Exercicis: Representació de les dades

En una classe de 2n d'ESO s'ha fet una enquesta per saber quina xarxa social és la preferida pels alumnes. S'han obtingut els resultats següents: Instagram, TikTok, TikTok, YouTube, Instagram, TikTok, YouTube, Instagram, Instagram, TikTok, YouTube, TikTok, Instagram, YouTube, Instagram.

Indica quina és la població d'aquest estudi, quin és l'individu i de quin tipus de variable estadística es tracta.

Observa el diagrama de barres següent que representa l'esport preferit d'un grup d'adolescents d'un club esportiu:

A partir del gràfic, respon:

1. a) Quantes persones prefereixen el bàsquet?
2. b) Quin és l'esport que menys es practica en aquest grup?
3. c) A quantes persones s'ha enquestat en total?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha preguntat als alumnes d'una classe pel nombre de germans que tenen, i s'han obtingut les dades següents:

$1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2$

Construeix una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$) i la freqüència relativa ($f_i$).

Per a representar els resultats d'una enquesta sobre el gust de gelat preferit en un diagrama de sectors, necessitem calcular els angles de cada secció. Si sabem que a $10$ persones d'un total de $40$ els agrada la xocolata, quina amplitud en graus ($^\circ$) tindrà el sector circular corresponent a la xocolata?

El pictograma següent mostra el nombre d'arbres plantats pels alumnes d'un institut durant quatre anys. Si cada símbol representa $5$ arbres, respon a les preguntes:

1. a) Quants arbres es van plantar l'any $2021$?
2. b) En quin any es van plantar exactament $15$ arbres?
3. c) Quin és el nombre total d'arbres plantats entre els quatre anys?

S'ha registrat el temps (en minuts) que triguen $25$ alumnes a arribar a l'institut des de casa seva. Les dades s'han agrupat en la taula d'intervals següent:

Representa aquestes dades mitjançant un histograma. (Recorda posar els intervals en l'eix horitzontal i les freqüències en el vertical).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El diagrama de línies següent mostra l'evolució de la temperatura màxima en una ciutat durant la primera setmana de maig:

Observant la gràfica:

1. a) Quin dia de la setmana es va registrar la temperatura màxima més alta?
2. b) Entre quins dos dies consecutius hi va haver un descens més gran de la temperatura?
3. c) Quina temperatura màxima feia dilluns?

Una empresa de videojocs vol saber quantes hores a la setmana juguen els joves de $12$ a $14$ anys. Han preguntat a $100$ nois i noies triats a l'atzar de diferents instituts d'Espanya.

Indica en aquest cas:

1. a) Quina és la població?
2. b) Quina és la mostra?
3. c) Quin és l'individu?
4. d) És una variable qualitativa o quantitativa?

Error d'altri. L'Alba fa una enquesta als $40$ alumnes del seu curs sobre la seva activitat extraescolar preferida i obté: Bàsquet ($10$), Teatre ($8$), Música ($14$) i Robòtica ($8$). En preparar un diagrama de sectors a la seva llibreta, escriu el següent:

«Per al sector de Bàsquet: com que són $10$ persones d'un total de $40$, divideixo $40$ entre $10$, que dona $4$, de manera que l'angle que he de dibuixar és de $4^\circ$. A més, per presentar els resultats, uniré les parts superiors de les barres amb una línia contínua perquè així s'aprecia millor com evoluciona l'afició d'una activitat a una altra».

1. a) Troba i explica els dos errors conceptuals comesos per l'Alba: un en el càlcul de l'angle i un altre en l'elecció del gràfic de línies per a aquest tipus de variable.
2. b) Corregeix les seves operacions i calcula l'angle central exacte que li correspon en el diagrama de sectors al «Bàsquet» i a la «Música».
3. c) Explica quin gràfic (barres separades o histograma adossat) és l'adequat per mostrar aquestes dades i per què no s'han d'adossar les barres en aquest cas.

