Exercicis: Mínim comú múltiple

En un videojoc de plataformes, el teu personatge aconsegueix un escut protector cada $4$ nivells i una millora de velocitat cada $6$ nivells. Si acabes de començar la partida al nivell $0$, en quin nivell coincidiran per primera vegada totes dues recompenses? Calcula el resultat obtenint els primers múltiples de cada nombre.

La recta numèrica mostra el primer salt de cada recompensa. Continua tu els salts fins a trobar el primer nivell en què coincideixen.

Una aplicació de missatgeria envia una notificació de «resum de notícies» cada $10$ minuts, mentre que una altra aplicació de xarxes socials ho fa cada $15$ minuts. Si totes dues han enviat una notificació a les $10:00$ del matí, quants minuts passaran fins que tornin a coincidir per primera vegada? Escriu els conjunts dels múltiples de $10$ i $15$ per trobar el menor comú a tots dos.

Calcula a la teva llibreta el mínim comú múltiple dels nombres $12$ i $18$ utilitzant la descomposició en factors primers. Per a fer-ho, segueix aquests passos:

1. Realitza la descomposició factorial de tots dos nombres.

2. Identifica els factors comuns i no comuns elevats al major exponent.

3. Multiplica'ls per obtenir el $m.c.m.(12, 18)$.

Tres llums intel·ligents en un aparador estan programats per canviar de color en intervals diferents. El primer canvia cada $2$ segons, el segon cada $3$ segons i el tercer cada $4$ segons. Si s'encenen tots tres alhora, quant de temps trigaran a tornar a canviar de color simultàniament?

Sense necessitat de realitzar la descomposició factorial, raona quin és el $m.c.m.(5, 20)$. Tingues en compte la relació de divisibilitat que hi ha entre tots dos nombres. Què passa amb el mínim comú múltiple quan un nombre és múltiple d'un altre?

Un DJ utilitza dos 'loops' de bateria de diferent durada. El primer 'loop' dura $8$ compassos i el segon $12$ compassos. Cada quants compassos es reiniciaran tots dos 'loops' al mateix temps? Utilitza el mètode que prefereixis (llista de múltiples o descomposició factorial).

La Lucía i el Marcos entrenen a la pista d'atletisme de l'institut. La Lucía triga $6$ minuts a fer una volta completa i el Marcos triga $8$ minuts. Si surten junts de la línia de meta:

1. a) Al cap de quants minuts tornaran a creuar la meta al mateix temps?
2. b) Calcula quantes voltes haurà donat cadascun en aquest moment.

Troba el mínim comú múltiple dels parells de nombres següents de forma mental:

1. a) $m.c.m.(2, 5)$
2. b) $m.c.m.(3, 9)$
3. c) $m.c.m.(4, 10)$
4. d) $m.c.m.(7, 11)$

A la classe de Matemàtiques, la Lucía intenta calcular el mínim comú múltiple de $12$ i $18$. Per fer-ho, fa correctament la descomposició en factors primers: $12 = 2^2 \cdot 3$ i $18 = 2 \cdot 3^2$. Tot i això, en el pas final escriu al seu quadern:

«Com que estem buscant el mínim, he de triar els factors comuns que tinguin el menor exponent. Per tant: $\text{m.c.m.}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$».

1. a) Localitza l'error de raonament de la Lucía i explica per què el nombre $6$ mai no podria ser un múltiple comú de $12$ i de $18$ atenent al significat de múltiple.
2. b) Corregeix el procediment de la Lucía i calcula el resultat correcte explicant per què la regla de l'm.c.m. exigeix agafar els factors elevats al major exponent.

A l'estació d'autobusos de Santander coincideixen a les $07:00$ del matí dues sortides: la línia cap a Torrelavega, que passa cada $15$ minuts, i la línia cap a El Astillero, que passa cada $20$ minuts.

1. a) Abans de fer cap càlcul per descomposició factorial, fes una estimació raonada: és possible que tornin a coincidir abans que passin $20$ minuts? Podrien trigar més de $15 \cdot 20 = 300$ minuts a tornar a sortir alhora? Explica entre quins límits lògics s'ha de situar el temps de coincidència.
2. b) Calcula formalment l'$\text{m.c.m.}(15, 20)$ per determinar exactament quants minuts trigaran a coincidir de nou i a quina hora del matí passarà.
3. c) Comprova si el resultat obtingut encaixa amb la teva estimació inicial i justifica per què l'm.c.m. resulta ser força menor que el producte $15 \cdot 20$.

Troba el mínim comú múltiple dels grups de nombres següents utilitzant la descomposició en factors primers:

1. a) $m.c.m.(45, 75)$
2. b) $m.c.m.(12, 18, 24)$
3. c) $m.c.m.(80, 120, 200)$

Dos ciclistes professionals entrenen en un velòdrom circular. El primer completa una volta cada $108$ segons, mentre que el segon, que va un poc més lent, triga $120$ segons. Si tots dos passen junts per la línia de meta en aquest moment, quants minuts trigaran a tornar a coincidir en el mateix punt per primera vegada?

