Exercicis: Concepte de funció

En un videojoc d'estratègia, la posició dels recursos s'indica mitjançant coordenades en un pla cartesià. Observa el mapa i escriu les coordenades dels tres cofres del tresor que hi apareixen representats:

Escriu les coordenades de cada cofre de la forma $(x, y)$.

Per llogar un patinet elèctric, una empresa cobra $1,50$ € pel desbloqueig inicial i $0,20$ € per cada minut d'ús. Volem analitzar la relació entre el temps d'ús i el cost total del lloguer.

Identifica les variables d'aquesta relació:

• Variable independent ($x$): ________

• Variable dependent ($y$): ________

Una de les regles d'or per saber si una gràfica representa una funció és comprovar que per a cada valor de la variable independent $x$ existeix un únic valor de la variable dependent $y$. Indica quina de les gràfiques següents NO és una funció i justifica breument la teua resposta.

Completa la taula de valors següent sabent que la funció associa a cada nombre natural el seu triple menys una unitat. És a dir, l'expressió algebraica és $y = 3x - 1$.

Variable independent ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Variable dependent ($y$)	$2$

Indica si les situacions següents representen una funció contínua o una funció discreta:

1. a) El nombre de persones que entren en un cinema segons la pel·lícula que es projecta.
2. b) L'altura d'un globus aerostàtic a mesura que passen els minuts des del seu enlairament.
3. c) El preu d'una bossa de taronges segons el seu pes en quilograms.
4. d) El nombre de seguidors a Instagram d'un creador de contingut dia rere dia.

Observa el diagrama de correspondència següent (Diagrama de Venn) que relaciona un grup d'amics amb el seu color favorit de samarreta. Representa aquesta relació una funció? Explica per què.

La Lucía està controlant la bateria del seu mòbil durant el matí. En despertar-se a les $08:00$ tenia el $100\%$. Cada hora que passa, la bateria disminueix un $8\%$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona les hores transcorregudes ($x$) amb el percentatge de bateria restant ($y$).
2. b) Quin percentatge de bateria tindrà la Lucía a les $12:00$ del matí (després de $4$ hores d'ús)?

Donada la funció $f(x) = x^2 - 3$, calcula el valor de la variable dependent per als valors següents de $x$:

1. a) Si $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Si $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Si $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Si $x = 10 \rightarrow y = $

Observa detingudament les tres gràfiques següents representades en el pla cartesià. Utilitza el criteri de la recta vertical (imagina rectes verticals que recorren cada gràfica i compta en quants punts la tallen) per identificar quina o quines representen una funció i justifica detalladament la teva resposta en cada cas.

En un campionat de videojocs, es vol establir una relació entre els jugadors i els personatges que trien. Analitza les dues situacions següents i determina quina d'elles defineix una funció:

• Situació 1: A cada jugador se li assigna el nom de l'únic personatge que ha utilitzat durant tot el torneig.

• Situació 2: A cada personatge se li assignen els noms de tots els jugadors que l'han triat en alguna partida.

Dibuixa un diagrama de fletxes (diagrama de Venn) per a la Situació 1 fent servir aquestes dades: Jugadors $\{Ainhoa, Marc, Leo\}$ i Personatges $\{Guerrero, Maga\}$. L'Ainhoa i en Marc van triar el Guerrer, i en Leo va triar la Maga.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un patinet elèctric té una bateria que es descarrega de manera constant. En sortir de casa, la bateria està al $100\%$. Per cada quilòmetre recorregut, la bateria disminueix un $5\%$.

1. a) Identifica la variable independent i la variable dependent, indicant en quina unitat es mesura cadascuna.
2. b) Escriu l'expressió algebraica (fórmula) de la funció que relaciona els quilòmetres recorreguts ($x$) amb el percentatge de bateria restant ($y$).
3. c) És possible que el valor de $x$ sigui $25$? Raona si aquest valor pertany al domini de la funció en aquest context real.

La gràfica següent mostra la distància a la qual es troba un dron de missatgeria respecte a la seva base logística durant un trajecte d'anada i tornada de 10 minuts.

A partir de la gràfica, indica:

1. a) El domini i el recorregut de la funció.
2. b) Durant quant de temps va estar el dron parat lliurant el paquet? A quina distància de la base es trobava en aquell moment?
3. c) En quin interval de temps el dron va estar tornant a la base?

Completa la taula de valors següent per a la funció $y = x^2 - 3$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Una vegada completada, respon:

1. a) Hi ha valors de $x$ diferents que tinguin la mateixa imatge ($y$)? Impedeix això que sigui una funció?
2. b) Representa els punts obtinguts en un eix de coordenades. Quina forma sembla tenir la gràfica?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estem omplint un dipòsit d'aigua amb forma cilíndrica mitjançant una aixeta que aboca un cabal constant de $4$ litres per minut. Al començament, el dipòsit està buit i té una capacitat total de $20$ litres.

