Exercicis: El conjunt dels nombres enters

En una partida d'un videojoc de supervivència, les accions del teu personatge afecten els seus punts d'experiència. Expressa amb un nombre enter les situacions següents:

1. a) Trobes un cofre i guanyes $450$ punts.
2. b) Et derrota un enemic i perds $125$ punts.
3. c) Caus en una trampa i la teva puntuació baixa $50$ punts.
4. d) Completes una missió secundària i reps $80$ punts.

Calcula el valor absolut i l'oposat dels nombres enters següents:

1. a) $-14$
2. b) $+21$
3. c) $-5$
4. d) $+9$

Observa la recta numèrica següent i indica quins nombres enters corresponen als punts marcats amb les lletres $A$, $B$, $C$ i $D$.

Compara els parells de nombres següents utilitzant els signes $<$ (menor que) o $>$ (major que):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Un grup d'amics està mesurant la temperatura en diferents ciutats d'Europa en un dia d'hivern:

• Berlín: $-4 \text{ °C}$

• Madrid: $+9 \text{ °C}$

• Oslo: $-12 \text{ °C}$

• Roma: $+15 \text{ °C}$

• Zúrich: $-1 \text{ °C}$

Ordena les ciutats de la més freda a la més calorosa.

Dibuixa una recta numèrica a la teva llibreta i representa-hi els nombres enters següents:

$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica si les afirmacions següents són certes o falses:

1. a) El nombre $-7$ és un nombre natural ($\mathbb{N}$).
2. b) Tots els nombres naturals són també nombres enters ($\mathbb{Z}$).
3. c) El valor absolut d'un nombre sempre és positiu o zero.
4. d) L'oposat d'un nombre negatiu és sempre negatiu.

Ets en un centre comercial molt gran que té plantes per sobre i per sota del nivell del carrer (planta $0$).

1. a) Si ets a la planta $-3$ i puges $5$ pisos, en quina planta et trobes?

1. b) Si ets a la planta $2$ i baixes $3$ pisos, a quina planta arribes?

En Lucas té el punt $A(-4, 6)$ ubicat en un sistema de coordenades cartesianes i vol trobar el seu simètric respecte a l'eix $x$. Al seu quadern escriu l'explicació següent:

«Com que l'eix $x$ és la recta horitzontal, per fer una simetria respecte a aquest eix he de canviar el signe de la primera coordenada, que és l'horitzontal. Per tant, el punt simètric és $A'(4, 6)$».

1. a) Explica raonadament quin error conceptual comet en Lucas basant-te en la distància del punt a l'eix de simetria horitzontal.
2. b) Escriu les coordenades correctes del simètric d'$A$ respecte a l'eix $x$ i també les del seu simètric respecte a l'eix $y$.
3. c) Si un punt $B(0, -5)$ es troba sobre l'eix $y$, quin és el seu simètric respecte a aquest mateix eix? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de nombre oposat.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar els següents canvis tèrmics a l'estació de muntanya del Puerto de Navacerrada durant un dia d'hivern: a les 6:00 h el termòmetre marcava $5$ graus sota zero; a les 13:00 h la temperatura havia pujat $7$ ºC respecte al matí; finalment, a les 22:00 h el termòmetre va baixar $4$ ºC respecte al migdia.

1. a) Modela la situació assignant un nombre enter a la temperatura registrada en cadascun dels tres moments indicats ($6:00$ h, $13:00$ h i $22:00$ h).
2. b) Classifica cadascun dels tres nombres enters obtinguts indicant a quin conjunt pertanyen: als nombres naturals $\mathbb{N}$, només al conjunt $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, o a tots dos conjunts? Justifica la teva classificació recordant la relació $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
3. c) Un reporter de televisió afirma: «A les 13:00 h la temperatura va ser un nombre enter, però no natural». Raona si l'afirmació del reporter és correcta o falsa.

