Exercicis: Conceptes

Per conèixer quin és el videojoc preferit dels alumnes d'un institut de $850$ estudiants, s'ha passat una enquesta a $40$ alumnes triats a l'atzar al pati. Identifica els elements següents de l'estudi:

• Població

• Mostra

• Individu

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives o quantitatives:

1. a) El color preferit dels teus amics.
2. b) El nombre de missatges de WhatsApp que reps al dia.
3. c) La marca de sabatilles que porten els alumnes de la teva classe.
4. d) La quantitat de diners que estalvies cada mes.

Un refugi d'animals vol fer un estudi sobre la salut dels seus gossos. Per fer-ho, el veterinari anota el pes de cadascun dels $35$ gossos que hi viuen.

Indica quin és el caràcter estadístic estudiat i classifica'l (qualitatiu, quantitatiu discret o quantitatiu continu).

Classifica aquestes variables quantitatives en discretes o contínues:

1. a) El nombre de cosins que té cada estudiant.
2. b) El temps exacte que trigues a arribar des de casa teva a l'institut.
3. c) La temperatura d'una llauna de refresc quan surt de la màquina.
4. d) El nombre de llibres que hi ha a la biblioteca de la teva aula.

En una enquesta feta en una classe de $25$ alumnes sobre quina xarxa social prefereixen (TikTok, Instagram o Twitter), s'han obtingut les respostes següents:

Xarxa social	Nombre d'alumnes
TikTok	$12$
Instagram	$9$
Twitter	$4$

Quin nom rep el valor que més vegades es repeteix en aquest estudi? Indica quin és aquest valor en aquesta enquesta.

Es vol fer un estudi per conèixer el gust de gelat preferit pels habitants d'una ciutat de $50.000$ persones. Per fer-ho, es pregunta als $100$ primers clients que entren en una gelateria del centre un dilluns al matí.

Creus que aquesta mostra és representativa de tota la població de la ciutat? Raona la teva resposta de manera breu.

Observa els caràcters estadístics següents relacionats amb un viatge escolar i classifica'ls:

1. País de destinació.

2. Nombre de dies de durada.

3. Distància recorreguda en quilòmetres.

4. Grau de satisfacció (Molt baix, Baix, Mitjà, Alt).

Si en un estudi estadístic la població està formada per tots els cotxes d'una ciutat i la variable és el «color del cotxe», identifica:

1. a) L'individu.
2. b) El tipus de variable (qualitativa o quantitativa).
3. c) Proposa tres valors possibles que pot prendre aquesta variable.

L'Hugo ha classificat quatre variables estadístiques recollides entre els seus companys de $2\text{n}$ d'ESO, però ha comès un error conceptual en cadascuna:

1. Talla de samarreta ($\text{XS}$, $\text{S}$, $\text{M}$, $\text{L}$, $\text{XL}$): «És quantitativa contínua perquè les mides del cos augmenten progressivament».

2. Nombre de germans: «És qualitativa ordinal perquè els germans es poden ordenar del més gran al més petit».

3. Temps diari invertit a arribar a l'institut: «És quantitativa discreta perquè sempre diem minuts enters, com ara $15$ minuts o $20$ minuts».

4. Codi postal del domicili: «És quantitativa discreta perquè està format per un nombre de $5$ xifres».

Per a cadascuna de les quatre variables:

1. a) Explica amb claredat quin és l'error de raonament que comet l'Hugo.
2. b) Escriu la classificació correcta i justifica-la fent servir les definicions de variable qualitativa (nominal o ordinal) i quantitativa (discreta o contínua).

Una revista juvenil vol elaborar un reportatge sobre el lleure i els hàbits de vida dels adolescents de la teva localitat. Per a això, et demanen que dissenyis tu les preguntes de l'enquesta.

1. a) Escriu una variable estadística diferent per a cadascuna de les quatre condicions següents:

• Variable A: Ha de ser qualitativa nominal.

• Variable B: Ha de ser qualitativa ordinal.

• Variable C: Ha de ser quantitativa discreta.

• Variable D: Ha de ser quantitativa contínua.

1. b) Per a la variable quantitativa contínua que has proposat, indica tres valors numèrics possibles que podria respondre un estudiant i explica per què no tindria sentit considerar-la discreta.
2. c) Defineix amb precisió qui constituiria la població d'aquest estudi i qui en seria un individu.

