Exercicis: Notació científica

Perquè un nombre estigui correctament expressat en notació científica, ha de tenir una sola xifra diferent de zero abans de la coma decimal.

Indica quins dels nombres següents estan escrits correctament en notació científica:

1. a) $12,5 \cdot 10^4$
2. b) $3,07 \cdot 10^8$
3. c) $0,95 \cdot 10^3$
4. d) $7 \cdot 10^{11}$

La balena blava és l'animal més gran del planeta i pot arribar a pesar uns $180\,000$ quilograms. Escriu aquesta quantitat en notació científica.

Expressa en notació decimal (escrivint totes les seves xifres) les distàncies astronòmiques següents donades en notació científica:

1. a) Distància a la Lluna: $3,84 \cdot 10^5$ km
2. b) Distància al Sol: $1,5 \cdot 10^8$ km

Un influencer famós ha assolit la xifra de $2,4 \cdot 10^6$ seguidors al seu compte principal. Si al compte secundari té $850\,000$ seguidors, quants seguidors té en total? Expressa el resultat final en notació científica.

Completa al teu quadern amb el signe $>$ (més gran que) o $<$ (més petit que) comparant aquests nombres en notació científica:

1. a) $4,2 \cdot 10^5$ ____ $1,8 \cdot 10^6$
2. b) $9,5 \cdot 10^3$ ____ $9,45 \cdot 10^3$
3. c) $3 \cdot 10^7$ ____ $2,99 \cdot 10^7$

Un ordinador fa aproximadament $5 \cdot 10^9$ operacions per segon. Quantes operacions farà en un minut ($60$ segons)? Expressa el resultat en notació científica.

La velocitat de la llum al buit és de $300\,000$ quilòmetres per segon. Si un raig de llum triga $100$ segons a arribar a un objectiu, quina distància ha recorregut? Expressa el resultat utilitzant notació científica.

En una recta numèrica graduada de manera regular es representen els nombres $2$, $3$ i $4$. Cada unitat està dividida en deu parts iguals mitjançant marques secundàries. Identifica quins nombres decimals corresponen als punts marcats amb les lletres $A$ (situat a la cinquena marca entre $2$ i $3$) i $B$ (situat a la cinquena marca entre $3$ i $4$):

La Irene ha de calcular el producte $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$ i donar el resultat final en notació científica. A la seva llibreta ha escrit el desenvolupament següent:

Quan el professor li pregunta com ha obtingut l'últim pas, la Irene raona: «Com que $20$ no és menor que $10$, divideixo la mantissa entre $10$ perquè sigui $2$, i per compensar, resto $1$ a l'exponent, obtenint $10^7$».

1. a) Explica raonadament quin és l'error en la justificació de la Irene sobre la compensació de l'exponent.
2. b) Escriu la correcció completa de l'exercici, justificant què has de fer realment amb l'exponent perquè el valor numèric no s'alteri.

Es consideren dos nombres, $A$ i $B$, expressats en notació científica: $A = 2,5 \cdot 10^n$ i $B = b \cdot 10^4$.

Sabent que el seu producte és exactament $A \cdot B = 10^8$ i que la mantissa $b$ és una xifra sencera positiva ($1 \le b < 10$):

1. a) Raona quin valor ha de tenir obligatòriament la mantissa $b$ perquè, en multiplicar les dues mantisses ($2,5 \cdot b$), el resultat es converteixi en una potència exacta de $10$.
2. b) Un cop fixat aquest valor de $b$, calcula raonadament el valor de l'exponent enter $n$ mostrant els passos de la teva deducció.

Calcula el resultat de la següent expressió combinada, respectant la jerarquia de les operacions i mostrant els passos intermedis:

$3^3 \cdot \sqrt{64} - [4^2 + (12 - 5 \cdot 2) \cdot 7]$

Un streamer famós fa un sorteig de subscripcions cada $14$ dies i un directe especial de preguntes i respostes cada $21$ dies. Si avui dilluns ha coincidit que ha fet totes dues activitats, quants dies han de passar com a mínim perquè torni a fer el sorteig i el directe especial el mateix dia? Quin dia de la setmana serà?

Al club de robòtica de l'institut tenen $54$ sensors d'infrarojos i $72$ servomotors. Volen organitzar el material en caixes iguals amb el màxim nombre de components possible, sense barrejar tipus i sense que en sobri cap.

1. a) Quants components hi haurà a cada caixa?
2. b) Quantes caixes de sensors i quantes de servomotors obtindran?

Redueix a una sola potència utilitzant les propietats de les potències:

1. a) $(2^5 \cdot 2^3)^2 : 2^{10}$
2. b) $\frac{(3^4)^3 \cdot 9^2}{27^3}$ (Pista: expressa primer tots els nombres com a potències de base 3)

La distància mitjana de la Terra al Sol és d'uns $149\,600\,000$ quilòmetres.

