Exercicis: Estudi de les rectes

Un grup d'amics està dissenyant un nou logotip per al seu club de videojocs en un paper quadriculat. Escriu les coordenades dels punts destacats a la gràfica que formen els vèrtexs del disseny.

Perquè una gràfica representi una funció, a cada valor de la variable independent $x$ li ha de correspondre un únic valor de la variable dependent $y$. Observa les gràfiques següents i indica raonadament quina d'elles no és una funció. Per raonar-ho, imagina rectes verticals que recorren cada gràfica i fixa't en quants punts la tallen.

Un nou servei de streaming de música ofereix una subscripció que costa $3 \text{ €}$ per cada mes contractat.

• a) Completa la taula de valors següent que relaciona el temps en mesos ($x$) amb el cost total ($y$):

Mesos ($x$)	1	2	3	4	5
Cost (€) ($y$)	$3$

• b) Escriu l'equació de la funció de proporcionalitat directa que representa aquesta situació.

Donada la funció lineal $y = -2x$, indica raonadament:

• a) Quin és el valor del seu pendent ($m$)?

• b) La funció és creixent o decreixent?

• c) Passa la gràfica per l'origen de coordenades $(0, 0)$?

Troba el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$) de la recta representada en la gràfica següent. A continuació, escriu la seva equació de la forma $y = mx + n$.

Un aparcament per a bicicletes al centre de la ciutat cobra una tarifa fixa de $2 \text{ €}$ al dia, sense importar quantes hores deixis la bicicleta estacionada.

• a) Representa aquesta situació mitjançant una taula de valors (hores vs. cost).

• b) Quin tipus de funció és: lineal, afí o constant?

• c) Quina en seria l'equació?

El lloguer d'un patinet elèctric té un cost de $1 \text{ €}$ pel desbloqueig inicial i $0,5 \text{ €}$ per cada minut d'ús. La funció que relaciona el cost ($y$) amb el temps en minuts ($x$) és $y = 0,5x + 1$.

Calcula quant costarà un viatge que duri $10$ minuts.

Observa la gràfica següent que mostra el recorregut d'una persona que camina a velocitat constant. Indica si la relació entre la distància recorreguda i el temps és de proporcionalitat directa i calcula la seva constant de proporcionalitat (el pendent).

Dues empreses de lloguer de patinets elèctrics tenen tarifes diferents. L'empresa EcoRolling cobra $0,20\ €$ per cada minut d'ús sense quota fixa. L'empresa FastGlide cobra una quota fixa de $2\ €$ per desbloquejar el patinet i després $0,10\ €$ per cada minut. A la gràfica es representen les dues tarifes.

1. a) Escriu la funció que relaciona el cost total ($y$) amb el temps d'ús en minuts ($x$) per a cadascuna de les empreses.

1. b) Indica quina de les dues és una funció de proporcionalitat directa (lineal) i quina és una funció afí.

1. c) A partir de quants minuts de trajecte comença a ser més barata l'opció de FastGlide?

Observa la gràfica d'una funció afí. Cada quadrat de la quadrícula mesura 1 unitat a cada eix.

Realitza els passos següents:

1. a) Identifica visualment l'ordenada a l'origen ($n$), és a dir, el valor de $y$ al punt on la recta talla l'eix vertical.

1. b) Calcula el pendent ($m$) utilitzant dos punts de la recta que estiguin exactament sobre creus de la quadrícula (els punts marcats en taronja et poden servir).

1. c) Escriu l'equació explícita de la recta de la forma $y = mx + n$.

Troba l'equació de la recta que passa pels punts $A(-2, 5)$ i $B(4, -7)$. Per fer-ho:

1. Calcula primer el pendent $m$ mitjançant la fórmula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

2. Substitueix el pendent i un dels punts en l'equació $y = mx + n$ per trobar el valor de $n$.

3. Escriu l'equació final i digues si la funció és creixent o decreixent justificant la teva resposta segons el valor del pendent.

Un dron es troba inicialment a una altura de $40$ metres. En prémer el botó de "retorn a la base", el dron comença a descendir de forma constant a una velocitat de $4$ metres per segon. La figura mostra només el començament del descens.

1. a) Defineix les variables independent i dependent d'aquest problema.

1. b) Escriu l'equació de la funció que relaciona l'altura del dron ($y$) amb el temps transcorregut ($x$) des que es va prémer el botó.

1. c) Quina és l'altura del dron després de $6$ segons? Quant de temps tarda a aterrar totalment (altura $0$)?

Determina l'equació de la recta que compleix les dues condicions següents:

• És paral·lela a la recta $y = -3x + 5$.

• Passa pel punt $P(0, 4)$.

Explica quina característica han de compartir dues rectes per ser paral·leles i com has utilitzat el punt $P$ per trobar l'ordenada a l'origen.

Associa cadascuna de les equacions de rectes següents amb la seva descripció corresponent:

1. $y = 3$

2. $x = -2$

3. $y = 3x$

4. $y = -x + 3$

A) Recta que passa per l'origen i té pendent positiu.

B) Funció constant que representa una línia horitzontal.

C) Recta amb pendent negatiu i ordenada a l'origen igual a $3$.

D) Línia vertical que no representa una funció.

Kenia està estalviant diners en una guardiola. Inicialment té $15\ €$ i cada setmana decideix ficar-hi $2,50\ €$ de la seva paga.