En una central de logística, una de les alarmes de manteniment sona cada $45$ minuts i una altra cada $60$ minuts. Si a les $08:00$ del matí han coincidit les dues alarmes, a quina hora tornaran a sonar juntes per segona vegada després de les $08:00$?

Un centre cultural organitza tres activitats diferents: classes de robòtica cada $12$ dies, tallers de teatre cada $15$ dies i sessions de cinefòrum cada $20$ dies. Si avui han coincidit les tres activitats, quantes vegades tornaran a coincidir en el mateix dia al llarg dels pròxims $365$ dies?

En un magatzem volem apilar caixes de dos tipus de productes diferents. Les caixes del producte A tenen una alçada de $18$ cm i les del producte B tenen una alçada de $30$ cm. A la figura pots veure una caixa de cada tipus (les alçades estan dibuixades a la mateixa escala).

Si apilem caixes del producte A en una pila i caixes del producte B en una altra:

1. a) Quina és l'alçada mínima que han d'assolir les dues piles perquè tinguin exactament la mateixa alçada?

1. b) Quantes caixes de cada tipus hi haurà a cada pila en aquest moment?

L'equip de suport d'una aplicació de videojocs té tres servidors que fan còpies de seguretat de forma automàtica. El primer servidor fa una còpia cada $24$ hores, el segon cada $36$ hores i el tercer cada $48$ hores. Si avui s'han realitzat les tres còpies simultàniament, d'aquí a quants dies tornarà a ocórrer el mateix?

Cerca el nombre més petit que, en dividir-lo per $15$, $20$ i $35$, dóna sempre un residu igual a $0$. Un cop trobat, indica quin seria el nombre més petit que en dividir-lo per aquests mateixos valors donés sempre un residu de $3$.

Una empresa de transport té dues rutes interurbanes. L'autobús de la ruta Nord passa per l'estació central cada $1$ hora i $15$ minuts. El de la ruta Sud passa cada $50$ minuts. Si a les $10:00$ del matí han sortit tots dos alhora, calcula quantes vegades hauran coincidit a l'estació abans que acabi el dia a les $22:00$.

Has de trobar el mínim comú múltiple en dos casos diferents:

• Cas 1: $\text{m.c.m.}(14, 28)$

• Cas 2: $\text{m.c.m.}(40, 60)$

Disposes de tres possibles estratègies de resolució:

• Mètode A: Llistar manualment els primers múltiples de cada nombre fins a trobar el primer que coincideixi.

• Mètode B: Fer la descomposició en factors primers i agafar comuns i no comuns al major exponent.

• Mètode C: Aplicar la relació de divisibilitat directa observant si un dels nombres conté exactament l'altre.

1. a) Per al Cas 1, indica quin dels tres mètodes et permet deduir el resultat de manera més immediata i gairebé sense fer operacions. Justifica la teva elecció i obtén el valor.
2. b) Per al Cas 2, compara l'eficàcia del Mètode A respecte al Mètode B: explica per què el Mètode A esdevé poc pràctic en nombres d'una certa mida i resol el cas aplicant el mètode que consideris òptim.

A l'estació d'Atocha (Madrid), tres trens de Rodalies inicien el seu servei simultàniament a les $06:00$ del matí: la línia C-3 cap a Aranjuez té una freqüència de sortida de cada $15$ minuts, la línia C-4 cap a Parla surt cada $20$ minuts i la línia C-5 cap a Fuenlabrada surt cada $12$ minuts.

1. a) Tradueix aquesta situació a un model matemàtic: justifica quin concepte necessites calcular per conèixer el moment en què tornaran a sortir els tres trens alhora i determina aquest interval de temps mitjançant la descomposició en factors primers.
2. b) A quina hora exacta del matí es produirà la següent sortida simultània de les tres línies?
3. c) Si les freqüències es mantenen invariables al llarg del dia i el servei finalitza a les $23:30$, calcula quantes vegades en total coincidiran les tres sortides simultànies al llarg de tota la jornada (incloent-hi la sortida inicial de les $06:00$).

En una estació espacial, quatre satèl·lits d'investigació orbiten al voltant d'un asteroide. El primer completa la seva òrbita cada $12$ hores, el segon cada $18$ hores, el tercer cada $20$ hores i el quart cada $30$ hores. Si avui a les $12:00$ del migdia es troben alineats per primera vegada, quants dies complets hauran de transcórrer perquè tornin a coincidir exactament en la mateixa posició? A quina hora del dia tindrà lloc aquesta trobada?

El producte de dos nombres naturals és $6\,750$ i el seu màxim comú divisor ($M.C.D.$) és $15$. Utilitzant la relació que hi ha entre el producte de dos nombres, el seu $M.C.D.$ i el seu mínim comú múltiple ($m.c.m.$), calcula primer el valor del $m.c.m.$ d'aquests nombres. A continuació, esbrina quins són aquests dos nombres sabent que la seva diferència és exactament $15$.

