Exercicis: Múltiples i divisors

En una botiga de videojocs, volen organitzar una prestatgeria amb $30$ jocs de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de jocs i no en sobri cap. Utilitza la relació de divisibilitat per completar les frases següents:

1. a) Si a cada fila posen $5$ jocs, hi haurà $6$ files. Aleshores, $30$ és ________ de $5$.
2. b) Com que la divisió $30 : 10$ és exacta, diem que $10$ és ________ de $30$.
3. c) El nombre $30$ és ________ per $2, 3$ i $5$ al mateix temps.

Observa la representació següent de "nombres rectangulars" per al nombre $12$. Cada rectangle representa una manera de multiplicar dos nombres per obtenir $12$.

Basant-te en la idea que els divisors són els costats d'aquests rectangles, escriu tots els divisors del nombre $18$ dibuixant o imaginant les seves possibles formes rectangulars.

A un creador de contingut li agrada que la durada dels seus vídeos curts sigui un múltiple de $9$. Si vol penjar un vídeo que duri entre $40$ i $70$ segons, quines són totes les durades possibles (en segons) que pot triar?

Classifica els nombres següents de la llista en primers o compostos. Recorda que els nombres compostos es poden "desmuntar" com a producte d'altres nombres més petits:

Explica per què has triat el nombre $21$ com a compost indicant entre quins nombres es pot dividir a més de $1$ i ell mateix.

Aplica els criteris de divisibilitat per indicar si el nombre $4.350$ és divisible pels valors següents (respon SÍ/NO i justifica-ho breument):

1. a) És divisible per $2$?
2. b) És divisible per $3$?
3. c) És divisible per $5$?
4. d) És divisible per $10$?

Completa l'arbre de factors següent per trobar la descomposició en factors primers del nombre $60$.

Una vegada completat, escriu la descomposició final fent servir potències: $60 = 2^{\dots} \cdot \dots \cdot \dots$

Dues alarmes d'un despertador sonen amb diferents intervals. La primera sona cada $15$ minuts i la segona cada $20$ minuts. Si acaben de coincidir ara mateix a les $08:00$ del matí:

1. a) D'aquí a quants minuts tornaran a sonar juntes per primera vegada? (Calcula el $m.c.m.$).
2. b) A quina hora exacta tornaran a coincidir?

La Marta té $24$ adhesius vermells i $36$ adhesius blaus. Vol fer sobres sorpresa iguals per als seus amics, de manera que cada sobre tingui el mateix nombre d'adhesius de cada color i no en sobri cap.

1. a) Quin és el nombre màxim de sobres que pot preparar? (Calcula el $m.c.d.$).
2. b) Quants adhesius de cada color hi haurà en cadascun d'aquests sobres?

En un examen de Matemàtiques sobre divisibilitat, Darío comet dos errors comuns en els seus raonaments:

1. Afirma que «el nombre $91$ és primer perquè no és parell, no acaba en $0$ ni en $5$, i la suma de les seves xifres ($9+1=10$) no és múltiple de $3$».

2. Afirma que «per comprovar si el nombre $3.514$ és divisible per $4$, n'hi ha prou amb veure si la seva última xifra ($4$) és divisible per $4$, per la qual cosa $3.514$ sí que és divisible entre $4$».

Identifica l'error de raonament en cadascuna de les dues afirmacions de Darío, explica per què són incorrectes i escriu la correcció adequada per a cada cas.

Volem desxifrar un codi numèric de tres xifres amb la forma $4AB$ (on $A$ representa les desenes i $B$ les unitats). Es coneixen les pistes següents sobre la seva divisibilitat:

• El nombre és divisible per $5$, però no és divisible per $10$.

• El nombre és múltiple de $3$, però no és múltiple de $9$.

Troba el valor exacte de la xifra de les unitats $B$ i determina raonadament tots els possibles valors que pot prendre la xifra $A$ perquè es compleixin les dues condicions alhora.

En una botiga de tecnologia han rebut un lot de tauletes. L'encarregat sap que el nombre total de tauletes és un nombre de quatre xifres de la forma $4A7B$. Per organitzar l'inventari, necessita que el nombre compleixi les condicions següents:

• Ha de ser divisible per $5$ i per $2$ a la vegada.

• Ha de ser múltiple de $9$.

Determina tots els valors possibles de $A$ i $B$ perquè l'encarregat pugui organitzar el seu inventari.

Els nombres naturals es poden representar mitjançant rectangles segons els seus divisors. Per exemple, el nombre $12$ es pot representar com un rectangle de $3 \times 4$ o de $2 \times 6$.

Observa el dibuix següent i determina de quin nombre es tracta sabent que és el nombre més petit que pot formar exactament quatre rectangles diferents, un dels quals és un quadrat com al dibuix (considerant que un quadrat és un tipus especial de rectangle i que la base $1 \times n$ també compta).

Tres creadors de contingut d'una plataforma de streaming pengen vídeos amb diferents freqüències:

• El primer penja un vídeo cada $18$ hores.

