Exercicis: Problemes amb nombres enters

En una estació d'esquí dels Pirineus, el termòmetre marcava $-5^\circ\text{C}$ a les vuit del matí. Al migdia, la temperatura havia pujat $9^\circ\text{C}$. Quina temperatura marcava el termòmetre a les dotze del migdia?

El Marcos té $14$ € al seu compte bancari. Si fa una compra en una botiga d'aplicacions per al seu mòbil que costa $18$ €, quin serà el seu nou saldo? Expressa'l amb un nombre enter.

Un ascensor d'un centre comercial es troba a la planta $2$. Primer baixa $4$ plantes per anar a l'aparcament i després puja $3$ plantes per anar a les sales de cinema. A quina planta es troba el cinema?

Les plantes per sota de la planta baixa (planta $0$) es numeren com $-1$, $-2$, $-3$…, com mostra la figura.

Un escafandrista està fent una immersió a una profunditat de $12$ metres sota el nivell del mar. Si decideix descendir $15$ metres més per observar un coral, a quina profunditat es trobarà ara? Expressa-ho com un nombre enter.

Calcula la distància vertical que separa un helicòpter que vola a $250$ metres d'alçària sobre el nivell del mar d'un submarí que navega a $45$ metres de profunditat.

Un emperador romà va néixer l'any $27$ aC i va morir l'any $14$ dC. A quina edat va morir aquest emperador? (Suposa que ja havia complert anys en la data de la seva mort).

En un joc de taula, cada resposta correcta suma $10$ punts i cada error resta $15$ punts. Si l'Alba té $45$ punts i falla les tres preguntes següents, quina puntuació tindrà al final?

Una empresa de logística té una cambra frigorífica per a aliments congelats que es troba a una temperatura de $-18^\circ\text{C}$. A causa d'una fallada elèctrica, la temperatura comença a pujar $2^\circ\text{C}$ cada hora. Quina temperatura marcarà la cambra després de $5$ hores?

En una jornada d'hivern a Teruel, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar una temperatura mínima de $-4\ ^\circ\text{C}$ i una màxima d' $11\ ^\circ\text{C}$. La Lucía va calcular l'oscil·lació tèrmica (la diferència entre les dues temperatures) escrivint al seu quadern: «$11 - 4 = 7\ ^\circ\text{C}$ de variació». Identifica quin és el punt de referència ($0\ ^\circ\text{C}$), explica detalladament quin error conceptual va cometre la Lucía en ignorar el signe de la temperatura mínima i escriu l'operació correcta utilitzant el concepte de distància entre dos nombres enters, $|a - b|$, per determinar l'oscil·lació tèrmica real.

En un centre comercial de Sevilla, el nivell del carrer es considera la planta $0$. Deixes el cotxe a l'aparcament subterrani, a la planta $-3$. Des d'allà, puges $5$ plantes per anar a unes botigues de roba, després baixes $4$ plantes per accedir als cinemes i, finalment, puges $1$ planta per dinar a la terrassa. a) Abans de fer les operacions pas a pas, estima raonadament si acabaràs per sobre del nivell del carrer, al mateix carrer o al subterrani, comparant la suma total de plantes que puges amb la suma de les que baixes. b) Escriu una única expressió matemàtica amb nombres enters que reflecteixi tot el recorregut, calcula la planta final exacta i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

En una estació meteorològica d'alta muntanya, el termòmetre marcava $-12\ ^\circ\text{C}$ a les sis del matí. Al migdia, a causa de la sortida del sol, la temperatura va pujar $15\ ^\circ\text{C}$, però al vespre una tempesta va fer que baixés $8\ ^\circ\text{C}$.

Escriu una expressió amb nombres enters que representi aquesta situació i calcula la temperatura final en acabar el dia.

Un repartidor de menjar a domicili entra en un edifici i deixa la moto al tercer soterrani. Puja $7$ plantes per lliurar una comanda, després baixa $4$ plantes per recollir un altre paquet que li lliura un veí i, finalment, puja $2$ plantes més per fer l'últim lliurament.

En quina planta es troba el repartidor en acabar la seva feina? Expressa el soterrani com un nombre negatiu.

