Exercicis: Gràfica d'una funció

En el mapa de coordenades següent, s'han marcat els punts on es troben diversos objectes en un videojoc d'aventures. Indica les coordenades cartesianes de cadascun dels elements: el Cofre ($C$), la Clau ($L$), la Poció ($P$) i l'Escut ($E$).

Perquè una gràfica representi una funció, a cada valor de la variable independent $x$ li ha de correspondre un únic valor de la variable dependent $y$. Observa les gràfiques següents i justifica quina d'elles no és una funció.

Una plataforma de streaming cobra una quota fixa de $5\ €$ al mes més $2\ €$ per cada pel·lícula d'estrena que lloguis.

1. a) Indica quina és la variable independent i quina la dependent.
2. b) Si anomenem $x$ al nombre de pel·lícules i $y$ al cost total, completa la taula de valors següent:

Pel·lícules ($x$)	0	1	2	3
Cost ($y$)

Representa en un sistema d'eixos coordenats els punts de la taula següent, que relaciona el temps transcorregut (en segons) i la distància recorreguda (en metres) per un patinet elèctric que circula a velocitat constant. Té sentit unir els punts amb una línia contínua?

Temps ($s$)	1	2	3	4	5
Distància ($m$)	4	8	12	16	20

La gràfica següent mostra la temperatura d'un pot de refresc des que es treu de la nevera i es deixa sobre la taula de la cuina.

1. a) Quina temperatura tenia el refresc en el moment de treure'l ($t = 0$)?
2. b) Quina temperatura té al cap de $20$ minuts?
3. c) La funció és creixent o decreixent? Què significa això en el context del problema?

Un dron se n'enlaira des de terra, puja fins a una alçària determinada, es manté estable per fer unes fotos i després descendeix fins a aterrar de nou. Observa la gràfica i respon:

1. a) A quina altura màxima va arribar el dron?
2. b) Quant de temps va estar el dron volant a aquesta altura màxima?
3. c) En quin interval de temps el dron estava descendint?

Decideix si les funcions següents són contínues o discontínues justificant breument la teva resposta:

1. a) La profunditat d'una piscina segons la distància a la qual ens trobem de la vora (suposant que el fons té rampa).
2. b) El nombre d'assistents a un concert de música segons l'hora del dia.
3. c) El cost d'una trucada telefònica que es factura per minuts complets començats.

Observa la gràfica que representa la velocitat d'un ciclista durant els primers $10$ minuts del seu entrenament.

1. a) Identifica els intervals de temps en què la funció és creixent, decreixent o constant.
2. b) Quina va ser la velocitat màxima assolida?
3. c) En quin minut va començar a frenar fins a aturar-se?

La gràfica següent mostra l'evolució de la bateria del telèfon mòbil de la Lucía des que surt de casa al matí fins que hi torna a la tarda. Observa la gràfica i respon a les preguntes següents:

1. a) Quin percentatge de bateria tenia en sortir de casa? I a les 6 hores d'haver sortit?

1. b) Indica els intervals de temps en què la funció és creixent i explica què creus que ha passat en aquest període.

1. c) En quin moment assoleix per primera vegada el seu valor mínim i durant quant de temps es manté en aquest valor?

1. d) Quin és el valor màxim i el valor mínim que assoleix la funció?

Analitza les tres gràfiques següents. Indica raonadament quina d'elles no representa una funció i explica per què basant-te en la definició de funció que has estudiat.

La funció $f(t)$ representa la profunditat (en metres) a la qual es troba un dron submarí d'exploració en funció del temps (en minuts) des que se submergeix. El seu gràfic és el següent:

1. a) Determina el domini i el recorregut de la funció a partir del gràfic.

1. b) Durant quant de temps va estar el dron a una profunditat constant de $4$ metres?

1. c) En quins instants de temps es troba el dron a $2$ metres de profunditat?

Un tècnic de so mesura el nivell de soroll (en decibels, dB) durant l'assaig d'un grup de música. La gràfica mostra els nivells registrats en un període de $10$ minuts.