1. a) Expressa aquesta quantitat en metres utilitzant la notació científica.
2. b) Indica quin és l'ordre de magnitud d'aquesta distància expressada en metres.

Escriu en notació decimal (forma estesa) les dades científiques següents extretes d'una revista de tecnologia:

1. a) El nombre de transistors en un microprocessador avançat és de $4,5 \cdot 10^9$.
2. b) La velocitat de transferència d'un cable de fibra òptica és de $2,4 \cdot 10^7$ bits per segon.
3. c) La capacitat d'emmagatzematge d'un servidor és de $1,25 \cdot 10^{12}$ bytes.

Un glòbul vermell té un diàmetre aproximat de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metres. Si poguéssim col·locar en fila $100$ milions de glòbuls vermells l'un al costat de l'altre, quina longitud total aconseguirien? Expressa el resultat final en notació científica i en quilòmetres.

Considera el nombre $N = 3 \cdot 10^a$. Si sabem que el quadrat d'aquest nombre és $90\,000$:

1. a) Troba el valor de l'exponent $a$.
2. b) Escriu el nombre $N$ en notació decimal.
3. c) És $N$ un quadrat perfecte? Justifica la teva resposta calculant la seva arrel quadrada.

Segons dades publicades per l'Institut Nacional d'Estadística (INE), la població resident a Espanya és d'aproximadament $4,8 \cdot 10^7$ persones. En un any complet, el conjunt de les llars i municipis espanyols genera al voltant de $2,4 \cdot 10^7$ tones mètriques de residus urbans.

1. a) Sabent que $1\text{ tona} = 10^3\text{ kg}$, escriu en notació científica la quantitat total de residus generats a l'any en quilograms.
2. b) Calcula la quantitat mitjana de residus que genera un habitant espanyol en un any (en $\text{kg/habitant}$). Expressa l'operació i el resultat en notació científica.
3. c) Prenent l'any amb $365$ dies, calcula quants grams d'escombraries produeix diàriament una persona de mitjana a Espanya. Escriu el resultat final en notació decimal estàndard i interpreta si el resultat obtingut és coherent amb la realitat.

Un equip d'investigació ambiental pren una mostra de sediment als aiguamolls del Parc Nacional de Doñana. L'anàlisi microscòpica determina que hi ha una concentració mitjana de $3,8 \cdot 10^8$ microorganismes per cada gram de sòl. La massa total de la mostra recollida és de $4,2 \cdot 10^2\text{ grams}$.

1. a) Estima: Sense utilitzar la calculadora ni fer operacions detallades sobre el paper, arrodoneix les mantisses a les unitats més properes i dedueix mentalment l'ordre de magnitud (l'exponent de la potència de $10$) que tindrà el total de microorganismes a la mostra. Explica breument com ho has raonat.
2. b) Calcula: Fes la multiplicació amb tots els seus passos aplicant les propietats de la notació científica i expressa el resultat amb la mantissa adequada.
3. c) Comprova: Compara la teva estimació inicial amb el resultat exacte obtingut. Ha coincidit l'ordre de magnitud? Justifica per què fer una estimació prèvia ajuda a detectar errors de càlcul.

Al cos d'un adolescent hi ha aproximadament $2,5 \cdot 10^{13}$ glòbuls vermells. Si cadascun d'aquests glòbuls té un diàmetre de només $7 \cdot 10^{-6}$ metres, imagina que poguessis col·locar-los tots en fila, l'un rere l'altre, formant una cadena llarguíssima.

Calcula la longitud total d'aquesta cadena en quilòmetres i expressa el resultat en notació científica. Quantes vegades podria fer la volta a la Terra aquesta cadena si la circumferència de l'equador mesura, aproximadament, $4 \cdot 10^4$ km?

La distància mitjana de la Terra al Sol és de $1,496 \cdot 10^8$ km, mentre que la distància mitjana de Mart al Sol és de $2,279 \cdot 10^8$ km. En un moment donat, els tres astres es troben perfectament alineats, amb la Terra situada entre el Sol i Mart.

Calcula la distància que separa la Terra de Mart en aquell instant. Expressa el resultat en notació científica i en metres.

Un servidor d'una xarxa social popular de vídeos rep cada segon una mitjana de $4,5 \cdot 10^5$ megabytes (MB) d'informació.

1. a) Quants gigabytes (GB) d'informació rep el servidor en una hora? (Recorda que $1$ GB = $10^3$ MB).
2. b) Si el servidor té una capacitat total d'emmagatzematge de $1,2 \cdot 10^9$ GB, quants dies trigaria a omplir-se per complet si no s'esborrés cap dada? Expressa el resultat final arrodonint a les unitats.

