Exercicis: Expressió algebraica d'una funció

Associa cadascuna de les frases següents amb la seva expressió algebraica corresponent, on $x$ representa un nombre qualsevol i $y$ el resultat de la funció:

• a) El resultat és el triple d'un nombre.

• b) El resultat és el doble d'un nombre més cinc unitats.

• c) El resultat és la meitat d'un nombre.

• d) El resultat és un nombre restat de deu.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

En un videojoc de mòbils, cada "cofre de diamants" costa $1,50$ €. Si volem comprar $x$ cofres, la funció que ens dóna el preu total a pagar és $y = 1,5x$. La figura mostra la seva gràfica.

Calcula quants diners ens gastaríem si decidim comprar:

1. a) $2$ cofres.

1. b) $5$ cofres.

1. c) $10$ cofres.

Troba el valor de la variable dependent $y$ per als valors de la variable independent $x$ indicats en la funció següent:

$y = 4x - 3$

• a) Per a $x = 0$

• b) Per a $x = 1$

• c) Per a $x = 2$

• d) Per a $x = 5$

Volem envoltar amb una corda elàstica diversos cartells quadrats per a una fira escolar. La relació entre la longitud del costat del quadrat ($x$) i el perímetre total de corda necessari ($y$) ve donada per una funció.

• a) Escriu l'expressió algebraica d'aquesta funció.

• b) Si el costat del quadrat mesura $12$ cm, quanta corda necessitarem?

Copia i completa al teu quadern la taula de valors següent per a la funció l'expressió algebraica de la qual és $y = -2x + 1$:

Un tècnic de reparació d'ordinadors cobra $20$ € pel desplaçament a domicili i $15$ € per cada hora de feina.

• a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el cost total de la factura ($y$) amb el nombre d'hores treballades ($x$).

• b) Quant costarà una reparació que ha durat $3$ hores?

Observa la taula de valors següent que relaciona el nombre d'entrades per a un concert i el preu total. Troba l'expressió algebraica que representa aquesta funció:

Donada la funció $f(x) = x^2 + 1$:

• a) Calcula la imatge de $x = 3$. És a dir, calcula $f(3)$.

• b) Calcula la imatge de $x = -2$. És a dir, calcula $f(-2)$.

• c) Calcula la imatge de $x = 0$. És a dir, calcula $f(0)$.

Una plataforma de música en streaming ofereix un pla mensual que costa $12\,€$ com a quota fixa i, a més, cobra $0,50\,€$ per cada cançó que l'usuari decideixi descarregar per escoltar sense connexió. A la figura pots veure la gràfica d'aquesta situació.

a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que relaciona el nombre de cançons descarregades, $x$, amb el cost total mensual, $y$.

b) Indica quin tipus de funció és (lineal, afí o de proporcionalitat inversa).

c) Si un mes un usuari paga un total de $24,50\,€$, quantes cançons s'ha descarregat?

Troba l'expressió algebraica de la funció afí la gràfica de la qual passa pels punts $A(1, 4)$ i $B(3, 10)$. Explica pas a pas com calcules el pendent ($m$) i l'ordenada a l'origen ($n$).

En un laboratori de física, s'està observant com varia la temperatura d'un líquid a mesura que s'escalfa. Al començament de l'experiment, el líquid està a $15^\circ C$ i la seva temperatura augmenta a un ritme constant de $3^\circ C$ per cada minut que passa.

a) Determina l'expressió algebraica que permet calcular la temperatura $T$ en funció del temps $t$ (en minuts).

b) Quina temperatura assolirà el líquid després d'un quart d'hora d'escalfament?

c) Quant de temps ha de passar perquè el líquid arribi als $60^\circ C$?

Observa la taula de valors següent que relaciona dues magnituds, $x$ i $y$:

a) Comprova si es tracta d'una funció de proporcionalitat inversa.

b) Escriu la seva expressió algebraica.

c) Calcula el valor de la imatge per a $x = 10$.

Un jardiner cobra una quantitat fixa de $20€$ per desplaçament i $15€$ per cada hora de feina. El seu competidor no cobra desplaçament, però la seva tarifa és de $22€$ per hora.

a) Escriu l'expressió algebraica del cost del servei de cada jardiner ($y_1$ i $y_2$) en funció de les hores treballades ($x$).

b) Si necessitem una feina que durarà exactament $4$ hores, quin dels dos jardiners ens resulta més econòmic?

c) Existeix algun nombre d'hores de feina per al qual tots dos cobrin el mateix?

Donada la funció l'expressió algebraica de la qual és $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$:

a) Calcula els valors de $f(0)$, $f(3)$ i $f(-3)$.

b) Determina el punt de tall de la funció amb l'eix d'abscisses (eix $X$).

c) Representa els punts obtinguts en un sistema de coordenades com el de la figura (cada marca és una unitat) i uneix-los per dibuixar la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol construir un marc rectangular per a un pòster utilitzant un llistó de fusta de $120 cm$ de longitud total. Si anomenem $x$ la longitud de la base del rectangle:

a) Escriu l'expressió algebraica que relaciona l'altura del rectangle ($y$) amb la seva base ($x$). Ajuda: recorda que el perímetre és la suma de tots els costats.

b) Escriu l'expressió algebraica que permet calcular l'àrea ($A$) del rectangle en funció de la seva base ($x$).

c) Si la base mesura $25 cm$, quina serà l'àrea del marc?