1. a) Indica els intervals de temps en què el soroll augmenta (funció creixent).
2. b) Senyala els màxims relatius i els mínims relatius de la funció. Què signifiquen aquests punts en el context de l'assaig?
3. c) Es tracta d'una funció contínua? Justifica la teva resposta.

La trajectòria d'una pilota de bàsquet en ser llançada ve donada per la gràfica d'una funció que relaciona l'alçària (en metres) amb la distància horitzontal des del jugador (en metres).

1. a) Troba els punts de tall de la funció amb els eixos $X$ i $Y$.
2. b) Quina alçària té la pilota en el moment del llançament ($x=0$)?
3. c) Si la cistella està situada a una alçària de $3$ metres, a quina distància horitzontal del jugador es troba la cistella si la pilota entra just en aquest punt?

Un videoclub en línia ofereix una tarifa de lloguer de pel·lícules en què els tres primers dies costen $4$ € en total, i a partir del quart dia el preu puja $1,5$ € per cada dia addicional de retard.

1. a) Completa la taula de valors següent:

Dies ($x$)	1	2	3	4	5	6
Preu ($y$)

1. b) Representa gràficament la funció.
2. c) És una funció contínua o discontínua? Explica si té sentit unir els punts de la gràfica amb una línia contínua en aquest context real.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos amics, Marcos i Elena, estan estalviant per comprar-se una consola. La gràfica mostra els diners que té cadascun al final de cada setmana.

1. a) Qui va començar amb més diners estalviats?
2. b) En quina setmana igualen els seus estalvis? Quants diners tenen en aquest moment?
3. c) Indica en quins períodes Elena estalvia més ràpidament que Marcos (on la seva gràfica sigui més "costeruda").
4. d) Quin és el domini de totes dues funcions segons la gràfica?

S'escalfa un recipient amb aigua i es registra la seva temperatura cada minut. En arribar als $100^{\circ}C$, el foc es manté constant durant $3$ minuts i després s'apaga, deixant que l'aigua es refredi lentament.

1. a) Dibuixa una gràfica qualitativa que representi aquesta situació (temps a l'eix $X$, temperatura a l'eix $Y$).

1. b) A la teva gràfica, identifica la zona de creixement, la zona de funció constant i la zona de decreixement.

1. c) Si la temperatura ambient és de $20^{\circ}C$, a quin valor tendirà la temperatura de l'aigua quan passi molt de temps?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un creador de contingut de Twitch analitza l'evolució dels seus subscriptors durant un esdeveniment especial de 10 hores. La funció que descriu el nombre de subscriptors $S$ en funció del temps $t$ (en hores) segueix aquest comportament:

• Durant les 2 primeres hores, el creixement és constant i lineal, passant de 100 a 500 subscriptors.

• Entre l'hora 2 i l'hora 5, el nombre de subscriptors es manté estable.

• A partir de l'hora 5, a causa d'un "raid" d'un altre canal, els subscriptors augmenten seguint l'expressió $S(t) = 100t$ fins a l'hora 8.

• En les últimes 2 hores, el canal perd subscriptors de manera constant fins a acabar amb 600.

Representa la gràfica de la funció (posa el temps $t$ a l'eix horitzontal, de 0 a 10 hores, i el nombre de subscriptors $S$ a l'eix vertical), determina el domini i el recorregut en aquest context, i identifica els intervals de creixement i decreixement.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics ofereix una tarifa per a turistes. El cost $y$ en euros depèn del temps $x$ en minuts. La gràfica de la funció és discontínua perquè l'empresa cobra per trams de 30 minuts complets o fracció. Cada temps $x$ pertany a un únic tram, i l'extrem dret de cada tram hi està inclòs:

• Si $0 < x \le 30$ minuts: 5 € (tarifa plana de desbloqueig i ús inicial).

• Si $30 < x \le 60$ minuts: 8 €.

• Si $60 < x \le 90$ minuts: 11 €.

• I així successivament, pujant 3 € a cada tram, fins a un màxim de 3 hores (180 min).

Per exemple, 30 minuts exactes costen 5 €, però 31 minuts costen 8 €.

