Exercicis: Descomposició factorial

Classifica els nombres naturals següents en primers o compostos. Recorda que els nombres primers són aquells que només tenen dos divisors: el $1$ i ells mateixos.

$14, 17, 21, 23, 27, 29, 33, 37$

Omple els buits de la descomposició factorial següent d'un nombre fent servir la tècnica de la barra vertical:

Escriu el resultat final de la descomposició fent servir potències.

Fes la descomposició factorial dels nombres següents. Expressa el resultat final en forma de producte de potències:

1. a) $36$

1. b) $45$

1. c) $80$

Indica a quin nombre corresponen les descomposicions factorials següents:

1. a) $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

1. b) $2^{3} \cdot 7$

1. c) $3^{2} \cdot 11$

Completa el següent arbre de factors per al nombre $24$. Has de trobar dos nombres que multiplicats donin el nivell superior, fins que tots els nombres de les puntes siguin primers.

Escriu finalment la descomposició de $24$ com a producte dels seus factors primers.

Observa la descomposició factorial dels nombres següents:

$A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$

$B = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5$

Sense fer les multiplicacions, contesta raonadament:

1. a) És el nombre $A$ múltiple de $7$?
2. b) És el nombre $B$ divisible per $10$? (Pista: observa si té els factors necessaris per formar el $10$).
3. c) És el nombre $3$ un divisor de $A$?

Un professor d'Educació Física vol organitzar els seus $28$ alumnes en grups iguals de més de $2$ persones però de menys de $10$, de manera que no sobri cap alumne.

Utilitza la descomposició factorial de $28$ per a trobar totes les formes possibles de fer els grups.

Quin és el nombre de dues xifres més gran que té només el $2$ i el $3$ com a factors primers en la seva descomposició?

Exemple d'ajuda: el nombre $6 = 2 \cdot 3$ compleix la condició, però no és el més gran de dues xifres.

Mateo ha de descompondre el nombre $540$ en factors primers i fa servir el mètode de la barra vertical escrivint a la seva llibreta:

$540 \mid 10$

$\phantom{0}54 \mid 9$

$\phantom{00}6 \mid 6$

$\phantom{00}1$

En acabar, afirma: «Com que $10 \cdot 9 \cdot 6 = 540$, la descomposició factorial de $540$ és $10 \cdot 9 \cdot 6$ i he trigat la meitat de temps».

1. a) Explica quin error conceptual comet Mateo en aplicar la definició de descomposició factorial.
2. b) Per què no és vàlid utilitzar nombres com $10$, $9$ o $6$ a la columna de la dreta del mètode de la barra?
3. c) Corregeix l'exercici de Mateo: obtén la descomposició factorial correcta de $540$ expressada com a producte de potències de nombres primers.

Per descompondre en factors primers el nombre $4200$, Marcos i Laura debaten quina estratègia convé més:

• Marcos proposa aplicar la barra vertical tradicional, començant a dividir sistemàticament entre els nombres primers més petits: $2, 2, 2, 3\dots$

• Laura proposa fer servir un arbre de factors ràpid: primer separa $4200$ mentalment en $42 \cdot 100$, i després descompon $42$ i $100$ en branques més petites fins a arribar a primers.

1. a) Arribaran tots dos al mateix resultat final? Quina propietat o teorema dels nombres naturals garanteix això?
2. b) Compara tots dos camins: quin resulta més ràpid i amb menys risc d'error en les divisions per a aquest nombre concret? Justifica la teva elecció.
3. c) Aplica l'estratègia de Laura per escriure la descomposició factorial definitiva de $4200$ en forma de potències.

Fes la descomposició en factors primers dels nombres $720$ i $1260$ fent servir el mètode de la barra vertical. Una vegada obtingudes les expressions en forma de potència, indica quins factors primers tenen en comú i quin és l'exponent més gran amb què apareix cadascun en totes dues descomposicions.

Copia a la teva llibreta aquest esquema de descomposició factorial i omple els buits (marcats amb la lletra $x$) amb els nombres corresponents:

Un dissenyador de videojocs vol organitzar un magatzem virtual d'objectes. Per fer-ho, necessita saber quants divisors té el nombre de caixes disponibles, que és $360$.

1. a) Fes la descomposició factorial de $360$.
2. b) Fent servir la regla dels exponents (sumar u a cada exponent de la descomposició i multiplicar-los), calcula el nombre total de divisors que té $360$.

Troba el nombre la descomposició factorial del qual és $2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$. Una vegada trobat, explica si aquest nombre és múltiple de $6$ i de $22$ fixant-te únicament en els seus factors primers (sense fer divisions).