Tria el mètode. Un grup de treball de 2n d'ESO ha de seleccionar el tipus de gràfic més adequat per presentar tres estudis estadístics al diari escolar:

1. La temperatura exterior registrada al pati de l'institut cada dues hores al llarg d'un dia lectiu (des de les 08:00 fins a les 18:00).

2. L'alçada exacta de $80$ estudiants agrupada en els intervals $[140, 150)$, $[150, 160)$, $[160, 170)$, $[170, 180)$ i $[180, 190]$ (en centímetres).

3. El nombre de germans ($0$, $1$, $2$, $3$ o més) d'una mostra de $50$ famílies.

1. a) Per a cadascuna de les tres situacions, determina quina de les opcions següents és la més convenient: diagrama de barres separades, histograma de barres contigües o gràfic de línies temporal.
2. b) Justifica cada elecció atenent si la variable és quantitativa discreta, contínua agrupada en intervals o si descriu una evolució en el temps.
3. c) Si en la situació 2 dibuixessis barres separades amb espais entre elles en lloc d'un histograma, quin missatge fals estaries transmetent sobre els valors intermedis de l'alçada?

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials, en un institut amb $480$ estudiants adolescents s'ha preguntat a $40$ d'ells, escollits a l'atzar, quina és la seva plataforma preferida. Els resultats obtinguts són els següents:

• TikTok: $18$ persones.

• Instagram: $12$ persones.

• YouTube: $6$ persones.

• BeReal: $4$ persones.

1. a) Identifica la població, la mostra i el tipus de variable estadística.

1. b) Elabora una taula de freqüències que inclogui la freqüència absoluta ($n_i$), la freqüència relativa ($f_i$) i el percentatge ($\%$) de cada valor.

1. c) Representa les dades en un diagrama de barres.

S'ha registrat el nombre de llibres llegits pels alumnes d'una classe de 2n d'ESO durant el primer trimestre. Les dades són:

$1, 2, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 1, 0, 5, 2, 1, 2, 1$.

1. a) Elabora la taula de freqüències absolutes i absolutes acumulades ($N_i$).
2. b) Quin percentatge d'alumnes ha llegit $2$ llibres o menys?
3. c) Representa un polígon de freqüències sobre el diagrama de barres de les freqüències absolutes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de videojocs vol representar en un diagrama de sectors el tipus de consola que prefereixen els usuaris d'una fira de "gaming". Les dades són:

• PlayStation: $45\%$

• Nintendo Switch: $30\%$

• Xbox: $15\%$

• PC: $10\%$

1. a) Calcula els graus corresponents a cada sector circular utilitzant una regla de tres o la fórmula de l'amplitud: $\alpha = \frac{360^\circ \cdot n_i}{N}$.
2. b) Dibuixa de forma aproximada el diagrama de sectors utilitzant els angles calculats.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha mesurat l'alçària (en cm) dels $20$ integrants d'un club de bàsquet juvenil. Com que és una variable contínua, les dades s'han agrupat en els intervals següents:

$[160, 165), [165, 170), [170, 175), [175, 180), [180, 185]$.

Les freqüències absolutes són: $2, 5, 8, 3, 2$, respectivament.

1. a) Indica les marques de classe ($x_i$) de cada interval.
2. b) Representa les dades en un histograma. Explica en què es diferencia aquest gràfic d'un diagrama de barres convencional.
3. c) Quin és l'interval modal?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'ajuntament d'una localitat vol conscienciar sobre el reciclatge. Per a això, ha publicat un pictograma sobre el nombre de contenidors de reciclatge instal·lats en quatre barris diferents.

Si cada símbol de ♻️ equival a $12$ contenidors:

• Barri A: ♻️♻️♻️♻️

• Barri B: ♻️♻️♻️

• Barri C: ♻️♻️♻️♻️♻️

• Barri D: ♻️♻️

1. a) Construeix la taula de freqüències absolutes per al nombre de contenidors a cada barri.
2. b) Quin és el total de contenidors instal·lats a la localitat?
3. c) Representa aquestes mateixes dades mitjançant un diagrama de barres per comparar tots dos mètodes de visualització.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa els dos gràfics següents que mostren l'evolució de la temperatura mitjana d'una ciutat durant un matí de primavera. Tots dos representen les mateixes dades, però s'han dibuixat amb escales diferents a l'eix vertical.