L'ajuntament d'una ciutat vol conèixer els hàbits d'oci digital dels adolescents d'entre 12 i 16 anys. Per fer-ho, selecciona a l'atzar 400 alumnes de tres instituts diferents i els pregunta quantes hores diàries passen de mitjana a les xarxes socials (TikTok, Instagram, etc.).

Indica els elements següents de l'estudi estadístic:

1. a) La població.
2. b) La mostra.
3. c) L'individu.
4. d) El caràcter estadístic estudiat i la seva classificació.

En una protectora d'animals han registrat l'edat (en anys) dels gossos que han sigut adoptats durant l'últim mes. Les dades obtingudes són les següents:

$$2, 1, 5, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 2, 3$$

Construeix una taula de freqüències que inclogui:

• Variable ($x_i$)

• Freqüència absoluta ($n_i$)

• Freqüència relativa ($f_i$)

• Freqüència absoluta acumulada ($N_i$)

• Percentatge ($\%$)

Observa el gràfic següent que representa el nombre de llibres llegits per un grup d'alumnes durant les vacances d'estiu:

A partir del gràfic anterior, contesta:

1. a) A quants alumnes se'ls ha preguntat en total?
2. b) Quin és el valor de la variable més freqüent? Com s'anomena aquest paràmetre?
3. c) Quin percentatge d'alumnes ha llegit exactament 2 llibres?

En un club d'e-sports s'ha mesurat el temps de reacció (en mil·lisegons) dels seus jugadors. Com que és una variable contínua, les dades s'han agrupat en els intervals següents:

Temps (ms)	Freqüència ($n_i$)
$[150, 170)$	$6$
$[170, 190)$	$12$
$[190, 210)$	$18$
$[210, 230)$	$4$

1. a) Calcula les marques de classe de cada interval.
2. b) Representa les dades mitjançant un histograma.
3. c) En quin interval es troba el temps de reacció de la majoria dels jugadors?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudiant ha obtingut les notes següents en els controls de Matemàtiques de la segona avaluació:

$$7,5; \quad 8,2; \quad 9,0; \quad 2,1; \quad 8,7$$

1. a) Calcula la mitjana aritmètica ($\bar{x}$) i la mediana ($Me$).
2. b) Si el professor decideix que la nota de l'avaluació sigui la mediana en lloc de la mitjana perquè un "mal dia" no perjudiqui tant, quina seria la seva nota?
3. c) Explica per què la mediana és, en aquest cas, més representativa que la mitjana.

S'ha fet una enquesta en una classe de 2n d'ESO sobre el tipus de música preferit segons el sexe. Els resultats es mostren en aquesta taula de doble entrada:

	Pop	Rock	Trap	Total
Noies	$8$	$3$	$4$	$15$
Nois	$5$	$6$		$15$
Total		$9$		30

1. a) Completa les dades que falten a la taula.
2. b) Quin percentatge del total de la classe prefereix el Rock?
3. c) Si triem un noi a l'atzar, quina és la probabilitat que la seva música preferida sigui el Pop? Utilitza la regla de Laplace.

Dos equips de bàsquet han anotat els punts següents en els seus últims 5 partits:

• Equip A: $72, 75, 74, 73, 76$

• Equip B: $50, 95, 60, 110, 55$

1. a) Calcula la mitjana i el rang de tots dos equips.
2. b) Observant els resultats, quin dels dos equips és més regular en les seves puntuacions? Justifica la teva resposta relacionant la mitjana amb la dispersió de les dades.

En un estudi sobre el color dels ulls dels alumnes d'un institut s'han obtingut les dades següents:

Color	$n_i$
Marrons	$120$
Blaus	$30$
Verds	$50$

1. a) Quin tipus de variable és «Color dels ulls»?
2. b) Es pot calcular la mitjana d'aquestes dades? Per què?
3. c) Si volguéssim representar aquestes dades en un diagrama de sectors, calcula l'amplitud de l'angle central (en graus) que li correspondria al sector dels «Ulls verds».

En un hospital comarcal que dona servei a $35\,000$ persones es plantegen dues investigacions estadístiques diferents:

• Estudi 1: Comprovar el funcionament, calibratge i desinfecció dels $18$ respiradors mecànics de la unitat de cures intensives (UCI).

• Estudi 2: Conèixer el grau de satisfacció general dels usuaris amb el servei d'urgències al llarg de tot un any.

1. a) Per a cadascun dels dos estudis, tria raonadament si s'ha de fer un cens o seleccionar una mostra. Compara en cada cas factors com la mida del grup, el cost, el temps necessari i el risc d'ometre elements.
2. b) Si en l'Estudi 2 es decidís seleccionar una mostra de $200$ pacients entrevistant únicament els qui surten d'urgències un dimarts entre les $10:00$ i les $13:00$, raona per què aquest mètode de selecció no donaria una mostra representativa i explica quins grups de pacients quedarien exclosos o infrarepresentats.

