Exercicis: Operacions amb nombres naturals

Calcula el resultat de les operacions combinades següents parant atenció a la jerarquia de les operacions:

1. a) $25 + 5 \cdot 4 - 10$

1. b) $36 : 6 + 2 \cdot 7$

1. c) $18 - 12 : 3 + 4$

Escriu l'expressió numèrica que correspon a cada enunciat i calcula'n el valor:

1. a) El triple de la suma de vuit i cinc.

1. b) El doble de vint menys el quocient de dotze entre quatre.

1. c) La diferència entre el producte de sis per tres i el nombre set.

Observa la quadrícula següent que representa una zona d'emmagatzematge en un magatzem de logística. Calcula el nombre total de paquets utilitzant una sola operació de multiplicació i suma, sabent que cada quadrat representa una caixa.

En una botiga de còmics, un adolescent compra $3$ mangues a $8$ € cadascun i $2$ pòsters a $5$ € cadascun. Si paga amb un bitllet de $50$ €, quin és l'import del canvi que ha de rebre? Expressa totes les operacions en una sola línia.

En Lucas vol calcular la despesa total de comprar una llibreta de $4,50$ € i $3$ bolígrafs iguals que costen $1,20$ € cadascun. Per a fer-ho, escriu l'operació combinada $4,50 + 3 \cdot 1,20$. En calcular-ho a la seva llibreta, resol primer la suma: $4,50 + 3 = 7,50$, i després multiplica el resultat per $1,20$, i obté $9,00$ €. Identifica l'error comès per en Lucas, explica quina regla de la jerarquia d'operacions no ha respectat i calcula de manera correcta el cost total que hauria d'haver pagat.

En una fruiteria de barri compres $3,1$ kg de taronges que es venen a $1,95$ € el quilogram. Abans que la bàscula imprimeixi el tiquet: a) Estima mentalment el preu total arrodonint el pes i el preu a les unitats més properes, i justifica si la teva estimació serà lleugerament superior o inferior al cost real. b) Fes la multiplicació amb tots els seus decimals per esbrinar l'import exacte. c) Comprova si el resultat exacte confirma la teva previsió i valora si té sentit pagar aquesta quantitat a la vida real.

Calcula el resultat de la següent operació combinada pas a pas, respectant la jerarquia de les operacions:

$15 \cdot (13 - 3^2) + 4^2 : \sqrt{64} - 2 \cdot 5$

En un concurs de videojocs, els participants han de superar 25 reptes. Per cada repte superat s'obtenen $12$ punts, però per cada errada es penalitza amb $5$ punts. Si un jugador decideix no intentar un repte, no suma ni resta punts.

Calcula la puntuació final d'un concursant que ha completat $22$ reptes, dels quals $18$ han estat encerts.

Un cinema té una sala amb $12$ files de $18$ seients cadascuna. Per a una estrena, les entrades de les $4$ primeres files (zona VIP) es venen a $15$ € i la resta de les entrades a $9$ €. Si s'han venut totes les localitats, quina ha estat la recaptació total de la sala?

Un agricultor ha recol·lectat $350$ kg de pomes. Les classifica i retira $26$ kg que no són aptes per a la venda. La resta ho envasa en caixes de $12$ kg cadascuna. Si ven cada caixa a $18$ €, quants diners obtindrà per la venda de tota la seva collita?

Per confeccionar les disfresses d'una obra de teatre escolar, el departament de plàstica adquireix dues peces de roba del mateix tipus a $4,25$ € el metre: una de $6,7$ metres per a les capes i una altra de $3,3$ metres per als vestits. Es plantegen dos procediments per calcular el cost total: Mètode 1, calcular el cost de cada peça per separat i sumar-los ($4,25 \cdot 6,7 + 4,25 \cdot 3,3$); Mètode 2, treure factor comú i sumar primer les longituds ($4,25 \cdot (6,7 + 3,3)$). Resol l'operació seguint tots dos mètodes pas a pas, explica quin resulta notablement més ràpid per al càlcul mental i justifica matemàticament per què tots dos donen exactament el mateix resultat.