A partir de la descomposició en factors primers del nombre $150$, respon a les qüestions següents raonant la teva resposta:

1. a) És $150$ divisible per $10$?
2. b) És $150$ divisible per $4$?
3. c) És $150$ divisible per $15$?

El volum d'una caixa amb forma de cub és exactament $1728$ cm$^3$.

1. a) Descompon factorialment el nombre $1728$.
2. b) Sabent que el volum d'un cub es calcula com $V = l^3$ (on $l$ és l'aresta), utilitza la descomposició anterior per agrupar els factors en tres grups idèntics i troba la mida de l'aresta.

Un fotògraf professional d'Instagram vol organitzar el seu mur de fotos. Té $210$ imatges i vol publicar-les en blocs iguals.

1. a) Descompon $210$ en factors primers.
2. b) Escriu quatre formes diferents d'agrupar les fotos (per exemple: "3 blocs de 70 fotos") fent servir combinacions dels seus factors primers.

Diem que un nombre és un quadrat perfecte si tots els exponents de la seva descomposició factorial són nombres parells.

1. a) Descompon factorialment el nombre $180$. És un quadrat perfecte?
2. b) Quin és el nombre més petit pel qual hauries de multiplicar $180$ perquè el resultat sí que sigui un quadrat perfecte? Justifica la teva resposta analitzant els exponents.

Un nombre natural secret $N$ compleix simultàniament aquestes tres condicions:

1. En la seva descomposició factorial només apareixen els factors primers $2$, $3$ i $5$.

2. És múltiple de $18$ i també és múltiple de $20$.

3. És menor que $300$.

1. a) Escriu la descomposició en factors primers de $18$ i de $20$.
2. b) Pensant en els factors primers com els «maons» imprescindibles que ha de tenir $N$ per poder-se dividir entre $18$ i entre $20$, dedueix raonadament quins han de ser els exponents mínims de $2$, de $3$ i de $5$ en la descomposició de $N$.
3. c) Determina quin nombre és $N$. Podria existir un altre nombre natural diferent que complís les tres condicions? Justifica la teva resposta.

Considera el nombre obtingut en multiplicar $A = 24 \cdot 35 \cdot 55$.

1. a) Estima: Abans de calcular el producte i sense fer divisions llargues, fes una estimació mental de quants factors primers en total (comptant repeticions; per exemple, a $2^3$ hi ha $3$ factors primers) tindrà el nombre $A$. Explica breument en què et fixes mentalment per fer aquesta estimació.
2. b) Calcula: Obtén per separat la descomposició en factors primers de $24$, de $35$ i de $55$. A partir d'aquestes, escriu la descomposició factorial completa d'$A$ agrupant els factors en potències.
3. c) Comprova i reflexiona: Suma els exponents de la teva descomposició per saber el nombre exacte de factors primers d'$A$ i compara'l amb la teva estimació. Per què resulta molt més avantatjós descompondre els tres nombres per separat en lloc de calcular primer la multiplicació $24 \cdot 35 \cdot 55 = 46\,200$ per després descompondre-la?

Un hacker ha bloquejat l'accés a un servidor i ha deixat la pista següent sobre la contrasenya numèrica, que és un nombre $N$ de quatre xifres:

• La descomposició factorial de $N$ és de la forma $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$.

• El nombre de divisors totals de $N$ és exactament $30$.

• El nombre és un múltiple de $100$ però no és múltiple de $8$.

Determina raonadament el valor de la contrasenya $N$ i mostra la seva descomposició factorial completa.

Considera dos nombres naturals, $A$ i $B$, les descomposicions factorials dels quals són les següents:

$A = 2^{3} \cdot 3^{x} \cdot 5^{2}$

$B = 2^{y} \cdot 3^{3} \cdot 7^{1}$

Sabent que el Màxim Comú Divisor de tots dos és $M.C.D.(A, B) = 36$, esbrina el valor de les incògnites $x$ i $y$. Un cop trobades, calcula el valor del mínim comú múltiple $m.c.m.(A, B)$ expressat també en la seva forma de descomposició factorial.

Una empresa de logística utilitza caixes cúbiques petites per emmagatzemar peces. El volum total d'un contenidor de càrrega és de $151200$ $cm^{3}$. El contenidor s'ha d'omplir completament amb paquets rectangulars que mesurin $a$ cm d'amplada, $b$ cm de llargada i $c$ cm d'alçària, on $a$, $b$ i $c$ són nombres primers diferents entre si.