Una empresa de disseny vol fabricar panells publicitaris quadrats. Per a fer-ho, disposen de tres tipus de rajoles rectangulars de diferents colors, les dimensions de les quals són $12 \times 18$ cm, $15 \times 20$ cm i $18 \times 24$ cm. Volen construir el panell quadrat més petit possible que pugui ser cobert per qualsevol dels tres tipus de rajoles de manera independent (sense barrejar-les en el mateix panell). Quina ha de ser la mida del costat d'aquest panell? Quantes rajoles de cada tipus es necessitarien per a cobrir-lo?

A la biblioteca de l'institut estan reorganitzant la secció de narrativa. La bibliotecària observa que si guarda els llibres en caixes de $6$, de $8$ o de $10$ exemplars, sempre sobren exactament $3$ llibres que es queden fora. Sabent que el nombre total de llibres de la secció està comprès entre $400$ i $600$, quants llibres hi ha exactament a la secció de narrativa?

Un DJ té tres seqüenciadors de llum programats per emetre centelleigs en diferents intervals. El primer emet un centelleig cada $24$ segons, el segon cada $36$ segons i el tercer cada $40$ segons. Si a les $23:00$ hores els tres seqüenciadors coincideixen en el seu centelleig, quantes vegades tornaran a coincidir tots tres simultàniament estrictament abans que acabi la sessió a les $00:00$ hores (mitjanit)?

Esbrina el valor d'un nombre natural $x$, sabent que és menor que $50$ i que es compleixen simultàniament aquestes dues condicions:

• El mínim comú múltiple de $24$ i $x$ és $120$.

• El màxim comú divisor de $24$ i $x$ és $4$.

(Pista: Descompon factorialment els nombres coneguts i utilitza la definició de m.c.m. i M.C.D.)

Tres engranatges d'una màquina industrial estan connectats. L'engranatge $A$ té $45$ dents, el $B$ té $60$ dents i el $C$ té $75$ dents. Si la màquina comença a funcionar i mequem un punt de contacte entre tots tres, quantes voltes completes haurà donat cada engranatge quan tornin a coincidir per primera vegada en la posició inicial?

Un sistema de seguretat informàtica genera tres codis d'accés automàtics. El primer codi canvia cada $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ segons, el segon cada $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ segons i el tercer cada $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ segons.

1. a) Expressa el temps de canvi de cada codi en nombres decimals.
2. b) Calcula, expressant el resultat mitjançant la seva descomposició factorial, cada quant de temps coincideixen els tres canvis de codi simultàniament.
3. c) Quants minuts hauran passat entre cada coincidència?

Dos nombres naturals desconeguts, $A$ i $B$, compleixen alhora les quatre condicions següents:

1. El seu mínim comú múltiple és $\text{m.c.m.}(A, B) = 360$.

2. Cap dels dos nombres és divisible entre l'altre.

3. Tots dos nombres són estrictament menors que $360$.

4. El nombre $A$ és múltiple de $9$ i el nombre $B$ és múltiple de $10$.

1. a) Descompon $360$ en factors primers i explica quines potències dels factors primers ($2$, $3$ i $5$) han d'estar presents obligatòriament a $A$ o a $B$ perquè el seu m.c.m. contingui totes les necessàries.
2. b) Troba dues parelles diferents de nombres $(A, B)$ que compleixin tots els requisits donats i demostra mitjançant les seves descomposicions que el seu m.c.m. és efectivament $360$.
3. c) Podria ser $A = 75$? Justifica per què és impossible analitzant únicament els factors primers de $75$ respecte als de $360$, sense necessitat de fer temptejos.

Una cooperativa agrària a Navarra envasa espàrrecs amb denominació d'origen en pots de vidre. Per preparar els enviaments, disposa de caixes de tres formats: caixes petites de $12$ pots, mitjanes de $18$ pots i grans de $28$ pots. La cooperativa encarrega palets estandarditzats amb la condició que cada palet es pugui completar totalment emprant exclusivament caixes de $12$, exclusivament caixes de $18$ o exclusivament caixes de $28$, sense barrejar models de caixa en un mateix palet i sense que sobri cap pot.

1. a) Calcula la quantitat mínima de pots que ha d'admetre un palet perquè sigui compatible amb els tres formats de caixa.
2. b) L'encarregat de logística proposa que el palet tingui una capacitat de $1500$ pots per aprofitar al màxim el volum del camió. Demostra, sense efectuar divisions amb decimals i utilitzant únicament la descomposició en factors primers de l'm.c.m., per què és impossible que un palet de $1500$ pots compleixi la condició requerida.
3. c) Si per raons de pes i seguretat viària la capacitat de cada palet ha d'estar compresa obligatòriament entre $2000$ i $3000$ pots, dedueix raonadament totes les capacitats possibles que pot tenir el palet.