Exercicis: El conjunt dels nombres naturals

Caminant pel centre de la teva ciutat, veus una placa en un monument antic que indica l'any de la seva construcció en nombres romans: MDCCCXCVII. Tradueix aquesta data al nostre sistema de numeració decimal.

En el sistema de numeració decimal, el valor d'una xifra depèn de la posició que ocupa. En el nombre 7.475, indica quin valor representa el primer "7" (començant per l'esquerra) i quin valor representa el segon "7". Quantes vegades és més gran el primer respecte al segon?

La Lucía vol organitzar la seva col·lecció de $36$ enganxines formant un quadrat perfecte sobre la tapa del seu àlbum. Quantes enganxines ha de posar a cada costat del quadrat perquè no li'n sobri cap? Dibuixa un esquema senzill de la solució.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La Lucía ha vist una placa commemorativa a la façana de la biblioteca municipal i vol transcriure l'any de la seva fundació, 1999, al sistema de numeració romà. A la seva llibreta ha escrit: $MIM$, i ho justifica al seu company dient: «Poso una $M$ ($1.000$) i a una altra $M$ li resto $I$ situada a la seva esquerra ($1.000 - 1 = 999$); així tinc $1.000 + 999 = 1.999$».

1. a) Localitza els dos errors comesos per la Lucía i explica quines normes de la numeració romana ha vulnerat.
2. b) Escriu correctament el nombre 1999 en nombres romans, descomponent pas a pas cada ordre d'unitats (milers, centenes, desenes i unitats).

Per equipar l'aula de plàstica, un centre escolar adquireix $4$ caixes de témperes a $12$ € cadascuna, $3$ paquets de pinzells a $9$ € cadascun i un rotlle de paper continu per $48$ €. A més, la botiga aplica una oferta especial de fidelitat que descompta $5$ € per cada caixa de témperes comprada.

L'expressió combinada que representa la despesa final en euros és:

1. a) Sense calcular el valor exacte sobre el paper ni utilitzar calculadora, fes una estimació mental ràpida del resultat arrodonint cada preu o operació a la desena més propera i explica breument com l'has plantejat.
2. b) Resol l'expressió combinada pas a pas respectant la jerarquia de les operacions.
3. c) Compara la teva estimació prèvia amb el resultat exacte: ha estat encertada? Justifica si la teva estimació ha quedat per sobre o per sota del valor real.

La població estimada d'una xarxa social l'any 2023 va assolir la xifra de $1.205.040.300$ usuaris actius.

1. a) Escriu com es llegeix aquest nombre en català.
2. b) Realitza la seva descomposició polinómica utilitzant potències de base $10$.
3. c) Quin és el valor posicional de la xifra $5$ en aquest nombre?

Considera el nombre natural $N = 47.082$.

1. a) Si intercanviem la xifra de les unitats de miler amb la xifra de les desenes, quina és la diferència entre el nombre original i el nou nombre obtingut?
2. b) Quantes centenes completes hi ha en total en el nombre $N$?
3. c) Escriu el nombre natural més pròxim a $N$ que acabi en tres zeros.

En un magatzem de logística s'organitzen caixes de sabates formant cubs perfectes. Si una estanteria té una base quadrada de $7 \times 7$ caixes i s'apilen fins a assolir la mateixa alçada per formar un cub:

1. a) Quantes caixes hi ha en total a l'estanteria? Expressa-ho en forma de potència i calcula'n el valor.
2. b) Si es venen $150$ caixes, quin és el nombre màxim de caixes que poden continuar formant un quadrat perfecte a terra del magatzem? Quantes caixes sobrarien en aquest cas?

Considera la següent expressió numèrica sense parèntesis: $3 + 5 \cdot 4 - 2$. Si la calculem directament respectant la jerarquia natural, obtenim $3 + 20 - 2 = 21$.

1. a) Col·loca un únic parell de parèntesis a l'expressió perquè el resultat final sigui igual a $13$.
2. b) Col·loca un únic parell de parèntesis en una posició diferent de l'anterior perquè el resultat sigui igual a $30$.
3. c) On col·locaries dos parells de parèntesis simultanis perquè el resultat final sigui exactament $16$?
4. d) Raona per què, independentment d'on col·loquis els parèntesis, mai no podràs obtenir un nombre amb decimals a partir d'aquesta operació, relacionant-ho amb les propietats del conjunt $\mathbb{N}$.

Un institut organitza una visita al Museu Reina Sofía de Madrid per a un grup de $28$ alumnes i $3$ professors. Per desplaçar-se en Rodalies de Renfe, el centre consulta les següents opcions de bitllets de la mateixa zona:

• Bitllet individual senzill: $3$ € per viatge.