La Lucía té al seu compte bancari un saldo de $120\ €$. Durant el matí, el banc li carrega un rebut d'internet de $45\ €$ i ella fa una compra en una botiga de roba per valor de $82\ €$. A la tarda, el seu avi li fa un Bizum de $20\ €$.

Calcula el saldo final del compte de la Lucía i explica si es troba en "nombres vermells" (saldo negatiu) o no.

Un famós filòsof de l'antiga Grècia va néixer l'any $384$ aC i va morir l'any $322$ aC. Un historiador contemporani afirma que va viure més de $65$ anys.

Utilitzant la resta de nombres enters (considerant les dates aC com a nombres negatius), determina quants anys va viure i raona si l'historiador té raó.

Un submarí d'exploració està investigant una fossa marina a una profunditat de $125$ metres sota el nivell del mar. Per evitar un obstacle, ascendeix $40$ metres. Alhora, un ocell sobrevola la zona a una altura de $15$ metres sobre el nivell del mar.

1. a) Representa amb nombres enters la posició de l'ocell i la del submarí després d'ascendir.

1. b) Calcula la distància vertical que separa l'ocell del submarí en la seva posició final.

En un videojoc, cada nivell superat atorga $500$ punts, però cada vegada que el personatge perd una vida es resten $150$ punts i cada objecte màgic recollit suma $75$ punts.

Si un jugador ha superat $4$ nivells, ha perdut $3$ vides i ha recollit $12$ objectes màgics, quina és la seva puntuació total? Escriu el càlcul utilitzant operacions combinades amb nombres enters.

Un equip de futbol sala té un balanç de gols de $-15$. En els últims tres partits, els resultats han sigut:

• Partit 1: Van guanyar $4$ a $1$.

• Partit 2: Van perdre $0$ a $3$.

• Partit 3: Van empatar $2$ a $2$.

Quin és el balanç de gols de l'equip després d'aquests tres partits? (Recorda que el balanç és la diferència entre gols a favor i gols en contra).

Una empresa de logística té una cambra frigorífica per conservar aliments. La temperatura inicial de la cambra és de $4\ ^\circ\text{C}$. A causa d'una fallada elèctrica, la temperatura puja $3\ ^\circ\text{C}$ cada hora durant les primeres $5$ hores. Una vegada reparada la fallada, un sistema de refredament ràpid aconsegueix baixar la temperatura a raó de $5\ ^\circ\text{C}$ per hora.

Si el sistema de refredament funciona durant $4$ hores, quina serà la temperatura final de la cambra?

Un club d'atletisme escolar de Zaragoza porta el registre del seu compte bancari, on el saldo $0$ € indica que no hi ha fons ni deutes. Durant el mes d'octubre, el club paga $4$ inscripcions a competicions de $35$ € cadascuna, rep una subvenció municipal de $220$ € i compra material esportiu per valor de $150$ €. En acabar el mes, l'extracte del banc indica que el saldo final és de $-15$ € (estan en números vermells). Planteja una expressió amb nombres enters on figuri el saldo inicial desconegut com una incògnita o buit per omplir, i dedueix raonadament quin era el saldo del club en començar el mes.

L'estació de metro de Cuatro Caminos a Madrid compta amb una de les andanes més profundes de la xarxa, situada a una cota de $-45\text{ m}$ respecte a la superfície (nivell del carrer, $0\text{ m}$). Un operari de manteniment es troba en aquesta andana i puja en un muntacàrregues a una velocitat constant de $2\text{ m}$ per segon durant $12$ segons. Després, baixa per una escala de servei una distància de $7\text{ m}$ i, finalment, puja $15\text{ m}$ més per reparar un quadre de ventilació. a) Escriu una sola operació combinada amb nombres enters que determini la cota final de l'operari respecte al carrer, representant la pujada en el muntacàrregues mitjançant una multiplicació amb signe. b) A quina profunditat o alçària es troba el quadre de ventilació? c) Utilitzant el valor absolut a cada tram, calcula la distància total que ha recorregut l'operari en els seus desplaçaments.

Un creador de contingut en una plataforma d'streaming comença el mes amb un saldo de $-125$ € a causa de la compra d'un micròfon nou. Durant la primera setmana, rep donacions per valor de $450$ €. Tanmateix, la plataforma li cobra una comissió de $2$ € per cadascuna de les $15$ donacions rebudes. A més, ha de pagar $3$ subscripcions de programari de $12$ € cadascuna. Calcula el saldo final del creador en acabar la setmana i explica, mitjançant el concepte de valor absolut, quants diners totals s'han "mogut" (tant entrades com sortides) al seu compte.