En un institut de secundària hi ha matriculats $500$ estudiants repartits de la manera següent: $150$ a $1\text{r}$ d'ESO, $125$ a $2\text{n}$ d'ESO, $125$ a $3\text{r}$ d'ESO i $100$ a $4\text{t}$ d'ESO. El Consell Escolar vol fer una enquesta sobre el menjar de la cafeteria seleccionant una mostra representativa de $40$ estudiants.

El delegat de centre proposa seleccionar a l'atzar exactament $10$ alumnes de cada curs perquè «tots els nivells tinguin la mateixa veu».

1. a) Estima: Abans de fer càlculs exactes, raona si la proposta del delegat representa equitativament tota la població del centre o si beneficia els estudiants d'algun curs respecte d'uns altres.
2. b) Comprova: Calcula quants alumnes de cada curs s'haurien de seleccionar exactament perquè la mostra sigui proporcional al nombre real d'estudiants de cada nivell.
3. c) Valora: A partir dels resultats numèrics obtinguts, explica si la teva estimació inicial era correcta i raona quin problema metodològic presenta el repartiment proposat pel delegat.

L'ajuntament d'una ciutat vol fer una enquesta sobre l'ús del carril bici entre els joves. Per fer-ho, selecciona $450$ estudiants de tres instituts diferents de manera proporcional al nombre total d'alumnes de cada centre. A l'Institut A hi ha $600$ alumnes, a l'Institut B hi ha $400$ alumnes i a l'Institut C hi ha $500$ alumnes.

1. a) Indica quina és la població, quina és la mostra i quin és l'individu en aquest estudi estadístic.
2. b) Quants alumnes s'han de seleccionar de cada institut perquè la mostra sigui representativa i proporcional?
3. c) Classifica la variable «temps diari (en minuts) que cada jove utilitza la bicicleta» segons la seva naturalesa.

Una plataforma de streaming analitza les dades dels seus usuaris adolescents per millorar el seu algorisme. Classifica les variables següents recollides en l'estudi:

1. a) Nombre de dispositius connectats simultàniament a la llar.
2. b) Gènere cinematogràfic preferit (terror, comèdia, acció, etc.).
3. c) Temps total (en hores i minuts) de visualització setmanal.
4. d) Qualificació atorgada a una sèrie (1 estrella, 2 estrelles, 3 estrelles, 4 estrelles o 5 estrelles).
5. e) Marca del dispositiu principal utilitzat per veure contingut.

Raona si alguna d'aquestes variables quantitatives es podria tractar com a qualitativa en un context determinat.

S'ha fet una enquesta sobre el nombre d'hores que dormen els alumnes de 2n d'ESO un dia feiner. Disposem de les següents dades incompletes de la taula de freqüències, on $x_i$ és el nombre d'hores, $n_i$ la freqüència absoluta, $h_i$ la freqüència relativa i $H_i$ la freqüència relativa acumulada:

$x_i$	$n_i$	$h_i$	$H_i$
6	4		0,16
7		0,24
8	10
9
10	2		1,00

1. a) Calcula la mida total de la mostra ($N$).
2. b) Completa tots els buits de la taula de freqüències.
3. c) Quin percentatge d'alumnes dorm 8 hores o més?

El següent histograma representa el temps (en minuts) que triguen els alumnes a arribar des de casa seva fins a l'institut. Les dades s'han agrupat en intervals de la forma $[a, b)$.

1. a) Construeix la taula de freqüències absolutes a partir del gràfic identificant les marques de classe de cada interval.
2. b) Calcula el temps mitjà que triguen els alumnes a arribar a l'institut utilitzant les marques de classe.
3. c) En quin interval es troba la mediana de les dades? Explica el teu raonament.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La mitjana aritmètica de les notes d'un grup de 12 alumnes en un examen de matemàtiques era de $6,5$. Després de revisar els exàmens, el professor se n'adona que ha comès un error amb dos alumnes: a un li havia posat un $4$ quan en realitat tenia un $7$, i a un altre li havia posat un $9$ quan en realitat tenia un $6$.

1. a) Quina és la suma total de les notes dels 12 alumnes abans de la correcció?
2. b) Quina és la nova mitjana aritmètica del grup després de corregir els errors?
3. c) Podem saber si la mediana ha canviat amb aquestes dades? Justifica la teva resposta.