1. a) Explica per què el Gràfic B dona una sensació de creixement molt més ràpid que el Gràfic A si les dades són idèntiques.
2. b) Quin dels dos gràfics et sembla més objectiu per informar la població? Raona la teva resposta basant-te en l'escala de l'eix d'ordenades.

Un climograma és un gràfic que combina un diagrama de barres (precipitacions) i un diagrama de línies (temperatures). Observa les dades simplificades d'un trimestre en una ciutat del sud d'Espanya:

• Gener: $10^\circ C$, $60\text{ mm}$

• Febrer: $12^\circ C$, $45\text{ mm}$

• Març: $15^\circ C$, $30\text{ mm}$

1. a) Dibuixa el climograma situant els mesos a l'eix $X$, les precipitacions a l'eix $Y$ esquerre (barres) i les temperatures a l'eix $Y$ dret (línia).
2. b) Analitzant el gràfic, quina tendència observes en el pas de l'hivern a la primavera?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha fet una enquesta a $120$ persones sobre la seva activitat física setmanal. Els resultats es presenten en aquesta taula incompleta:

1. a) Completa tots els buits de la taula sabent que el total d'individus ($N$) és $120$.
2. b) Representa les dades en un diagrama de sectors.
3. c) Indica quina és la moda d'aquest estudi.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Estima i comprova. En un centre educatiu de Saragossa s'ha enquestat a $120$ estudiants de 2n d'ESO sobre les hores setmanals dedicades a l'activitat física, obtenint la distribució agrupada següent: $[0, 2)$ h: $18$ alumnes; $[2, 4)$ h: $42$ alumnes; $[4, 6)$ h: $39$ alumnes; $[6, 8]$ h: $21$ alumnes. Es vol construir un diagrama de sectors per exposar-lo al tauler d'anuncis.

1. a) Estima: Sense aplicar la fórmula ni utilitzar calculadora, observa amb atenció la freqüència de l'interval $[2, 4)$ ($42$ alumnes de $120$). Raona si el seu sector ocuparà més o menys d'un terç de la circumferència ($120^\circ$) i si l'angle resultant serà agut, recte o obtús. Escriu una estimació numèrica aproximada de l'angle en graus justificant la teva deducció.
2. b) Calcula: Troba la freqüència relativa ($h_i$) d'aquest interval $[2, 4)$ i calcula amb precisió el seu angle central aplicant la fórmula $\text{Angle} = h_i \cdot 360^\circ$.
3. c) Comprova: Compara el valor exacte obtingut amb la teva estimació inicial. Va ser raonable la teva aproximació? A què creus que es va deure la diferència, si n'hi va haver?
4. d) Calcula l'angle central corresponent a l'interval $[0, 2)$ i comprova si la suma dels quatre angles de l'estudi completaria amb exactitud el cercle de $360^\circ$.

Modelitza. Una cooperativa oliera de Jaén ha publicat en el seu butlletí mensual un pictograma amb la producció d'oli embotellat durant les quatre setmanes de desembre. La clau del pictograma estableix que la icona d'una garrafa completa representa $4000\text{ litres}$. Al gràfic apareixen dibuixats els símbols següents:

• Setmana 1: $3$ garrafes completes.

• Setmana 2: $5$ garrafes completes i una garrafa tallada exactament per la meitat.

• Setmana 3: $4$ garrafes completes i una garrafa de la qual només s'han dibuixat tres quartes parts.

• Setmana 4: $2$ garrafes completes i un quart de garrafa.

1. a) Tradueix la informació del pictograma a litres reals: calcula la quantitat d'oli embotellat produïda en cadascuna de les quatre setmanes i el total del mes.
2. b) La cooperativa vol substituir el pictograma per un diagrama de barres en la seva memòria tècnica oficial perquè no hi hagi dubtes amb els dibuixos partits. Descriu detalladament com s'ha de construir aquest diagrama (quina variable anirà a cada eix, si les barres han d'anar juntes o separades i quina escala vertical en litres suggereixes perquè la lectura sigui clara).
3. c) Si a la Setmana 2 l'il·lustrador hagués dibuixat per descuit la garrafa partida com un terç en comptes de mitja garrafa, quants litres de diferència s'haurien comunicat erròniament al públic?

