que han vist el vídeo
Al començament (Hora 0)	$3^{0} = 1$
Després de 1 hora	$3^{1} = 3$
Després de 2 hores
Després de 5 hores
Després de $n$ hores

En un examen de 2n d'ESO, Lucas ha resolt dos exercicis de simplificació cometent errors conceptuals freqüents:

• Cas A: Ha escrit que $3^2 \cdot 3^4 = 9^6$, justificant que «es multipliquen les bases i se sumen els exponents».

• Cas B: Ha escrit que $2^3 \cdot 5^3 = 10^6$, justificant que «es multipliquen les bases i se sumen els exponents».

1. a) Explica raonadament l'error comès en el Cas A, indica quina propietat hauria d'haver aplicat i escriu el resultat correcte en forma d'una única potència.
2. b) Explica l'error comès en el Cas B, quina propietat correspon a aquesta operació i calcula la potència correcta.
3. c) Redacta una regla clara i breu perquè un company no confongui quan s'han de sumar els exponents i quan es multipliquen les bases.

Resol els següents reptes construint les potències que compleixen les condicions demanades:

1. a) Troba tres maneres diferents d'escriure el nombre $64$ com una única potència $a^b$, on tant la base $a$ com l'exponent $b$ siguin nombres naturals més grans que $1$.
2. b) Escriu el nombre $81$ com a potència de base $3$ i com a potència de base $9$. Demostra, aplicant la propietat de la potència d'una potència, per què totes dues expressions representen exactament la mateixa quantitat.
3. c) Escriu una multiplicació de dues potències que tinguin base diferent i exponent diferent (tots dos més grans que $1$) el resultat final de la qual sigui exactament igual a $2^7$.

Un vídeo d'un streamer s'ha fet viral en una xarxa social. Durant les primeres hores, el nombre de persones que comparteixen el vídeo es triplica cada hora. Si al començament el van compartir 3 persones:

a) Escriu en forma de potència el nombre de persones que hauran compartit el vídeo al cap de 5 hores.

b) Calcula el valor d'aquesta potència per saber el nombre total de persones en aquell moment.

Aplica les propietats de les potències per reduir les expressions següents a una sola potència:

a) $2^5 \cdot 2^3 \cdot 2 =$

b) $(3^4)^3 : 3^7 =$

c) $\frac{5^8 \cdot 5^2}{5^7} =$

En un magatzem de logística, les caixes s'organitzen en estanteries cúbiques. Un bloc d'emmagatzematge està format per 4 estanteries d'amplada, 4 de llargada i 4 d'alçada. Si cada estanteria conté 4 caixes:

a) Expressa el nombre total de caixes en forma d'una sola potència.

b) Si cada caixa conté $2^3$ paquets de folis, quants paquets de folis hi ha en total al bloc? Expressa el resultat com una potència de base 2.

Expressa les dades següents utilitzant la notació científica:

a) La distància mitjana de la Terra a la Lluna és d'uns $384\,400$ quilòmetres.

b) La població mundial aproximada és de $8\,000\,000\,000$ de persones.

c) Un any llum equival aproximadament a $9\,461\,000\,000\,000$ de quilòmetres.

Troba el valor de la incògnita $x$ en cadascuna de les igualtats següents aplicant les propietats de les potències:

a) $7^x \cdot 7^2 = 7^9$

b) $(5^3)^x = 5^{15}$

c) $10^8 : 10^x = 10^3$

Escriu la descomposició polinòmica dels nombres següents utilitzant potències de base 10:

a) $45\,208$

b) $306\,750$

c) $7\,003\,040$

Calcula el valor de les expressions combinades següents respectant la jerarquia de les operacions:

a) $2^4 - 3^2 + \sqrt{25} \cdot 2 =$

b) $(5-2)^3 + 10^2 : (2^2 + 1) =$

c) $2 \cdot (3^2 - 4) + \sqrt{64} : 2^3 =$

Quina de les expressions següents és més gran? Fes els càlculs necessaris per justificar la teva resposta sense utilitzar la calculadora.

a) $2^6$

b) $4^3$

c) $8^2$

d) $64^1$

Quina relació trobes entre les bases de totes aquestes potències?

