Exercicis: Operacions amb nombres enters

En una estació d'esquí de Sierra Nevada, el termòmetre marcava $-5^{\circ}C$ a les set del matí. Al migdia, la temperatura va pujar $12^{\circ}C$ i, en arribar la nit, va tornar a baixar $9^{\circ}C$. Quina temperatura marcava el termòmetre al final del dia? Escriu l'operació completa fent servir nombres enters.

Observa la recta numèrica següent i els moviments realitzats per un saltamartí partint des del punt $0$. Indica el nombre enter que correspon a cada posició final després de realitzar els salts representats.

1. a) A quin nombre arriba després del primer salt de $+4$?
2. b) En quin nombre aterra finalment després del segon moviment?

Calcula el valor absolut dels nombres següents i ordena'ls de menor a major:

$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$

Al teu compte d'estalvis per al viatge de fi de curs tens un saldo inicial de $45 €$. Durant la setmana realitzes els moviments següents:

• Ingresses $20 €$ que et va donar la teva àvia.

• Pagues una entrada de cinema que costa $9 €$.

• Compres un llibre de segona mà per $6 €$.

• Et retornen $3 €$ que havies deixat a un amic.

Calcula el saldo final utilitzant una expressió amb nombres positius i negatius.

Resol les multiplicacions i divisions següents aplicant correctament la regla dels signes:

1. a) $(+6) \cdot (-3) =$
2. b) $(-20) : (-5) =$
3. c) $(-8) \cdot (-4) =$
4. d) $(+35) : (-7) =$

Un repartidor entra en un edifici i aparca la seva furgoneta al segon soterrani (planta $-2$). Fa els trajectes següents:

1. Puja 5 plantes per lliurar un paquet.

2. Baixa 4 plantes per recollir una altra caixa.

3. Puja 7 plantes per al darrer lliurament.

Calcula en quina planta es troba el repartidor en acabar la feina. Ajuda't de l'esquema següent, on s'indica la planta de sortida; pots anar-hi marcant cada trajecte.

Calcula el resultat d'aquestes operacions combinades respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-15) : 3 - 4 =$
3. c) $8 - (-10) : 2 =$
4. d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$

Treu els parèntesis i calcula el resultat final de les expressions següents:

1. a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
2. b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
3. c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$

Mateo ha resolt a la pissarra la següent operació combinada amb nombres enters:

El seu desenvolupament pas a pas ha estat el següent:

1) $12 - 4 = 8$

2) Dins del claudàtor: $(-3) - 5 = -8$

3) Multiplica dins del claudàtor: $(-8) \cdot (-2) = 16$

4) Resultat final: $8 \cdot 16 = 128$

Identifica i explica de manera raonada els dos errors comesos per Mateo en relació amb la jerarquia de les operacions. A continuació, resol tu l'operació correctament pas a pas, aplicant amb cura les regles dels signes.

Considera la següent expressió amb nombres enters:

1. a) Abans de fer cap càlcul sobre el paper, estima raonadament si el resultat final serà un nombre positiu, negatiu o zero. Per a fer-ho, analitza mentalment la grandària acumulada dels termes que resten enfront dels que sumen.
2. b) Calcula el valor exacte pas a pas respectant la prioritat de les operacions i la regla dels signes.
3. c) Compara el teu resultat amb l'estimació inicial i argumenta per què la teua previsió era o no encertada.

En un videojoc de supervivència, un jugador comença amb $150$ punts d'energia. Per cada hora que passa explorant coves fosques, perd $25$ punts, però per cada "cristall de llum" que recull, guanya $40$ punts.

Si el jugador passa $4$ hores a les coves i aconsegueix recollir $3$ cristalls, escriu una expressió amb nombres enters que representi la seva energia final i calcula-la.