1. a) Completa la taula de valors següent:

Setmanes ($x$)	$0$	$1$	$2$	$4$	$10$
Diners estalviats ($y$)	$15$

1. b) Escriu l'equació de la funció.
2. c) Si Kenia es vol comprar un videojoc que costa $55\ €$, quantes setmanes haurà d'esperar segons aquesta funció?

Dibuixa en uns mateixos eixos de coordenades les gràfiques de les funcions $y = 2x - 1$ i $y = 2x + 3$.

1. a) Quina relació geomètrica observes entre les dues rectes?

1. b) Justifica la teva resposta anterior comparant les seves equacions.

1. c) Es tallaran en algun punt aquestes dues rectes? Raona la teva resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un creador de contingut digital ha analitzat el creixement dels seus seguidors. Durant el primer mes, el seu creixement va seguir una funció lineal que passava pels punts $A(2, 500)$ i $B(5, 1250)$, on $x$ és el dia del mes i $y$ el nombre de seguidors. Tanmateix, a partir del dia 15, a causa d'un vídeo viral, el seu creixement va passar a ser una altra funció lineal paral·lela a l'anterior però que el dia $x = 16$ ja aconseguia els $5000$ seguidors.

a) Troba l'equació de la funció lineal del primer tram (dies 1 al 15).

b) Troba l'equació de la nova funció a partir del dia 15.

c) Quants seguidors tenia el dia 20 segons aquesta segona funció?

En una competició de drons, el "Dron A" segueix una trajectòria rectilínia representada per la funció $y = \frac{3}{2}x + 2$. Es vol llançar un "Dron B" la trajectòria del qual sigui una línia recta paral·lela a la del "Dron A", però que passi obligatòriament pel punt on es troba una balisa situada en les coordenades $P(-4, -1)$.

a) Determina l'equació de la funció afí que descriu la trajectòria del "Dron B".

b) En quin punt tallarà la trajectòria del "Dron B" l'eix d'ordenades (eix $Y$)?

c) Representa gràficament totes dues trajectòries i indica si alguna d'elles és una funció de proporcionalitat directa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues companyies de fibra òptica ofereixen les tarifes mensuals següents:

• NetRápido: $20$ € fixos al mes més $0,50$ € per cada GB de descàrrega extra.

• FibraTotal: Sense cost fix, però cobra $1,30$ € per cada GB de descàrrega.

a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el cost mensual ($y$) amb els GB extra ($x$) per a cada companyia.

b) A partir de quants GB de descàrrega extra comença a ser més rendible la companyia NetRápido? (Troba el punt de tall de totes dues rectes).

c) Si un mes consumes $30$ GB extra, quina és la diferència de preu entre l'una i l'altra?

Troba l'equació de la recta $r$ que compleix les condicions següents simultàniament:

1. És decreixent.

2. El seu pendent és el doble (en valor absolut) del pendent de la recta que passa pels punts $C(0, 1)$ i $D(2, 2)$.

3. Passa pel punt d'intersecció de les rectes $y = 2x - 5$ i $y = 3$.

a) Calcula primer el pendent de la recta que passa per $C$ i $D$.

b) Determina el punt d'intersecció esmentat al punt 3.

c) Escriu l'equació final de la recta $r$.

La bateria d'un ordinador portàtil es descarrega de manera lineal. A les 10:00 del matí, la bateria estava al $90\%$. A les 12:30 del matí, el nivell havia baixat al $45\%$.

a) Si anomenem $x$ el temps transcorregut en hores des de les 10:00, troba l'equació de la funció que ens dóna el percentatge de bateria restant.

b) Quin és el pendent de la funció? Explica el seu significat en aquest context realista.

c) A quina hora exacta s'esgotarà la bateria per complet si el consum continua sent el mateix?

Es sap que una funció afí té com a representació gràfica una recta que passa pel punt $A(3, -2)$. A més, sabem que aquesta recta forma un triangle amb els eixos de coordenades que té una àrea de $4$ unitats quadrades, i la seva ordenada a l'origen és un nombre enter positiu.

a) Determina el valor de l'ordenada a l'origen ($n$).

b) Calcula el pendent ($m$) de la recta.

c) Escriu l'equació de la recta i comprova que el punt $A$ hi pertany.

Donades les funcions $f(x) = ax + 3$ i $g(x) = -2x + b$:

a) Si totes dues rectes són paral·leles i la recta $g(x)$ passa pel punt $P(1, 4)$, calcula els valors de $a$ i $b$.

b) Un cop trobats $a$ i $b$, calcula el punt on la recta $f(x)$ tallarà l'eix d'abscisses (eix $X$).

c) És alguna d'aquestes funcions una funció constant? Justifica la teva resposta.

Un dipòsit d'aigua de $1000$ litres té una fuita. Cada hora que passa, el volum d'aigua disminueix en una quantitat constant. A les $3$ hores de detectar la fuita, queden $850$ litres.

a) Troba l'equació de la funció afí que relaciona el temps transcorregut ($x$) amb el volum d'aigua al dipòsit ($y$).

b) Si no es repara la fuita, quanta aigua quedarà a les $10$ hores?

c) Representa la funció sobre uns eixos com els de la figura i indica el domini i el recorregut de la funció tenint en compte el context físic del problema (el temps no pot ser negatiu i el volum no pot ser menor que zero).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.