Si sabem que el contenidor pot encabir exactament un nombre de paquets que és múltiple de $10$:

1. Fes la descomposició factorial de $151200$.

2. Identifica les possibles dimensions dels paquets si el volum de cada paquet ha de ser més gran de $100$ $cm^{3}$.

Tenim tres nombres naturals descompostos en factors primers:

$n_1 = 2^{3} \cdot p \cdot 7$

$n_2 = 2^{q} \cdot 3^{2} \cdot 5$

$n_3 = 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$

Si sabem que:

• $M.C.D.(n_1, n_2) = 12$

• $m.c.m.(n_2, n_3) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 11$

Troba els valors dels nombres primers o exponents desconeguts $p$ i $q$. Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de la descomposició factorial per al càlcul del $M.C.D.$ i el $m.c.m.$

Un alumne de 2n d'ESO afirma que ha trobat un nombre $X$ la descomposició factorial del qual és $2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 6^{2} \cdot 5$.

1. Explica per què aquesta expressió no és una descomposició factorial vàlida.

2. Corregeix l'expressió perquè sigui una descomposició en factors primers real.

3. Sense calcular el valor numèric de $X$, determina quants divisors té. Mostra el procés de càlcul pas a pas.

En una xarxa de satèl·lits, el Satèl·lit A completa una òrbita cada $1260$ minuts, el Satèl·lit B cada $1584$ minuts i el Satèl·lit C cada $n$ minuts.

Es sap que l'última vegada que tots tres van coincidir sobre el cel de Madrid va ser fa exactament el temps marcat pel seu $m.c.m$.

Si la descomposició factorial de $n$ és $2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$, calcula:

1. La descomposició factorial dels temps dels satèl·lits A i B.

2. El temps total (en minuts) que ha de transcórrer perquè els tres satèl·lits tornin a coincidir. Deixa el resultat expressat com a producte de potències de factors primers.

Esbrina quin és el nombre més petit que compleix simultàniament aquestes tres condicions:

• És un quadrat perfecte (tots els exponents de la seva descomposició factorial són parells).

• És un múltiple de $42$.

• És un múltiple de $60$.

Per resoldre-ho, utilitza la descomposició factorial de $42$ i $60$ i raona quins factors i exponents has d'afegir per obtenir el quadrat perfecte mínim.

Es vol dissenyar un codi de barres especial basat en un nombre $K$. Aquest nombre es forma multiplicant els primers $n$ nombres primers de manera consecutiva (per exemple, si $n=3$, el nombre seria $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$).

Si volem que el nombre $K$:

1. Sigui més gran que $1000$ però més petit que $5000$.

2. Tingui exactament $5$ factors primers diferents en la seva descomposició factorial.

Quin és el valor de $K$? Mostra la llista de nombres primers que has utilitzat i comprova que el resultat està dins de l'interval sol·licitat.

Una cooperativa agrícola de Gandia (València) prepara una comanda de $2520\text{ kg}$ de taronges en caixes idèntiques amb destinació a diversos mercats europeus. Per organitzar el transport, el departament de logística exigeix les condicions següents:

1. El pes de cada caixa (en quilograms enters) ha de ser un múltiple de $15$, però ha de ser una quantitat senar (és a dir, no pot contenir el factor primer $2$).

2. El nombre total de caixes preparades ha de ser més gran que $20$.

3. El nombre total de caixes ha de ser un múltiple de $8$.

1. a) Calcula la descomposició factorial de $2520$.
2. b) Utilitzant únicament la descomposició factorial obtinguda (sense temptejar divisions a l'atzar), explica quins factors primers han de formar obligatòriament el pes de cada caixa i quins han de formar el nombre total de caixes.
3. c) Dedueix de manera raonada totes les combinacions possibles de (pes de cada caixa, nombre total de caixes) que satisfan tots els requisits del transport.

Busquem el menor nombre natural $N$ que compleix alhora aquestes dues condicions estructurals:

• En multiplicar-lo per $6$, el resultat $6 \cdot N$ és un quadrat perfecte (tots els exponents de la seva descomposició factorial són nombres parells).

• En multiplicar-lo per $10$, el resultat $10 \cdot N$ és un cub perfecte (tots els exponents de la seva descomposició factorial són múltiples de $3$).

1. a) Escriu la descomposició factorial de $6$ i de $10$, i dedueix quins factors primers ha de tenir com a mínim el nombre $N$.
2. b) Suposant que $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, dedueix quines condicions de paritat i divisibilitat han de complir obligatòriament els exponents $a$, $b$ i $c$.
3. c) Troba els menors valors naturals possibles per a $a$, $b$ i $c$, expressa la descomposició factorial de $N$ i calcula el valor numèric d'aquest nombre.