Calcula el resultat de les operacions combinades següents respectant la jerarquia i parant especial atenció als signes:

1. a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$

1. b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$

Un batiscaf d'investigació oceanogràfica es troba submergit a $-450$ metres respecte al nivell del mar. Realitza una maniobra en tres etapes:

1. Descendeix una distància equivalent a la tercera part de la seva profunditat actual.

2. Ascendeix $120$ metres per evitar un corrent tèrmic.

3. Descendeix el doble del que va ascendir en el pas anterior.

A quina profunditat es troba el batiscaf després de finalitzar la maniobra? Expressa-ho mitjançant una operació combinada de nombres enters.

Completa els buits amb el nombre enter corresponent perquè les igualtats siguin meves (certes):

1. a) $-15 + ( \square ) = -32$

1. b) $4 \cdot ( \square ) = -36$

1. c) $( \square ) : (-3) = +12$

1. d) $-10 - ( \square ) = -4$

Aplica la propietat distributiva per resoldre les expressions següents de dues formes diferents (operant primer el parèntesi i distribuint el factor):

1. a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$

1. b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$

1. c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$

En un compte bancari d'un jove estalviador, es registren els moviments següents en una setmana: un ingrés de $45$ €, un pagament amb targeta de $-12$ €, una transferència rebuda de $20$ € i tres càrrecs automàtics de subscripcions de $-9$ € cadascun.

Si en començar la setmana el saldo era de $-15$ €, quin és el saldo final? Escriu el procés utilitzant una suma de nombres positius i negatius.

Resol la piràmide numèrica de multiplicació següent. El valor de cada casella és el producte dels dos nombres enters situats just a sota.

Escriu una expressió matemàtica que utilitzi almenys una multiplicació, una divisió, una suma i uns parèntesis, de tal manera que el resultat final sigui $-10$.

A l'estació de l'AEMET de Molina de Aragón (Guadalajara), un dia d'hivern es van registrar les següents variacions tèrmiques:

• A les 4:00 h el termòmetre marcava $-9\,^{\circ}\text{C}$.

• Entre les 4:00 h i les 10:00 h la temperatura va ascendir a un ritme constant de $2\,^{\circ}\text{C}$ per hora.

• Entre les 10:00 h i les 16:00 h la temperatura va pujar en total uns altres $5\,^{\circ}\text{C}$.

• Des de les 16:00 h fins a les 23:00 h, l'entrada d'un front fred va causar una baixada constant de $3\,^{\circ}\text{C}$ cada hora.

1. a) Escriu una única expressió matemàtica combinada que reculla totes aquestes variacions per a calcular la temperatura a les 23:00 h.
2. b) Resol-la pas a pas aplicant la jerarquia de les operacions.
3. c) Justifica, a partir del signe del resultat obtingut, si a les 23:00 h l'aigua a l'exterior es trobaria congelada o en estat líquid.

Per a calcular el valor numèric de l'expressió:

dos estudiants de 2n d'ESO proposen dues estratègies diferents:

• Carlos diu: «El millor és aplicar la propietat distributiva: multiplicar $-7$ per cada sumand de l'interior del claudàtor i després sumar i restar els resultats».

• Lucía diu: «És molt més ràpid resoldre primer les operacions agrupades dins del claudàtor i després multiplicar el resultat per $-7$».

1. a) Resol l'expressió seguint amb detall el procediment de Carlos.
2. b) Resol l'expressió seguint amb detall el procediment de Lucía.
3. c) Compara tots dos camins: quin dels dos mètodes ha resultat més avantatjós en aquest cas? Explica quina particularitat numèrica tenien els sumands del claudàtor que justifica la teua elecció.

Resol la següent operació combinada parant especial atenció a la jerarquia de les operacions i a l'ús dels parèntesis, claudàtors i claus:

$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$

Calcula el valor que ha de tenir la incògnita $x$ perquè es compleixi la igualtat següent. Mostra tots els passos intermedis del teu raonament:

$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$

Una empresa tecnològica que cotitza en borsa va començar la setmana amb un valor per acció de $45$ €. Durant els cinc dies laborables, va patir les variacions diàries següents:

• Dilluns: puja $3$ €.