Per simplificar i calcular l'expressió numèrica $\dfrac{12^4}{3^4 \cdot 4^2}$ sense utilitzar calculadora, dos alumnes plantegen estratègies diferents:

• Mètode de Lucía: Agrupa primer el numerador i part del denominador mitjançant la potència d'un quocient: $\dfrac{12^4}{3^4} = (12 : 3)^4 = 4^4$. A continuació, divideix $4^4 : 4^2$ restant exponents.

• Mètode de Marcos: Descompon el nombre $12$ en factors primers ($12 = 2^2 \cdot 3$), aplica la potència d'un producte al numerador, descompon el denominador ($4 = 2^2$) i simplifica restant exponents de potències amb la mateixa base.

1. a) Desenvolupa pas a pas el procediment seguint el Mètode de Lucía fins a trobar el valor final.
2. b) Desenvolupa el procediment seguint el Mètode de Marcos fins a obtenir el resultat.
3. c) Compara tots dos camins: quin consideres més ràpid en aquest exercici i per què? En quina situació el mètode de Lucía no es podria aplicar i seria imprescindible utilitzar el de Marcos?

Davant l'avís de nevades intenses emès per l'AEMET en una comarca de muntanya, Protecció Civil posa en marxa un protocol en cadena per avisar els albergs aïllats:

• En el pas 1 (als 10 minuts de l'alerta), el centre comarcal avisa 3 llocs principals.

• En el pas 2 (als 20 minuts), cadascun d'aquests 3 llocs avisa 3 refugis zonals.

• En cada nou pas de 10 minuts, cada refugi avisat en el torn anterior contacta amb 3 nous albergs locals, sense interrompre la cadena.

1. a) Modela mitjançant una potència de base 3 el nombre d'albergs nous que reben l'alerta exactament en el pas $n$. Quants en són avisats en el pas 4?
2. b) Expressa mitjançant una suma de potències el total acumulat de refugis avisats des de l'inici fins a acabar el pas 3 inclòs.
3. c) Si la cadena conclou quan en un determinat pas s'avisa $3^6$ albergs, quants minuts han transcorregut en total des que es va iniciar el primer avís? Justifica com obtens el temps a partir de l'exponent.

En una excavació arqueològica a prop de l'antiga Mesopotàmia, s'ha trobat una estructura cerimonial formada per blocs de pedra cúbics. L'estructura segueix un patró de "cubs niats". El primer nivell és un cub de $2 \cdot 2 \cdot 2$ blocs. El segon nivell envolta l'anterior formant un cub de $4 \cdot 4 \cdot 4$ blocs, i el tercer, un de $8 \cdot 8 \cdot 8$ blocs.

1. a) Expressa com una única potència de base 2 el nombre total de blocs que hi hauria al cinquè nivell si l'aresta del cub es continua duplicant a cada pas.
2. b) Si cada bloc té una massa de $2^6$ kg, expressa la massa total de l'estructura del cinquè nivell com una sola potència.

Una nova xarxa social ha detectat que el nombre de "compartits" d'una notícia falsa es triplica cada hora. A les 10:00 del matí, la notícia ja s'ha compartit $3^4$ vegades.

1. a) A quina hora el nombre de compartits superarà per primera vegada la xifra de $3^{10}$?
2. b) Si el servidor col·lapsa quan el nombre de compartits arriba a $9^7$, quantes hores hauran passat des de les 10:00 fins al col·lapse? Expressa tots els passos fent servir propietats de les potències.

Calcula el valor de l'expressió combinada següent, aplicant les propietats de les potències sempre que sigui possible per simplificar el càlcul abans d'operar:

$$ \frac{(2^3 \cdot 2^2)^2 \cdot 5^7 \cdot 10^3}{(5^2)^4 \cdot 2^{12}} + \sqrt{144} : 2^2 $$

L'emmagatzematge d'un supercomputador es mesura en "Exabytes". Sabent que $1 \text{ kilobyte} = 10^3 \text{ bytes}$, $1 \text{ megabyte} = 10^3 \text{ kilobytes}$, $1 \text{ gigabyte} = 10^3 \text{ megabytes}$ i així successivament seguint les potències de 10 (terabyte, petabyte, exabyte):

1. a) Expressa en notació científica quants bytes hi ha en un Exabyte.
2. b) Si un arxiu de vídeo d'alta definició ocupa $2 \cdot 10^9$ bytes, quants arxius d'aquest tipus caben en un disc de $4 \text{ Petabytes}$? Expressa el resultat en notació científica.