Associa un nombre enter a cadascuna de les situacions següents extretes de la vida quotidiana d'un adolescent:

1. a) El saldo de la teva targeta de transport després d'haver gastat $5$ € en viatges i tenir una recàrrega prèvia de $2$ €.
2. b) La posició d'un submarí d'exploració en un videojoc que es troba a $150$ metres sota el nivell del mar.
3. c) La temperatura d'una estació d'esquí que marca $4$ graus sota zero.
4. d) L'any en què s'estima que es va inventar l'àbac, aproximadament $500$ anys abans de Crist.
5. e) Baixar amb l'ascensor d'un centre comercial des de la planta dels cinemes (planta $3$) fins al pàrquing situat dues plantes més avall.

Observa la recta numèrica següent on s'han marcat diversos punts amb lletres. Identifica el nombre enter que correspon a cada lletra i, posteriorment, calcula el valor absolut de cadascun d'ells.

Escriu tots els nombres enters $x$ que compleixen simultàniament les dues condicions que s'indiquen a continuació:

1. El seu valor absolut és menor o igual que $4$: $|x| \le 4$.

2. Són més grans que l'oposat de $2$: $x > Op(+2)$.

En una ciutat d'alta muntanya, el servei meteorològic registra les temperatures següents al llarg d'un dia d'hivern:

• A les 06:00 h: $-8$ ºC.

• A les 12:00 h: La temperatura ha pujat $10$ ºC respecte a les 06:00 h.

• A les 20:00 h: La temperatura ha baixat $5$ ºC respecte a les 12:00 h.

• A les 00:00 h: La temperatura és l'oposat de la registrada a les 12:00 h.

Representa aquestes quatre temperatures en una recta numèrica i ordena-les de menor a major utilitzant el signe $<$.

Considera dos nombres enters $a$ i $b$. Es sap que $a$ és un nombre negatiu i $b$ és un nombre positiu. Indica si les afirmacions següents són sempre certes, a vegades certes o sempre falses, justificant la teva resposta amb un exemple:

1. a) $|a|$ és sempre més gran que $b$.
2. b) L'oposat de $b$ és sempre menor que $a$.
3. c) El valor absolut de $a$ és sempre un nombre positiu.
4. d) $b$ és sempre més gran que $a$.

Un dron de joguina es mou per un passadís recte que hem marcat com una recta numèrica. El punt d'enlairament és el $0$. El dron realitza els moviments correlatius següents:

1. Avança $+6$ metres.

2. Retrocedeix $10$ metres.

3. Es desplaça fins al punt oposat de la seva posició actual.

4. Finalment, avança fins a un punt el valor absolut del qual és $2$ i que està a l'esquerra de l'origen.

En quin punt de la recta es troba el dron al final del seu trajecte? Dibuixa'l en un esquema.

Ordena els nombres següents de menor a major posant en primer lloc els valors negatius i utilitzant els signes de desigualtat corresponents:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Completa la taula següent a la teva llibreta, omplint els buits buits perquè cada fila sigui coherent amb la definició de nombre enter, el seu oposat i el seu valor absolut:

Nombre ($z$)	Oposat ($Op(z)$)	Valor absolut ($|z|$)
$-12$
	$+7$
		$5$ (Si $z$ és positiu)
		$9$ (Si $z$ és negatiu)
$Op(-3)$

Volem definir un conjunt de nombres enters desconeguts mitjançant diverses condicions simultànies, de manera que els únics nombres de tot $\mathbb{Z}$ que les compleixin totes alhora siguin exactament $\{-6, -4, -2\}$.

Dissenya tres condicions que hagi de verificar un nombre enter $x$ per obtenir aquest resultat:

• La primera condició ha de delimitar un rang numèric utilitzant el valor absolut $|x|$.

• La segona condició ha de fer referència a la pertinença o no pertinença als conjunts $\mathbb{N}$ i $\mathbb{Z}$.

• La tercera condició ha d'exigir una propietat sobre la divisibilitat o paritat del nombre.