L'esquema resumeix les dades de l'enunciat en l'ordre en què ocorren.

Un drons d'exploració meteorològica s'enlaira des d'una base situada en una muntanya a $+1200$ metres sobre el nivell del mar. La temperatura a la base és de $+8$ $^\circ C$. El drons ascendeix $600$ metres, on la temperatura baixa $5$ $^\circ C$ per cada $200$ metres d'ascens. Després, descendeix ràpidament fins a un avenc submarí situat a $-150$ metres respecte al nivell del mar.

1. Quina és la temperatura al punt més alt del vol?

2. Quina diferència d'altitud total hi ha entre el punt més alt assolit i el fons de l'avenc?

En un torneig d'eSports, la puntuació d'un equip es calcula de la manera següent: $+100$ punts per cada victòria, $-40$ punts per cada derrota i $-15$ punts per cada penalització de temps. L'equip "Cipher" ha jugat $24$ partides en total. Se sap que han guanyat el triple de partides de les que han perdut, i han rebut $6$ penalitzacions de temps. Escriu una sola expressió amb nombres enters que permeti calcular la puntuació final de l'equip i resol-la.

Una estació científica submarina té el seu centre de comandament al nivell $0$ (a nivell del mar). Disposa de plantes d'habitacions cap amunt (positives) i laboratoris cap avall (negatives). Un investigador surt de la seva cabina a la planta $+3$, baixa $8$ plantes per recollir unes mostres, després puja $5$ plantes per analitzar-les i finalment en baixa $4$ més per emmagatzemar-les al dipòsit de seguretat.

1. En quina planta es troba el dipòsit de seguretat?

2. Si cada planta mesura $4$ metres d'alçària, a quina profunditat (en metres) respecte al nivell del mar es troba l'investigador al final del seu trajecte?

Un arqueòleg estudia una civilització que va floreir l'any $450$ aC i va desaparèixer l'any $120$ dC. Durant les seves excavacions en una antiga torre, troba una inscripció al nivell superior, a $+18$ metres d'alçària, i una cambra oculta situada exactament a la mateixa distància del terra però cap avall (al subsòl).

1. Quants anys va durar aquesta civilització?

2. Si l'arqueòleg es troba a la cambra oculta i puja fins a la inscripció del nivell superior, quants metres ha recorregut en total? Escriu els nivells com a nombres enters.

En una cambra frigorífica d'alta precisió, la temperatura descendeix $3$ $^\circ C$ cada $15$ minuts fins a assolir la temperatura de conservació de $-24$ $^\circ C$. Si quan s'encén la cambra la temperatura interior era de $+12$ $^\circ C$:

1. Quantes hores han de passar perquè la cambra assoleixi els $-24$ $^\circ C$?

2. Si després d'assolir aquesta temperatura hi ha una fallada elèctrica i la temperatura puja $2$ $^\circ C$ cada hora, quina serà la temperatura després de $7$ hores d'avaria?

Un robot industrial es mou sobre un eix vertical. La seva programació l'obliga a repetir el cicle de moviments següent: pujar $12$ cm, baixar $15$ cm i pujar $7$ cm.

1. Si el robot repeteix aquest cicle $8$ vegades consecutives, quina és la seva posició final respecte al punt de partida?

2. Quina ha sigut la distància total (en valor absolut) que ha recorregut el robot després de completar els $8$ cicles?

La classe de 2n d'ESO està organitzant el viatge de fi de curs i porta el compte comú d'ingressos i despeses per trimestres. En el primer trimestre van guanyar $12000$ € amb la venda de calendaris. En el segon, van gastar $15000$ € en la reserva dels autobusos. En el tercer, les despeses van ser el doble que en el segon (el pagament de l'alberg). Perquè en acabar el curs la classe no es quedi en nombres vermells (saldo final igual a $0$ €), quant hauran de guanyar amb les activitats del quart trimestre? Escriu l'operació completa utilitzant nombres enters per representar els guanys i les despeses.