• El segon penja un vídeo cada $24$ hores.

• El tercer penja un vídeo cada $2$ dies.

Si tots tres han coincidit penjant un vídeo avui dilluns a les $09:00$ del matí, quin dia i a quina hora tornaran a coincidir tots tres per primera vegada?

Un club d'e-sports vol organitzar un torneig solidari. Tenen $120$ samarretes de color blau, $180$ de color vermell i $210$ de color blanc. Volen preparar motxilles de regal que continguin el mateix nombre de samarretes de cada color, repartint totes les que tenen i sense barrejar colors dins de cada paquet individual, però maximitzant el nombre de samarretes per motxilla.

1. a) Quin és el nombre màxim de samarretes que hi pot haver a cada motxilla?
2. b) Quantes motxilles de cada color s'obtindran?

Sense calcular el valor numèric del nombre $N$, la descomposició en factors primers del qual és $N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$, contesta de manera raonada les preguntes següents:

1. a) És $N$ múltiple de $12$?
2. b) És $15$ un divisor de $N$?
3. c) Quants divisors té el nombre $N$ en total? (Fes servir la fórmula basada en els exponents).

Es vol pavimentar el terra d'un garatge rectangular de $12,6$ metres de llarg per $4,2$ metres d'ample amb rajoles quadrades tan grans com sigui possible. El paleta diu que no vol tallar cap rajola.

1. a) Quines han de ser les dimensions de cada rajola? (Expressa el resultat en centímetres).
2. b) Quantes rajoles es necessitaran en total per cobrir tot el terra?

Dos nombres naturals $a$ i $b$ compleixen que el seu producte és $a \cdot b = 1512$. Se sap que el seu màxim comú divisor és $m.c.d.(a, b) = 6$.

Utilitzant la propietat que relaciona el producte de dos nombres amb el seu $m.c.d.$ i el seu $m.c.m.$, calcula el mínim comú múltiple d'aquests nombres.

En un magatzem de logística, les prestatgeries estan numerades del $1$ al $100$. Un operari ha de col·locar etiquetes de seguretat seguint aquest patró:

• Col·loca una etiqueta taronja en totes les prestatgeries que siguin múltiples de $4$.

• Col·loca una etiqueta blanca en totes les prestatgeries que siguin múltiples de $6$.

Quantes prestatgeries tindran les dues etiquetes a la vegada? Indica els nombres de les tres primeres prestatgeries que tindran tots dos colors.

Dues línies d'autobús urbà de Saragossa coincideixen a la mateixa parada a les $7:30\text{ h}$ del matí. La línia circular passa per aquesta parada cada $15\text{ minuts}$ i la línia centre passa cada $25\text{ minuts}$.

1. a) Abans de calcular el mínim comú múltiple, fes una estimació raonada: tornaran a coincidir abans que passi una hora completa des de la seva sortida o trigaran més d'una hora? Explica en què et bases comparant mentalment els primers múltiples d'ambdues freqüències.
2. b) Calcula el $\text{m.c.m.}(15, 25)$ llistant els múltiples de cada freqüència i determina a quina hora exacta tornaran a coincidir en aquesta parada per primera vegada.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era correcta i calcula quantes vegades coincidiran en total en aquesta parada entre les $7:30\text{ h}$ i les $11:00\text{ h}$ del matí (ambdues hores incloses).

Per organitzar els llibres de la biblioteca municipal en caixes amb la mateixa quantitat i sense que en sobri cap, cal calcular el màxim comú divisor de $36$ i $60$. Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode d'Héctor: Escriu la llista completa de tots els divisors de $36$, la llista de tots els divisors de $60$ i selecciona el nombre més gran que apareix en ambdues llistes.

• Mètode de Lucía: Descompon ambdós nombres en factors primers ($36 = 2^2 \cdot 3^2$ i $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$) i aplica la regla d'agafar els factors primers comuns elevats al menor exponent.

1. a) Aplica ambdós mètodes pas a pas per obtenir el $\text{m.c.d.}(36, 60)$ i comprova que arribes al mateix resultat.
2. b) Compara els dos camins: quin resulta més intuïtiu per a nombres petits? Si haguessis de trobar el m.c.d. de $1.260$ i $2.100$, quin dels dos mètodes triaries? Justifica la teva decisió explicant els inconvenients de l'altre mètode en treballar amb nombres grans.

En una agència de ciberseguretat, un programador necessita crear un codi d'accés de cinc xifres. El nombre, al qual anomenarem $N$, ha de complir simultàniament les condicions de divisibilitat següents:

• És un nombre capicua (es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra).

• La xifra de les unitats és el primer nombre primer parell.

• És divisible per $3$, per $4$ i per $11$.

Quin és el valor d'aquest codi $N$ si hi apareixen exactament tres xifres diferents?