1. a) Dibuixa la gràfica "escalonada" de la funció per a $0 < x \le 180$. Utilitza punts tancats i oberts als salts per indicar quin valor es pren a cada extrem.

1. b) Indica els valors de $x$ en què la gràfica és discontínua.

1. c) Calcula quant pagaria una persona que utilitza el patinet durant 105 minuts.

1. d) Aquesta relació és una funció? Justifica si a un valor de temps li poden correspondre dos preus diferents.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un dron de vigilància fa un vol de reconeixement. La gràfica mostra la seva alçària $h$ (en metres) respecte al temps $t$ (en minuts). El dron se n'enlaira, puja fins a 40 m, es desplaça horitzontalment durant un temps, torna a pujar fins a 60 m per evitar un obstacle, baixa ràpidament a 20 m per observar una cosa en detall i finalment aterra.

A partir de la gràfica que tu mateix has d'esboçar amb aquestes dades:

1. a) Quina és la taxa de variació (pendent) en el tram de descens ràpid si aquest té lloc entre el minut 10 i el 12?
2. b) Indica l'interval de temps on la funció és constant.
3. c) Si el dron té una autonomia de 15 minuts, quin és el domini real de la funció si l'aterratge acaba just en aquest límit?

S'estudia la temperatura d'una reacció química en un laboratori. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) segueix la funció $T(x) = |x - 5| + 10$, on $x$ és el temps en minuts des que s'afegeix un reactiu.

1. a) Construeix una taula de valors per a $x$ des de 0 fins a 10 minuts.
2. b) Representa la gràfica. Veuràs que té forma de "V".
3. c) En quin minut s'assoleix la temperatura mínima? Quin és aquest valor?
4. d) Determina l'interval on la funció és decreixent i explica què significa físicament en l'experiment.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La gràfica següent representa la distància a la qual es troba un corredor d'obstacles respecte a la línia de meta durant una cursa de 400 metres.

Analitza la gràfica i respon:

1. a) En quins moments el corredor s'atura o cau? Com es reflecteix això a la gràfica?
2. b) La velocitat del corredor és constant durant tota la cursa? Compara els pendents dels trams rectes.
3. c) Quin és el significat del punt de tall amb l'eix $Y$ i el punt de tall amb l'eix $X$?

Un dipòsit cilíndric de 1000 litres s'omple amb una mànega que aporta un cabal constant de 50 litres per minut. Tanmateix, el dipòsit té una fuita a la base que perd 10 litres per minut.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el volum d'aigua $V$ (en litres) amb el temps $t$ (en minuts), suposant que al començament hi ha 100 litres.
2. b) Representa la gràfica. Quin tipus de funció és (lineal o afí)?
3. c) Quant de temps trigarà a omplir-se completament? Indica aquest valor com el límit del domini de la funció en aquesta situació pràctica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa les quatre gràfiques següents. Una d'elles representa l'alçada d'una pilota que es deixa caure des d'una certa alçada i rebota al terra, una altra l'omplerta amb aigua, a cabal constant, d'un got amb forma de con (amb el vèrtex a baix), una altra la velocitat d'un cotxe que frena davant d'un semàfor fins a aturar-se, i l'última no és una funció. En les situacions reals, $x$ és el temps.

1. a) Identifica cadascuna raonant la teva resposta basant-te en la forma de la corba (creixement, curvatura, continuïtat).

1. b) Explica per què una de les gràfiques no pot ser considerada una funció.

Dos germans, Iratxe i Ionut, surten de casa per anar a l'institut que està a 1 km.

• Ionut surt a les 8:00 i camina a velocitat constant, i triga 20 minuts a arribar-hi.

• Iratxe surt 5 minuts més tard, corre durant els primers 500 metres (triga 4 minuts) i després camina la resta a la mateixa velocitat que Ionut.

1. a) Representa en una mateixa gràfica la distància a casa de tots dos en funció del temps transcorregut des de les 8:00.
2. b) A quina hora i a quina distància de casa avança Iratxe a Ionut? Troba el punt d'intersecció de les dues gràfiques.
3. c) Qui arriba primer a l'institut i per quina diferència de temps?