En química, es sap que un mol de qualsevol substància conté $6,022 \cdot 10^{23}$ molècules (Nombre d'Avogadro). Si tenim un dipòsit que conté $2,5 \cdot 10^2$ mols d'aigua i sabem que la massa d'una sola molècula d'aigua és, aproximadament, $3 \cdot 10^{-23}$ grams:

1. a) Calcula el nombre total de molècules d'aigua al dipòsit.
2. b) Calcula la massa total de l'aigua al dipòsit en quilograms. Expressa tots dos resultats en notació científica.

La llum viatja a una velocitat constant de $3 \cdot 10^8$ metres per segon. Un processador d'última generació fa una operació bàsica cada $0,5$ nanosegons (un nanosegon és $10^{-9}$ segons).

Quina distància recorre la llum en el temps exacte que el processador triga a fer una sola operació? Expressa el resultat en mil·límetres i en notació científica.

Una central elèctrica produeix anualment $2,8 \cdot 10^{10}$ quilowatts-hora (kWh). En una ciutat, hi ha $5 \cdot 10^5$ llars, i cada llar consumeix de mitjana $3,5 \cdot 10^3$ kWh a l'any.

Calcula quanta energia sobra després d'abastir tota la ciutat. Expressa el resultat en notació científica i reflexiona: podria aquesta energia sobrant abastir una altra ciutat de $2 \cdot 10^5$ llars amb el mateix consum mitjà? Justifica la teva resposta fent els càlculs necessaris.

Si estiréssim tot l'ADN d'una sola cèl·lula humana, mesuraria aproximadament $2 \cdot 10^0$ metres (és a dir, 2 metres). El cos humà té al voltant de $3,7 \cdot 10^{13}$ cèl·lules.

1. a) Quina seria la longitud total de tot l'ADN d'una persona si el poguéssim unir? Expressa-ho en quilòmetres i notació científica.
2. b) Sabent que la distància de la Terra a la Lluna és de $3,84 \cdot 10^5$ km, quantes vegades podríem anar i tornar a la Lluna amb tot aquest ADN?

Ordena de menor a major els valors següents, però abans de fer-ho, expressa'ls tots com un nombre decimal "normal" (notació estàndard) per comparar la teva precisió:

• $A = 345 \cdot 10^6$

• $B = 0,034 \cdot 10^{10}$

• $C = 3,5 \cdot 10^8$

• $D = 3,400 \cdot 10^5$

Un cop ordenats, realitza la següent operació i expressa el resultat final en notació científica: $\frac{A + C}{D}$. (Nota: Vinga molt de compte amb els exponents en sumar).

En una classe de 2n d'ESO es planteja calcular el resultat de la resta següent: $R = 3,2 \cdot 10^{14} - 7,5 \cdot 10^{11}$. Dos estudiants defensen estratègies diferents:

• El Sergio diu: «Jo prefereixo escriure tots dos nombres amb totes les seves xifres i zeros en el sistema decimal tradicional, posar-ne un sota de l'altre, restar i després tornar a passar el resultat a notació científica».

• La Lucía replica: «Això és molt arriscat. És molt millor igualar els exponents en notació científica transformant un dels termes per poder treure factor comú la potència de $10$ i restar només les mantisses».

1. a) Analitza els inconvenients i riscos de càlcul que presenta el mètode del Sergio en aquest cas concret, indicant quants zeros hauria d'escriure per a cada nombre.
2. b) Aplica el mètode de la Lucía pas a pas: iguala els exponents al més gran ($10^{14}$), efectua la resta i proporciona la solució en notació científica correcta.
3. c) Descriu en quina situació particular d'una suma o resta sí que resultaria raonable aplicar el mètode del Sergio i posa un exemple numèric amb potències de $10$ que ho justifiqui.

En un observatori astronòmic s'analitzen dos cossos celestes, $X$ i $Y$, les masses estimades dels quals vénen donades per $M_X = 4,8 \cdot 10^k\text{ kg}$ i $M_Y = 1,6 \cdot 10^{k-2}\text{ kg}$, on $k$ és un nombre enter positiu del qual se sap que és més gran que $5$.

1. a) Sense conèixer el valor numèric concret de $k$, calcula quantes vegades és més massiu el cos $X$ que el cos $Y$. Justifica detalladament per què el resultat obtingut és independent del valor de $k$.
2. b) Si tots dos cossos col·lidissin i quedessin fusionats formant un únic objecte de massa $M_T = M_X + M_Y$, calcula aquesta massa combinada expressada en notació científica en funció de $k$ (amb la seva mantissa correctament compresa entre $1$ i $10$).
3. c) Si els astrònoms afirmen que la massa combinada $M_T$ és estrictament menor que $10^{19}\text{ kg}$, esbrina quin és el valor enter més gran possible que pot prendre l'exponent $k$. Raona la teva deducció utilitzant una desigualtat.