Un cop redactades les teves tres condicions:

1. a) Comprova pas a pas que els nombres $-6$, $-4$ i $-2$ compleixen simultàniament totes tres.
2. b) Escriu un nombre enter que compleixi les dues primeres condicions però no la tercera, demostrant que la teva tercera condició és imprescindible perquè no s'hi colin altres solucions.

Un robot submergible de l'Instituto Español de Oceanografía surt des d'una plataforma d'investigació situada a $+16\text{ m}$ sobre el nivell del mar. Per estudiar una falla marina realitza tres maniobres consecutives:

1. Baixa $38\text{ m}$ per calibrar les càmeres.

2. Torna a baixar $42\text{ m}$ més per recollir mostres del llit marí.

3. Puja una distància igual a la meitat de la suma dels metres que ha baixat en les dues maniobres anteriors.

1. a) Estima: Abans de realitzar operacions combinades pas a pas, raona si la posició final del robot es trobarà sobre la superfície del mar (enter positiu), exactament a la superfície ($0$) o sota el nivell del mar (enter negatiu). Explica breument en què et fixes per fer la teva estimació.
2. b) Calcula: Escriu l'expressió matemàtica amb nombres enters que representi tots els moviments i calcula la cota final exacta a la qual queda el robot.
3. c) Comprova: Compara la teva estimació inicial amb el valor obtingut. És coherent el resultat? Pertany la posició final al conjunt $\mathbb{N}$ o únicament al conjunt $\mathbb{Z}$?

Determina tots els nombres enters $x$ que compleixen simultàniament les tres condicions següents:

• El seu valor absolut és més gran que $5$ i menor o igual que $9$.

• El nombre $x$ no pertany al conjunt dels nombres naturals $\mathbb{N}$.

• $x$ és un nombre parell.

Representa gràficament a la recta numèrica el conjunt de solucions obtingudes. Pots fer servir com a guia aquesta recta, que està sense marcar:

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un submarí de recerca es troba a una profunditat de $-450$ metres respecte al nivell del mar. Llança una sonda vertical que puja $125$ metres per prendre una mostra, i posteriorment baixa el triple del que havia pujat.

1. a) Expressa mitjançant nombres enters cadascun dels moviments i la posició final de la sonda.
2. b) Calcula la distància absoluta entre la posició inicial del submarí i la posició final de la sonda.

En una quadrícula de coordenades, tres dels vèrtexs d'un rectangle són els punts $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ i $C(2, -1)$.

1. a) Determina les coordenades del quart vèrtex $D$ per completar el rectangle.
2. b) Calcula el perímetre del rectangle sabent que cada unitat de la quadrícula equival a $1$ metre.
3. c) Quin és el punt simètric del vèrtex $A$ respecte a l'eix d'abscisses (eix horitzontal)? Indica les seves coordenades com un nombre enter.

Raona si les afirmacions següents són verdaderes o falses, proporcionant un contraexemple en cas que siguin falses:

1. a) Si un nombre enter $a$ és menor que $b$, aleshores el valor absolut de $a$ sempre és menor que el valor absolut de $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) L'oposat del valor absolut de qualsevol nombre enter (diferent de zero) és sempre un nombre negatiu.
3. c) No existeix cap nombre enter el valor absolut del qual sigui igual al seu oposat.

Ats els nombres enters $a = -12$ i $b = +5$:

1. a) Calcula la distància entre ells a la recta numèrica.
2. b) Troba el nombre $c$ que estigui exactament a la mateixa distància de $a$ que de $b$. És $c$ un nombre enter? Justifica la teva resposta.
3. c) Si $d$ és un nombre tal que $|d| = |a| + |b|$, quins valors pot prendre $d$?

Escriu el nom d'un personatge històric que compleixi les condicions següents:

• Va néixer l'any $x$, on $x$ és l'oposat de $356$.

• Va morir l'any $y$, on $y$ és un nombre enter tal que $|y| = 323$ i $y < 0$.

• Calcula quants anys va viure aquest personatge sabent que no existeix l'any zero en el calendari gregorià (passa de l'1 aC a l'1 dC).