1. a) Indica si la funció que relaciona el temps transcorregut amb el volum d'aigua és contínua o discreta. Explica per què.

1. b) Quin és el domini d'aquesta funció tenint en compte que l'aixeta es tanca quan el dipòsit s'omple?

1. c) Dibuixa un esbós de la gràfica que representi aquesta situació, amb el temps $t$ (en minuts) a l'eix horitzontal i el volum $V$ (en litres) a l'eix vertical.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció definida per la gràfica següent que representa el cost d'una subscripció mensual a una plataforma de música en funció dels mesos contractats:

1. a) És correcte unir els punts amb una línia contínua? Justifica si la variable independent és discreta o contínua.
2. b) Si el punt $(1, 10)$ pertany a la funció, què significa aquesta dada en el context del problema?
3. c) Determina la imatge de $x=3$ observant la tendència dels punts.

Indica quines de les relacions següents no són funcions i explica el motiu basant-te en la definició de funció:

1. A cada persona de la teva classe li assignem la seva data de naixement.

2. A cada nombre natural li assignem els seus divisors.

3. A cada nombre real li assignem la seva arrel quadrada positiva.

4. A cada mare li assignem el nom dels seus fills.

5. A cada producte d'una botiga li assignem el seu preu en euros.

Analitza detingudament la representació gràfica següent que mostra la relació entre dues magnituds. Determina, raonant la teva resposta basant-te en la definició de funció, si aquesta gràfica representa una funció o una relació no funcional. Indica a més quin seria el valor (o els valors) de la variable dependent $y$ quan la variable independent $x$ és igual a $2$.

Una empresa de missatgeria amb drons cobra una tarifa base de $5\ €$ pel servei. A més, el cost per distància es divideix en trams: els primers $2\ km$ són gratuïts, però a partir d'aquí, cada quilòmetre o fracció de quilòmetre addicional costa $2\ €$ (és a dir, si recorre $2,1\ km$ es cobra com si fossin $3\ km$).

1. a) Explica per què aquesta situació representa una funció discontínua.
2. b) Identifica la variable independent i la dependent.
3. c) Representa gràficament el cost del servei per a distàncies entre $0$ i $5\ km$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es defineix una relació entre dos conjunts de nombres de la manera següent: "A cada nombre enter $x$ li correspon la seva arrel quadrada".

1. a) És aquesta relació una funció si el conjunt inicial (domini) són tots els nombres enters $\mathbb{Z}$? Justifica la teva resposta analitzant què passa amb els nombres negatius.
2. b) I si restringim el domini als nombres $\{0, 1, 4, 9\}$? Seria una funció si cada nombre pot tenir dos valors associats (positiu i negatiu)? Raona la teva resposta basant-te en la unicitat de la imatge.

Un atleta entrena en un camí recte. La gràfica següent mostra la distància al punt de sortida en funció del temps.

1. a) Explica què està passant entre el minut $4$ i el $6$.
2. b) A quina velocitat màxima ha corregut l'atleta i en quin interval ha passat?
3. c) Explica què està passant entre $t=6$ i $t=8$.
4. d) Podem afirmar que és una funció contínua? Per què?

Donada la taula de valors següent recollida durant un experiment de física, es sospita que una de les dades és errònia i trenca la condició de funció.

Temps (s)	$1$	$2$	$3$	$2$	$5$
Posició (m)	$10$	$20$	$35$	$25$	$60$

1. a) Identifica quina és la dada que impedeix que aquesta taula representi una funció. Justifica la teva elecció.
2. b) Si eliminem la dada errònia, la variable independent seria discreta o contínua?
3. c) Escriu una possible equació $y = f(x)$ que relacioni la posició amb el temps si la velocitat fos constant a $12\ m/s$.

Considera la funció que assigna a cada nombre natural de dues xifres la suma dels seus dígits.

Per exemple: $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) Quin és el domini d'aquesta funció?
2. b) Quin és el recorregut (imatge) de la funció? (Tingues en compte el nombre més petit i el més gran possibles).
3. c) És una funció creixent? Justifica la resposta comparant, per exemple, $f(19)$ i $f(20)$.

Dibuixa en uns eixos de coordenades la gràfica d'una funció que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. El seu domini sigui l'interval $[-4, 6]$.

2. Tingui un punt de discontinuïtat (un salt) a $x = 2$.

3. Sigui decreixent en l'interval $[-4, 0]$ i creixent en l'interval $[3, 6]$.

4. Tingui un màxim relatiu al punt $(-4, 5)$ i un mínim absolut a $(3, 1)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.