Al Parc Nacional de Picos de Europa, un grup de senderistes analitza els canvis de cota respecte al refugi de sortida (que es fixa com a punt de referència $0\text{ m}$). Durant la ruta fan quatre trams consecutius amb les següents variacions d'altitud: baixen $160\text{ m}$,Listen puges $420\text{ m}$, baixen $290\text{ m}$ i puges $130\text{ m}$. Per saber a quina altitud respecte al refugi es troben al final del dia i planificar l'esforç, dos senderistes proposen mètodes diferents: el mètode d'en Marcos consisteix a operar d'esquerra a dreta en ordre cronològic: $[((-160) + 420) - 290] + 130$; el mètode de la Sofía consisteix a agrupar d'una banda tots els ascensos i de l'altra tots els descensos: $(420 + 130) + [(-160) + (-290)]$. a) Calcula el resultat final amb tots dos mètodes i anomena les propietats de les operacions amb enters que asseguren que els dos resultats coincideixin. b) Si el guia de muntanya els demana calcular a més el «desnivell acumulat total» (la suma de tots els metres recorreguts tant de pujada com de baixada fent servir el valor absolut $|a|$), justifica quin dels dos mètodes facilita aquest càlcul sense haver de tornar a plantejar el problema des del principi i calcula aquest desnivell.

Un embassament de la conca hidrogràfica de l'Ebre pren com a nivell de referència ($0\text{ hm}^3$) la seva capacitat de reserva òptima. Un diumenge d'hivern a les 08:00, l'embassament se situa a $+18\text{ hm}^3$ respecte d'aquest nivell. A causa del desglaç als cims, l'embassament rep de manera contínua una aportació de $+14\text{ hm}^3$ per dia. Al mateix temps, per a abastament urbà i cabal ecològic, es desembassen de manera controlada $-21\text{ hm}^3$ per dia. a) Modela mitjançant una expressió amb operacions combinades la situació de l'embassament després de $5$ dies complets (el divendres a les 08:00). Explica si durant aquests $5$ dies l'embassament s'ha acostat o s'ha allunyat del nivell òptim, justificant la teva resposta amb el concepte de valor absolut. b) La confederació hidrogràfica necessita que el diumenge a les 08:00 (exactament $2$ dies després) l'embassament arribi exactament al nivell òptim ($0\text{ hm}^3$). Suposant que l'aportació per desglaç es manté invariable en $+14\text{ hm}^3$ diaris durant el cap de setmana, calcula mitjançant una expressió amb enters quants hectòmetres cúbics en total s'han de permetre desembassar al llarg d'aquests dos dies per assolir aquest objectiu.

Repte del tema. Com impacta el fred a la butxaca? Assumeix el paper de gestor energètic i elabora un informe de xoc contra la pobresa energètica.

1. Dades reals: Entra al web d'AEMET i registra les temperatures màxima i mínima de 5 localitats de l'interior o de muntanya amb registres sota zero. Identifica-les com a elements de $\mathbb{Z}$ i calcula l'oscil·lació tèrmica ($T_{\text{màx}} - T_{\text{mín}}$) de cadascuna.

2. Model de despesa: El cost base de calefacció diària és de $14,25$ €. Per cada grau sota zero de la temperatura mínima ($T_{\text{mín}} < 0$) s'afegeixen $1,30$ € de recàrrec, i per cada grau sobre zero de la temperatura màxima ($T_{\text{màx}} > 0$) es bonifiquen $0,65$ €. Planteja i resol les operacions combinades amb enters i decimals per trobar la despesa real diària de cada municipi.

3. Representació: Introdueix els registres en un full de càlcul, representa les temperatures en una recta numèrica i calcula la mitjana tèrmica de cada localitat, $\frac{T_{\text{màx}} + T_{\text{mín}}}{2}$ (amb decimals).

4. Proposta: Redacta una proposta raonada prioritzant a quina localitat assignar la partida econòmica d'ajuda.

Lliura un informe breu amb la teva taula, càlculs i gràfica.

Es valorarà:

• Ús rigorós del conjunt $\mathbb{Z}$ i càlcul correcte d'oscil·lacions.

• Precisió en les operacions combinades amb nombres decimals.

• Representació adequada de les dades a la recta numèrica.

• Justificació crítica i coherent de la proposta d'ajuda.