• Bonotren de $10$ viatges (abonament transferible que pot ser compartit per diverses persones): $18$ € per bo.

Tant els alumnes com els professors han de realitzar el viatge d'anada i el de tornada el mateix dia.

1. a) Modela la situació plantejant una única expressió aritmètica amb operacions combinades per calcular el cost mínim total, sabent que el grup comprarà tants Bonotrens de $10$ viatges com sigui possible i adquirirà bitllets senzills només per als viatges solts que faltin.
2. b) Calcula pas a pas aquest cost mínim aplicant la jerarquia d'operacions.
3. c) Si es decidís repartir el cost total obtingut a parts iguals entre les $31$ persones que van a l'excursió, el cost per persona pertanyeria al conjunt $\mathbb{N}$ dels nombres naturals? Justifica la teva resposta sense necessitat de realitzar una divisió amb decimals.

Els pitagòrics estudiaven els nombres poligonals. Observa la seqüència següent de nombres hexagonals i respon:

1. Dibuixa o descriu com seria la figura del quart nombre hexagonal ($H_4$).

2. Quants punts tindrà la figura $H_5$?

3. Sabent que la fórmula per calcular el nombre hexagonal que ocupa la posició $n$ és $H_n = 2n^2 - n$, calcula el valor per a $H_{12}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un desafiament de lògica matemàtica, se't lliura una expressió a la qual li falten parèntesis perquè el resultat sigui correcte. Col·loca els parèntesis necessaris perquè es compleixi la igualtat:

Un cop resolt, explica pas a pas la jerarquia d'operacions que has seguit per arribar al resultat de $23$.

Un nombre natural de quatre xifres compleix les condicions següents:

• És un nombre capicua (es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra).

• La suma de les seves xifres és $24$.

• La xifra de les unitats de miler és el triple que la xifra de les centenes.

Determina raonadament de quin nombre es tracta i representa'l mitjançant la seva descomposició polinòmica.

En una classe de matemàtiques es planteja calcular la suma dels $50$ primers nombres naturals parells no nuls:

Dos estudiants proposen camins diferents per resoldre-ho sense necessitat de sumar un a un els cinquanta termes:

• Mètode d'en Marcos: S'adona que pot aparellar els extrems sumant el primer amb l'últim ($2 + 100 = 102$), el segon amb el penúltim ($4 + 98 = 102$), i així successivament amb totes les parelles possibles.

• Mètode de la Sara: Prefereix extreure el factor comú $2$ de tota l'expressió: $2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 50)$. Després, aplica la fórmula triangular que va aprendre per sumar els $n$ primers nombres naturals, $\frac{n \cdot (n + 1)}{2}$, calculant $2 \cdot \frac{50 \cdot 51}{2}$.

1. a) Aplica ambdós mètodes a una versió reduïda amb només els 4 primers parells ($2 + 4 + 6 + 8$) i comprova que s'arriba a la mateixa solució.
2. b) Analitza i compara ambdós mètodes per al cas original dels $50$ termes: quin dels dos requereix menys passos de càlcul i presenta menys risc d'error? Justifica la teva resposta anomenant les propietats de les operacions a $\mathbb{N}$ que fonamenten cada estratègia.
3. c) Calcula el valor definitiu de la suma $S$ utilitzant el mètode que has defensat en l'apartat anterior.

Durant una posada en comú sobre les característiques del conjunt $\mathbb{N}$, tres estudiants defensen les següents afirmacions:

• Hugo: «Entre el $10$ i el $20$ hi ha infinits nombres naturals, perquè $\mathbb{N}$ és un conjunt infinit i els nombres no s'acaben mai».

• Inés: «Si ens inventem una operació entre nombres naturals definida com a $a \odot b = a \cdot b - (a + b)$, el conjunt $\mathbb{N}$ és tancat respecte a ella perquè només estem multiplicant, sumant i restant».

• Mateo: «El nombre $0$ no hauria de formar part de $\mathbb{N}$ perquè els nombres naturals serveixen per comptar objectes reals, i si tens $0$ objectes no estàs comptant res tangible».

1. a) Refuta l'afirmació de l'Hugo explicant la diferència fonamental entre el fet que $\mathbb{N}$ sigui un conjunt infinit i la propietat que $\mathbb{N}$ sigui un conjunt discret.
2. b) Demostra que l'afirmació de la Inés és falsa mitjançant un contraexemple numèric concret amb dos nombres naturals que facin que el resultat no pertanyi a $\mathbb{N}$, i explica quina propietat de la resta ho provoca.
3. c) Respon a l'argument d'en Mateo explicant quin paper exerceix el zero en el sistema de numeració decimal posicional i per què el currículum actual l'inclou com el primer element de $\mathbb{N}$.