Un club d'e-sports ha realitzat un estudi sobre les hores setmanals que dediquen els seus $120$ socis a entrenar. Disposem de les dades parcials següents de la taula de freqüències, en què les dades s'han agrupat en intervals de la mateixa amplitud:

Completa la taula de freqüències i representa les dades utilitzant un histograma i un polígon de freqüències superposat. Indica quin percentatge de socis entrena $10$ hores o més a la setmana.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de telefonia analitza la durada de les bateries de dos models de telèfon intel·ligent, A i B, després d'un any d'ús. Els resultats es presenten en el diagrama de caixa i bigotis (box-plot) següent. Observa el gràfic i respon:

1. a) Quina és la mediana de durada per a cada model?
2. b) Si un usuari necessita que la bateria duri almenys $18$ hores, quin model té una proporció més gran de dispositius que compleixen aquest requisit? Justifica la resposta fent servir els quartils.
3. c) Quin dels dos models presenta una distribució més dispersa en el $50\%$ central de les dades?

Un influencer vol mostrar el creixement dels seus seguidors en dues xarxes socials diferents durant l'últim semestre. Per a això, presenta els gràfics següents.

1. a) Explica per què el gràfic de la Xarxa Social Y pot resultar enganyós per als seus patrocinadors si no es fixen en l'eix d'ordenades.
2. b) Sabent que a la Xarxa Social X va començar amb $10.000$ seguidors i va acabar amb $12.000$, i a la Xarxa Social Y va començar amb $50.000$ i va acabar amb $51.000$, dibuixa un únic diagrama de línies comparatiu utilitzant una escala adequada que permeti comparar el creixement real de tots dos comptes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'ajuntament d'una localitat ha recollit dades sobre el reciclatge de residus orgànics domèstics de $200$ famílies. El diagrama de sectors següent mostra la distribució, però s'han esborrat les dades de les famílies que reciclen "Molt".

• Gens ($0$ kg/mes): $15\%$

• Poc ($1-5$ kg/mes): $72^\circ$ (amplitud del sector)

• Normal ($6-10$ kg/mes): $90$ famílies

• Molt ($>10$ kg/mes): $?$

1. a) Calcula el nombre de famílies que pertanyen a cada categoria.
2. b) Calcula l'amplitud en graus del sector corresponent a les famílies que reciclen "Molt".
3. c) Elabora una taula de freqüències absolutes i relatives amb totes les dades.

En un estudi sobre l'ús de la biblioteca de l'institut, s'ha registrat el nombre de llibres deixats en préstec a una mostra d'alumnes de 2n d'ESO durant un trimestre. Els resultats es mostren en el diagrama de barres de freqüències acumulades ($N_i$) següent:

1. a) Quants alumnes formen la mostra?
2. b) Construeix la taula de freqüències absolutes ($n_i$) a partir de les acumulades.
3. c) Quina és la moda i la mediana del nombre de llibres deixats en préstec?
4. d) Representa les dades mitjançant un diagrama de sectors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat una enquesta a $400$ adolescents sobre la seva activitat preferida per al cap de setmana, diferenciant entre nois i noies. Les dades es recullen a la següent taula de doble entrada, però hi falten alguns valors:

1. a) Completa tots els valors que falten a la taula.
2. b) Representa les dades mitjançant un diagrama de barres agrupat (una barra per a nois i una altra per a noies en cada activitat).
3. c) Quin percentatge de les noies prefereix l'esport? És més gran o més petit que el percentatge de nois que prefereix l'esport?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El temps de reacció (en segons) d'un grup d'atletes davant el senyal de sortida s'ha representat en el següent histograma. Els intervals són de la forma $[a, b)$.