Es defineix una seqüència de nombres enters de la manera següent:

1. El primer terme és $a_1 = -5$.

2. El segon terme és l'oposat del valor absolut de $a_1$, augmentat en $2$ unitats.

3. El tercer terme és el valor absolut del segon terme, disminuït en $10$ unitats.

Calcula el quart terme si aquest és l'oposat de la suma dels tres termes anteriors.

Imagina que un termòmetre intel·ligent registra la temperatura màxima i mínima d'una ciutat. Un dia, la temperatura mínima va ser de $-8$ $^\circ C$. La temperatura màxima va ser un nombre enter $T$ que compleix:

• $|T| < 15$

• La diferència entre la màxima i la mínima (amplitud tèrmica) és de $12$ graus.

• $T$ és un nombre major que el seu oposat.

Quina va ser la temperatura màxima registrada? Indica totes les possibilitats si n'hi hagués.

En una classe de 2n d'ESO es planteja com esbrinar les coordenades del punt resultant després d'aplicar dues simetries consecutives a un punt genèric $P(x, y)$ amb coordenades enteres no nul·les: primer respecte a l'eix $x$ i després, al punt obtingut, respecte a l'eix $y$. Dos alumnes proposen camins diferents:

• Mètode d'en Sergio: Tria un punt concret, per exemple $P(-3, 5)$. Aplica la simetria respecte a l'eix $x$ i obté $P_1(-3, -5)$, i després la simetria respecte a l'eix $y$ sobre $P_1$, obtenint $P_2(3, -5)$. Com que observa que totes dues coordenades han canviat de signe respecte a $P$, conclou que aquesta regla serveix per a qualsevol punt del pla.

• Mètode de la Lucía: Aplica les regles algebraiques amb lletres: respecte a l'eix $x$, el punt $(x, y)$ es transforma en $(x, op(y)) = (x, -y)$; després, respecte a l'eix $y$, un punt $(a, b)$ es transforma en $(op(a), b) = (-a, b)$, de manera que en aplicar-ho a $(x, -y)$ s'obté $(-x, -y)$.

1. a) Avalua tots dos mètodes: quin dels dos demostra amb rigor matemàtic que la propietat és certa per a tots els nombres enters del pla i per què l'altre mètode només proporciona una conjectura particular?
2. b) Aplica la conclusió general per trobar directament les coordenades finals de $Q(15, -42)$ després d'aquestes dues reflexions successives, sense calcular el punt intermedi.
3. c) Si a continuació s'apliqués una tercera simetria, una altra vegada respecte a l'eix $x$, quines coordenades tindria el punt final en funció de les inicials $(x, y)$? A quina simetria simple equivalen aquestes tres reflexions juntes?

Durant un debat sobre les propietats dels nombres enters, la Irene assegura que les tres afirmacions següents són sempre veritables per a qualsevol nombre enter:

• Afirmació 1: «Si $a$ i $b$ son dos nombres enters qualssevol tals que $a < b$, aleshores obligatòriament $|a| < |b|»$.

• Afirmació 2: «Per a qualsevol nombre enter $n \in \mathbb{Z}$, el seu quadrat $n^2$ és sempre un nombre que pertany a $\mathbb{N}$ i a més compleix que $n^2 > n$».

• Afirmació 3: «Si a qualsevol nombre enter negatiu se li resta un altre nombre enter negatiu, el resultat sempre pertany a $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$ (és a dir, mai no pot donar un nombre natural)».

1. a) Recorda que per demostrar que una afirmació sobre tots els enters és falsa n'hi ha prou de trobar un únic contraexemple. Demostra que les tres afirmacions de la Irene són falses proporcionant un contraexemple numèric clar i específic per a cadascuna.
2. b) Explica l'error conceptual que comet la Irene en l'Afirmació 3 i redacta una condició precisa sobre els valors absoluts de tots dos nombres negatius perquè la seva resta sí que doni com a resultat un nombre enter positiu.