Sense fer el càlcul complet de les potències, indica raonadament quin dels nombres següents és més gran. Utilitza per a això la transformació de les bases a una base comuna:

$$ A = 8^{20} \cdot 4^{15} $$ $$ B = 16^{18} \cdot 2^5 $$

Troba el valor de la incògnita $n$ en les igualtats següents, aplicant les regles de les potències:

1. a) $2^n \cdot 2^3 \cdot 2 = 1024$
2. b) $5^6 : 5^n = 125$
3. c) $(3^2)^n \cdot 9 = 3^{10}$

Es vol dissenyar un mosaic quadrat compost per rajoles també quadrades. Es sap que el nombre de rajoles utilitzades és la solució de l'operació següent:

$$ \sqrt{10^2 - 8^2} \cdot (3^3 - 5^2)^2 - 2^3 $$

1. a) Quantes rajoles tindrà el mosaic en total?
2. b) Quantes rajoles hi haurà a cada costat del mosaic quadrat?

Un nombre natural $X$ té la descomposició següent en factors primers: $X = 2^a \cdot 3^2 \cdot 5^b$.

Es sap que:

• El màxim comú divisor de $X$ i $180$ és $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0$.

• El mínim comú múltiple de $X$ i $180$ és $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Troba els valors dels exponents $a$ i $b$ i escriu el nombre $X$ en notació decimal. (Dada: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$).

L'arxiu d'un ajuntament espanyol digitalitzarà actes històriques. Tenen catalogades $2^9$ caixes; cada caixa conté $2^6$ lligalls i cada lligall ocupa, escanejat en alta resolució, $2^7\text{ KB}$ (quilobytes).

El servei tècnic dubta entre adquirir una memòria USB de $64\text{ GB}$ o contractar un disc en xarxa d'$1\text{ TB}$.

Dades d'equivalència aproximada: $1\text{ GB} \approx 10^6\text{ KB}$, $1\text{ TB} \approx 10^9\text{ KB}$ i $2^{10} = 1024 \approx 10^3\text{ KB}$.

1. a) Estima: Sense calcular el valor numèric detallat, calcula mentalment la mida total sumant els exponents en base 2 i utilitza l'aproximació $2^{10} \approx 10^3$ per estimar l'ordre de magnitud de l'arxiu en potències de 10. Formula una hipòtesi: n'hi haurà prou amb el llapis de $64\text{ GB}$ o caldrà el disc d'$1\text{ TB}$?
2. b) Comprova: Expressa la mida total exacta de l'arxiu com una única potència de base 2 aplicant les propietats del producte de potències.
3. c) Descompon aquesta potència en la forma $(2^{10})^2 \cdot 2^k$ per calcular el seu valor numèric en quilobytes i dictamina raonadament si la teva estimació inicial era encertada i quin suport convé comprar per no gastar de més.

Per desxifrar un codi de seguretat, s'ha de trobar un nombre natural $x$ que verifica la següent igualtat amb potències:

$$\frac{4^{x+2} \cdot 8^x}{16^x} = 64$$

1. a) Descompon les bases $4$, $8$, $16$ i el resultat $64$ en potències de base $2$.
2. b) Transforma el membre de l'esquerra en una única potència de base 2 aplicant de manera ordenada les propietats de la potència d'una potència, del producte i del quocient de potències de la mateixa base.
3. c) Iguala els exponents obtinguts a banda i banda per plantejar una relació de primer grau i calcula el valor de $x$. Comprova que la teva solució és correcta substituint el valor trobat en l'expressió inicial.
4. d) Raonament invers: Si el membre de la dreta fos $1$ en lloc de $64$, existiria algun nombre natural $x$ que complís la igualtat? Justifica la teva resposta utilitzant la propietat de l'exponent 0 ($a^0 = 1$ per a $a \neq 0$).