1. a) Calcula el nombre total d'atletes que van participar en la prova sabent que a l'interval $[0,15, 0,20)$ hi va haver $12$ atletes.
2. b) Calcula la marca de classe de cada interval.
3. c) Estima la mitjana aritmètica dels temps de reacció a partir de les dades de l'histograma.
4. d) Quin percentatge d'atletes té un temps de reacció inferior a $0,20$ segons?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una ONG ha fet una enquesta sobre el nombre de fills en $50$ famílies d'un barri. Els resultats s'han perdut, però conservem el pictograma, on cada símbol d'una casa representa $4$ famílies. Al barri cap família té més de $3$ fills.

• $0$ fills: 🏠 🏠 🏠

• $1$ fill: 🏠 🏠 🏠 🏠 🏠

• $2$ fills: 🏠 🏠 🏠 🏠

• $3$ fills: $?$

1. a) Sabent que el total de famílies és $50$, quantes famílies tenen $3$ fills? Com representaries aquesta quantitat al pictograma?

1. b) Calcula la mitjana, la mediana i la moda de la distribució.

1. c) Si es tria una família a l'atzar, quina és la probabilitat que tingui menys de $2$ fills? Representa aquesta situació amb un diagrama de sectors.

Modelitza i analitza escales. Una companyia elèctrica ha enviat als seus usuaris de Valladolid un fullet en què mostra el consum mitjà mensual (en $\text{kWh}$) d'una llar durant l'últim quadrimestre de l'any: Setembre: $320\text{ kWh}$; Octubre: $310\text{ kWh}$; Novembre: $295\text{ kWh}$; Desembre: $280\text{ kWh}$.

Per il·lustrar el descens del consum, l'empresa dissenya dos gràfics de barres amb les mateixes mides exteriors però amb eixos verticals diferents:

• Gràfic A: L'eix vertical està truncat; comença a $270\text{ kWh}$ i acaba a $330\text{ kWh}$.

• Gràfic B: L'eix vertical és complet; comença rigorosament a $0\text{ kWh}$ i acaba a $350\text{ kWh}$.

1. a) Calcula l'alçada visual (mesurada des de la línia base de l'eix horitzontal) de la barra de Setembre i de la de Desembre al Gràfic A (on la base marca $270$) i al Gràfic B (on la base marca $0$).
2. b) Al Gràfic A, quantes vegades sembla més alta la barra de Setembre respecte a la de Desembre? Calcula després la raó matemàtica real entre ambdós consums ($\frac{320}{280}$) i compara-la amb l'impacte visual del gràfic truncat.
3. c) Modela la reducció percentual real experimentada entre Setembre i Desembre. A continuació, redacta un breu informe crític explicant per què el Gràfic A manipula la percepció de l'usuari i quines conclusions errònies fomenta en qui no llegeix els números de l'eix vertical.

Problema invers. Al servei d'urgències d'un hospital d'Astúries s'ha registrat el temps d'espera (en minuts) de $120$ pacients atesos durant una jornada. Les dades s'han agrupat en quatre intervals d'idèntica amplitud: $[0, 15)$, $[15, 30)$, $[30, 45)$ i $[45, 60]$. S'han extraviat les dades originals de la taula, però disposem de les pistes següents a partir dels gràfics que es van arribar a elaborar:

1. Al diagrama de sectors, l'angle central corresponent a l'interval $[0, 15)$ mesura exactament $54^\circ$.

2. A l'histograma, l'alçada de la barra de l'interval $[15, 30)$ és exactament el triple que l'alçada de la barra de l'interval $[45, 60]$.

3. El $70\,\%$ dels pacients va esperar menys de $30$ minuts en total.

1. a) Dedueix pas a pas la freqüència absoluta ($n_i$) de cadascun dels quatre intervals de temps d'espera.
2. b) Determina l'angle central en graus que li correspondrà a cada interval en el diagrama de sectors per poder reconstruir-lo amb exactitud.
3. c) Justifica per què en la representació gràfica d'aquestes dades contínues les barres s'han de dibuixar contigües (tocant-se les unes a les altres) i què representa la base de cada rectangle en l'eix horitzontal.