Quatre companys comparteixen un cotxe per viatjar des de Sevilla fins a Granada ($250$ km). El vehicle consumeix una mitjana de $6,2$ litres de gasolina per cada $100$ km recorreguts, i el preu del carburant és d'$1,65$ € per litre. A més, han d'afegir un suplement de $5,90$ € pel peatge del trajecte. Si acorden repartir totes les despeses a parts iguals: a) Modela la situació escrivint una única expressió matemàtica combinada (amb els parèntesis necessaris) que permeti calcular el que ha de pagar cada persona. b) Associa cada part de la teva expressió amb les paraules clau estudiades: quina operació correspon a 'calcular el total', quina a 'vegades/producte' i quina al 'repartiment'? c) Calcula el resultat final pas a pas respectant la jerarquia i arrodoneix la quota final per persona als cèntims d'euro.

Calcula el valor de la següent expressió aplicant correctament la jerarquia de les operacions i les propietats de les potències:

Recorda resoldre primer els parèntesis més interns, seguits de les potències i arrels, després multiplicacions i divisions, i finalment les sumes i restes.

Estem dissenyant el logotip d'una nova aplicació mòbil. El logo està compost per dos quadrats perfectes enganxats de manera que un costat sencer del quadrat petit queda recolzat sobre un costat del gran. L'àrea total del logo és de $169 \text{ mm}^2$. Si el costat del quadrat més gran fa $12 \text{ mm}$:

1. a) Quina és l'àrea del quadrat petit?
2. b) Quin és el perímetre total de la figura resultant (el contorn exterior)?

Aplica la propietat distributiva per extreure el factor comú i calcula de la manera més ràpida possible el valor de la següent operació de facturació d'una botiga:

Si el resultat total es vol repartir en bosses que continguin $5^3$ articles cadascuna, quantes bosses s'ompliran? Expressa el procés fent servir potències.

Dissenya una expressió amb nombres decimals que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions: 1) Ha de contenir exactament quatre nombres decimals positius diferents i tres operacions elementals diferents (triades entre $+$, $-$, $\cdot$ i $:$). 2) Ha d'incloure un únic parell de parèntesis que alteri la jerarquia natural de les operacions. 3) En resoldre l'expressió respectant els parèntesis i la jerarquia, el seu valor final exacte ha de ser $10$. 4) Si s'eliminen completament aquests parèntesis, l'expressió resultant ha de donar un valor estrictament menor que $5$. Mostra l'expressió que has creat, desenvolupa pas a pas el càlcul en tots dos casos (amb parèntesis i sense) per demostrar que compleix les condicions i descriu l'estratègia inversa que has seguit per deduir els nombres i les operacions.

La factura bimestral de l'aigua en un municipi consta d'una quota fixa de servei de $12,50$ € i un consum variable per blocs: els primers $15\text{ m}^3$ consumits es facturen a $0,80$ €/$\text{m}^3$, mentre que els metres cúbics que superin aquesta quantitat es facturen a un preu penalitzat d'$1,40$ €/$\text{m}^3$. Una família ha consumit $26,5\text{ m}^3$ en el bimestre. a) Escriu una única expressió combinada que modeli el cost total de la factura reflectint la quota fixa, el cost del tram bàsic i el cost de l'excés de consum. b) Un veí afirma: «Per no fer tants comptes, n'hi ha prou calculant la mitjana aritmètica dels dos preus, $(0,80 + 1,40) : 2 = 1,10$ €/$\text{m}^3$, i multiplicar tot el volum ($26,5\text{ m}^3$) per aquest preu mitjà, sumant-hi després la quota fixa». Calcula el resultat seguint la proposta del veí. c) Compara tots dos resultats, indica quin afavoreix el consumidor i argumenta matemàticament per què el mètode del veí comet un error conceptual en no ponderar el volum de cada tram.