Identifica quina de les expressions següents correspon a cadascuna de les gràfiques descrites a continuació:

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Una recta horitzontal que passa pel punt $(0, 5)$.

b) Una funció de proporcionalitat directa que passa pel punt $(2, 6)$.

c) Una funció afí decreixent que talla l'eix $Y$ en el punt $(0, 4)$.

d) Una hipèrbola que passa pel punt $(1, 4)$.

Una plataforma de streaming de videojocs ofereix dos plans mensuals per als creadors de contingut. Amb el Pla Pro, el creador rep una quantitat fixa de $15\ €$ al mes i, a més, $0,20\ €$ per cada nou subscriptor. Amb el Pla Partner no hi ha quantitat fixa; al contrari, la plataforma descompta $5\ €$ al mes per despeses de gestió i el creador rep $0,35\ €$ per cada nou subscriptor.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que representa els ingressos nets mensuals per a cada pla, sent $x$ el nombre de subscriptors i $y$ els diners totals rebuts (en euros).

1. b) Si un streamer estima que aconseguirà entre $60$ i $70$ subscriptors aquest mes, quin pla li resulta més beneficiós? Justifica la teva resposta calculant els valors de $y$ de cada pla per a $x=60$ i per a $x=70$ i comparant-los.

Es vol dissenyar un cartell rectangular l'àrea total del qual sigui sempre de $36\ m^2$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció que permet calcular l'altura ($y$) del cartell en funció de la longitud de la seva base ($x$).
2. b) Si per normativa el cartell no pot tenir una base menor de $2\ metros$ ni major de $12\ metros$, quin és el domini d'aquesta funció en aquest context real?
3. c) Quin tipus de funció és? Explica què passa amb l'altura a mesura que la base es fa extremadament gran.

Un dron de vigilància se n'enlaira des del terrat d'un edifici que està a una certa altura sobre el nivell del mar. Després de $4\ segundos$ de vol vertical constant, el dron es troba a $52\ metros$ d'altura. Als $10\ segundos$ de vol, arriba als $88\ metros$.

1. a) Determina l'expressió algebraica de la funció que relaciona el temps de vol ($x$, en segons) amb l'altura del dron ($y$, en metres).
2. b) A quina altura es troba el terrat de l'edifici?
3. c) Si el dron té un sostre de vol màxim de $150\ metros$, utilitza l'expressió algebraica per calcular quants segons pot estar ascendint abans d'arribar a aquest límit.

Una empresa de missatgeria cobra per l'enviament de paquets una quantitat fixa per la recollida més un cost per cada quilòmetre de distància. Sabem que un enviament a una ciutat situada a $120\ km$ costa $15,40\ €$, i un enviament a una altra ciutat a $200\ km$ costa $21,80\ €$.

1. a) Troba el pendent de la funció i indica què significa en aquest context.
2. b) Troba l'expressió algebraica de la funció $y = f(x)$.
3. c) Quant cobraria l'empresa per un paquet que es lliura al mateix punt de recollida ($0\ km$)? Com es diu aquest valor en la funció?

En un laboratori de física, s'està estudiant com varia la pressió d'un gas quan canvia el volum del recipient que el conté, mantenint la temperatura constant (Llei de Boyle). S'ha observat que quan el volum és de $2\ litros$, la pressió és de $6\ atmósferas$.

1. a) Sabent que la relació és de proporcionalitat inversa, escriu l'expressió algebraica que relaciona la pressió ($y$) amb el volum ($x$).
2. b) Calcula mitjançant l'expressió algebraica quin volum hauria de tenir el recipient perquè la pressió es reduís a $1,5\ atmósferas$.
3. c) Representa gràficament la funció per a valors de volum entre $1$ i $12\ litros$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dos dipòsits d'aigua idèntics, de $500$ litres de capacitat, es troben en situacions diferents. El dipòsit A està ple i es buida a un ritme constant de $8$ litres per minut. El dipòsit B conté $120$ litres i s'està omplint a un ritme constant de $12$ litres per minut.

Anomena $t$ el temps en minuts, comptat des del moment en què comencen a buidar-se i omplir-se, i $y$ el volum d'aigua en litres.

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció volum-temps de cada dipòsit ($y_A$ i $y_B$).

1. b) Utilitzant les expressions anteriors, calcula l'instant exacte en què tots dos dipòsits tindran la mateixa quantitat d'aigua.

1. c) Quin volum d'aigua hi haurà en cada dipòsit en aquest instant?

Troba l'expressió algebraica d'una funció afí la gràfica de la qual és paral·lela a la recta que passa pels punts $P(1, 5)$ i $Q(3, 1)$, i que a més talla l'eix d'ordenades ($Y$) en el mateix punt que la funció $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calcula primer el pendent de la recta que passa per $P$ i $Q$.
2. b) Identifica l'ordenada a l'origen de $g(x)$.
3. c) Escriu l'expressió final de la funció sol·licitada.

Un grup d'estudiants de 2n d'ESO vol llogar un autobús per a una excursió de fi de curs que costa $840\ €$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que relaciona el preu que ha de pagar cada alumne ($y$) en funció del nombre d'alumnes que s'apuntin finalment ($x$).
2. b) Inicialment s'hi apunten $30$ alumnes, però una setmana abans se'n borren $5$. Utilitza l'expressió algebraica per calcular quant augmenta el preu per als alumnes que sí que van a l'excursió.
3. c) Si els alumnes decideixen que no poden pagar més de $35\ €$ cadascun, quin és el nombre mínim de persones que hi han d'assistir perquè el viatge es realitzi? Explica com ho has obtingut a partir de l'expressió algebraica.