Un fuster té tres llistons de fustes precioses que mesuren $180\text{ cm}$, $252\text{ cm}$ i $420\text{ cm}$. Vol tallar-los en trossos iguals de la major longitud possible per fabricar marcs de miralls, de manera que no sobri gens de fusta en cap llistó.

1. Quant ha de mesurar cada tros?

2. Quants marcs podrà fabricar si per a cada marc necessita exactament $4$ trossos?

Tres atletes d'elit entrenen en una pista circular. El primer triga $84\text{ segons}$ a fer una volta completa, el segon triga $96\text{ segons}$ i el tercer $120\text{ segons}$. Si tots tres surten junts de la línia de meta a les $9:00$ del matí:

1. A quina hora exacta tornaran a coincidir tots tres per primera vegada a la línia de meta?

2. Quantes voltes haurà fet cadascun d'ells en aquest moment?

Troba dos nombres naturals, $a$ i $b$, sabent que el seu màxim comú divisor és $m.c.d.(a, b) = 15$ i que el seu producte és $a \cdot b = 6750$. Tingues en compte que cap dels dos nombres pot ser el mateix $15$. Hi ha més d'una solució possible? Justifica la teva resposta.

Un magatzem logístic està organitzant caixes de kits de robòtica. Tenen entre $700$ i $900$ sensors. Si els empaqueten en caixes de $12$, en sobren $7$. Si els empaqueten en caixes de $15$, també en sobren $7$. I si els empaqueten en caixes de $18$, en tornen a sobrar $7$ sensors. Quants sensors tenen exactament al magatzem?

Un nombre natural s'anomena "especial" si es pot escriure com $2^a \cdot 3^b$, on $a$ i $b$ són nombres naturals que poden valer $0$, i té exactament $10$ divisors naturals.

Determina quins són tots els possibles nombres "especials" que compleixen aquesta condició.

Dos vaixells de càrrega surten del port de València. El vaixell Levante surt cada $24$ dies i el vaixell Poniente surt cada $35$ dies. El dia $1$ de gener van coincidir al port.

1. Quantes vegades tornaran a coincidir al port al llarg d'un any natural (considera $365$ dies)?

2. Si un tercer vaixell, el Tramontana, sortís cada cert nombre de dies $x$, i se sap que la primera vegada que coincideixen tots tres és al cap de $840$ dies, quin és el valor més petit possible per a $x$ (sent $x > 1$)?

Es vol enrajolar el terra d'una sala rectangular de $12,6\text{ metres}$ de llarg i $7,2\text{ metres}$ d'ample amb rajoles quadrades de la mida més gran possible, sense haver de tallar-ne cap.

1. Quina ha de ser la mida del costat de cada rajola expressada en centímetres?

2. Si cada rajola costa $8,50\text{ €}$ i el ciment cola necessari costa $2,25\text{ €}$ per cada metre quadrat de superfície, quin serà el pressupost total dels materials per al terra de la sala?

Una cooperativa d'oli d'oliva a Úbeda (Jaén) té emmagatzemats dos dipòsits: un amb $720\text{ litres}$ de varietat picual i un altre amb $480\text{ litres}$ de varietat cornicabra. Volen envasar tot l'oli, sense barrejar les dues varietats, en recipients iguals amb una capacitat sencera de litres, de manera que no sobri gens d'oli.

1. a) Si no existís cap límit de capacitat i es busqués utilitzar la menor quantitat possible de recipients, quina capacitat hauria de tenir cadascun i quin concepte matemàtic representa?
2. b) Per qüestions ergonòmiques i de prevenció de riscos laborals, la normativa prohibeix que els operaris manipulin manualment recipients de més de $30\text{ litres}$. Sabent que la capacitat triada ha de ser un divisor comú de $720$ i $480$ (i per tant divisor del seu m.c.d.), determina quina és la major capacitat possible per recipient que compleix la normativa.
3. c) Amb la capacitat calculada a l'apartat anterior, quants recipients s'ompliran d'oli picual, quants de cornicabra i quants se'n necessitaran en total?

En un debat de classe sobre divisibilitat, Mateo formula la conjectura següent: «Si un nombre natural és divisible per $4$ i alhora és divisible per $6$, llavors obligatòriament ha de ser divisible pel seu producte, és a dir, per $24$».

1. a) Troba dos nombres menors que $50$ que siguin múltiples de $4$ i de $6$ simultàniament, però que no siguin divisibles per $24$. Què demostra l'existència d'aquests dos contraexemples sobre l'afirmació de Mateo?
2. b) Explica l'error conceptual que comet Mateo utilitzant la descomposició en factors primers o el concepte de mínim comú múltiple: per què ser múltiple de $4$ i de $6$ no obliga a ser-ho de $24$?
3. c) Quina condició han de complir dos nombres naturals $a$ i $b$ perquè sigui sempre veritat que qualsevol múltiple comú d'ambdós sigui també múltiple del producte $a \cdot b$? Posa un exemple de dos nombres més grans que $2$ que sí que compleixin aquesta condició i justifica per què amb ells sí que funciona la regla.