• Dimarts: baixa el doble del que va pujar el dilluns.

• Dimecres: perd $4$ €.

• Dijous: recupera la meitat del que es va perdre entre dimarts i dimecres.

• Divendres: puja el triple de la variació del dilluns.

Quin és el valor final de l'acció al tancament del divendres? Expressa tot el procés mitjançant una única operació amb nombres enters.

Utilitza la propietat distributiva de forma inversa (extreure factor comú) per calcular de la manera més ràpida i senzilla possible el resultat de l'expressió següent:

$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$

Una vegada extret el factor comú, resol el parèntesi i obtén el resultat final.

Un dron submarí d'exploració es troba submergit a una profunditat de $-150$ metres respecte al nivell del mar. Realitza els moviments següents:

1. Ascendeix $80$ metres per evitar un corrent.

2. Descendeix el triple del que acaba d'ascendir.

3. Torna a ascendir la meitat de la profunditat a la qual es trobava després del segon moviment.

Calcula la profunditat final del dron i expressa-ho amb una operació combinada que inclogui valors absoluts per a les distàncies recorregudes.

Simplifica l'expressió següent eliminant parèntesis i utilitzant les propietats del valor absolut i l'oposat:

$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$

En un gratacel molt alt, un operari de manteniment es troba al soterrani $-4$. Puja $12$ plantes per arreglar un aire condicionat. Després, baixa el doble de plantes de les que va pujar inicialment. Finalment, puja el valor absolut de la planta en què es troba en aquell moment per arribar a la seva última tasca.

En quina planta acaba l'operari la seva jornada laboral?

Completa els buits buits d'aquesta piràmide de nombres enters sabent que el valor de cada casella és igual a la suma dels dos nombres que té just a sota. Has de calcular primer les caselles de la base per poder completar la resta.

Es tenen els següents sis nombres enters: $\{-6, -4, -2, 3, 5, 8\}$.

Has de triar exactament quatre nombres diferents de la llista per a completar les caselles buides d'aquesta estructura, de manera que el resultat final siga exactament $-1$:

1. a) Troba quin nombre s'ha de col·locar a cada casella i escriu l'expressió completa sense repetir cap nombre dels triats.
2. b) Resol pas a pas l'expressió obtinguda justificant cada transformació segons la jerarquia operativa.
3. c) Sense canviar de posició ni substituir cap dels quatre nombres que has seleccionat, raona quin únic canvi de signe en un d'ells permetria que el resultat final fóra $+1$, recolzant-te en les propietats de la divisió de nombres enters.

Dos robots submarins de l'Instituto Español de Oceanografía (IEO) exploren una falla marina davant del Parc Natural de Cabo de Gata (Almeria):

• El robot Alpha parteix del nivell del mar ($0\text{ m}$) i descendeix a velocitat constant de $5\text{ m/min}$ durant $6\text{ minuts}$. Després, a causa d'un corrent, ascendeix $8\text{ metres}$ i, finalment, descendeix el doble dels metres que acaba d'ascendir.

• El robot Beta es troba situat a una cota de $-18\text{ metres}$ i rep l'ordre de desplaçar-se verticalment fins a situar-se exactament a la meitat de la profunditat final assolida pel robot Alpha.

1. a) Escriu una única operació combinada amb nombres enters que determine la cota final del robot Alpha i calcula'n el valor.
2. b) Determina la cota final del robot Beta i planteja una resta de nombres enters que expresse quants metres s'ha de desplaçar des de la seua cota inicial ($-18\text{ m}$) fins a la cota final. Interpreta el sentit del moviment a partir del signe d'aquesta resta.
3. c) La distància entre dues cotes $x$ i $y$ es defineix mitjançant el valor absolut de la seua diferència: $|x - y|$. Si la normativa de seguretat de la missió exigeix que la distància entre tots dos robots no supere en cap moment els $15\text{ metres}$, calcula la distància final entre Alpha i Beta i justifica si es compleix o s'incompleix la normativa.