Observa els dos gràfics següents que representen l'evolució del preu d'un model de sabatilles en dues botigues diferents durant el mateix període de 4 mesos.

1. a) Explica per què el gràfic de la Botiga B sembla mostrar una pujada de preu molt més brusca que el de la Botiga A, tot i que les dades reals de preus són idèntiques en totes dues.
2. b) Com s'anomena aquest efecte visual en estadística i per què es considera una pràctica enganyosa?
3. c) Redibuixa mentalment (o descriu) com hauria de ser l'eix vertical de la Botiga B perquè la comparació fos objectiva.

En un concurs de talents, un participant rep les puntuacions següents de 5 jutges: $8, 7, 9, 8$ i una cinquena nota desconeguda ($x$).

1. a) Si la mitjana de les cinc notes és de $8,2$, quina és la puntuació del cinquè jutge?
2. b) Si el reglament del concurs diu que per calcular la nota final s'ha d'eliminar la puntuació més alta i la més baixa i fer la mitjana de les tres restants, quina seria la nota final del participant amb el valor de $x$ trobat anteriorment?
3. c) Com afectaria la mediana de les cinc notes originals si el cinquè jutge li hagués posat un $10$ en lloc del valor $x$?

Un estudi sobre l'oci digital en adolescents de 13 anys dóna les dades següents sobre el nombre d'hores diàries davant d'una pantalla:

$$3, 5, 2, 4, 3, 2, 8, 3, 1, 4, 3, 2, 3, 5, 3, 10, 2, 3, 4, 1$$

1. a) Calcula els tres paràmetres de centralització: mitjana, mediana i moda.
2. b) Observant els valors de la mitjana i la mediana, diries que la distribució és simètrica o que hi ha valors extrems que desplacen la mitjana? Justifica la teva resposta anomenant aquests valors.
3. c) Si eliminem els dos usuaris amb més consum d'hores, quina seria la nova mediana? Explica si aquest paràmetre és sensible als valors extrems de la mateixa manera que la mitjana.

La Conselleria d'Educació d'una comunitat autònoma vol modelitzar el temps que dediquen a les pantalles i a l'estudi els estudiants d'Educació Secundària Obligatòria. En aquesta comunitat hi ha $120\,000$ alumnes d'ESO, matriculats en tres tipus de centres: centres públics ($65\,\%$), concertats ($30\,\%$) i privats ($5\,\%$). Es decideix extreure una mostra d'$1\,200$ estudiants.

1. a) Modela el disseny mostral: defineix la població, l'individu i calcula quants alumnes s'han de seleccionar de cada tipus de centre perquè la mostra sigui representativa i proporcional a la realitat educativa.
2. b) Proposa quatre preguntes per al qüestionari que recullin, respectivament: una variable qualitativa nominal, una qualitativa ordinal, una quantitativa discreta i una quantitativa contínua relacionades amb l'objecte de l'estudi. Justifica la classificació de cada variable.
3. c) Un tècnic proposa reduir costos enviant un enllaç al qüestionari per xarxes socials i analitzant les primeres $1\,200$ respostes que arribin de manera voluntària. Raona dos motius matemàtics o estadístics pels quals aquesta mostra deixaria de ser representativa i generaria biaix en els resultats.

El comitè organitzador d'unes olimpíades escolars de matemàtiques celebrades en una província publica una memòria amb les tres dades següents sobre un estudi intern:

1. Es va fer un cens i no pas un mostreig, tot i que hi van participar alumnes de $15$ instituts diferents.

2. La variable $X$ analitzada va ser quantitativa contínua, i els valors obtinguts van oscil·lar entre $42,5$ i $118,4$.

3. La variable $Y$ analitzada va ser qualitativa ordinal, i cap individu no va assolir la categoria més alta possible.

1. a) Reconstrueix un context real i coherent per a aquest estudi: defineix qui és la població, qui és l'individu i què podrien mesurar exactament les variables $X$ i $Y$ perquè les tres afirmacions siguin certes alhora.
2. b) Explica per què en aquesta situació concreta va ser factible fer un cens en comptes de prendre una mostra, i què canviaria si l'objectiu fos conèixer aquestes mateixes variables per a tots els joves de la província.
3. c) Un diari provincial titula: «Els joves de la província obtenen una puntuació mitjana destacada en raonament lògic». Identifica el greu error conceptual que comet el periodista en confondre la població estudiada en el cens amb la població general de joves, i explica quin biaix invalida aquesta conclusió.