Exercicis: Problemes amb equacions

Si al triple d'un nombre li sumem $12$, obtenim com a resultat $48$. De quin nombre es tracta?

Volem posar un marc de fusta a una fotografia rectangular. Sabem que la llargada de la fotografia mesura $5 \text{ cm}$ més que l'amplada. Si per emmarcar-la hem necessitat un llistó de $70 \text{ cm}$ de longitud total (perímetre), quines són les dimensions de la fotografia?

En una botiga de videojocs, han venut el doble de consoles portàtils que de consoles de sobretaula. Si en total han venut $18$ consoles, quantes n'han venut de cada tipus?

Álvaro té $4$ anys més que la seva germana Lucía. Si la suma de les edats de tots dos és de $26$ anys, quina edat té cadascun dels germans?

Un pastor té una barreja d'ovelles i gallines al seu corral. Si comptem els caps hi ha un total de $20$, i si comptem les potes n'hi ha $64$. Quantes ovelles i quantes gallines hi ha al corral? (Recorda que les ovelles tenen $4$ potes i les gallines $2$).

Marta ha comprat $3$ samarretes iguals per a l'equip d'atletisme i uns pantalons d'esport que costaven $15 \text{ €}$. Si en total s'ha gastat $60 \text{ €}$, quant ha costat cada samarreta?

Troba tres nombres enters consecutius la suma dels quals sigui igual a $54$.

El perímetre d'un triangle isòsceles és de $40 \text{ cm}$. Si el costat desigual mesura $10 \text{ cm}$, quant mesura cadascun dels costats iguals?

En un problema de classe es demana calcular d'aquí a quants anys l'edat d'un pare serà el triple de la de la seva filla. La filla té actualment $12$ anys i el pare en té $40$. Mateo ha proposat la següent equació per resoldre'l: $40 + x = 3 \cdot 12 + x$.

1. a) Assenyala l'error conceptual que ha comès Mateo i explica amb les teves paraules per què el seu plantejament contradiu el fet que el temps transcorre per igual per a totes dues persones.
2. b) Escriu l'equació correcta que representa el problema i resol-la per esbrinar d'aquí a quants anys es complirà la condició.

Al teu institut tancaran amb una tanca una parcel·la rectangular destinada a l'hort escolar. Per la forma del terreny disponible, la llargada ha de mesurar exactament el triple que l'amplada. Al magatzem disposen d'una bobina de tanca metàl·lica de $64\text{ m}$ que es gastarà íntegrament per envoltar tot el perímetre.

1. a) Abans de plantejar cap equació, fes una estimació raonada: és possible que l'amplada de la parcel·la faci $10\text{ m}$ o més? Justifica la teva deducció sense calcular el valor exacte.
2. b) Defineix la incògnita, planteja l'equació corresponent al perímetre i troba les dimensions exactes de la parcel·la (amplada i llargada).
3. c) Comprova la solució obtinguda i confirma si encaixa amb la teva estimació prèvia.

En una xarxa social, el nombre de seguidors de l'Alba és el triple que el del seu germà Javier. Si l'Alba perdés $150$ seguidors i en Javier en guanyés $50$, tots dos tindrien exactament la mateixa quantitat. Quants seguidors té cadascun actualment?

Una pista de pàdel rectangular té un perímetre de $60$ metres. Sabent que la llargada de la pista mesura $6$ metres més que l'amplada, calcula les dimensions (llargada i amplada) d'aquesta pista.

L'edat d'una mare és actualment el triple que la del seu fill. Fa $6$ anys, la suma de les edats de tots dos era de $40$ anys. Quina edat tenen el fill i la mare en l'actualitat?

Marcos ha comprat un videojoc i uns auriculars per a la seva consola. Els auriculars li han costat $12$ € menys que el videojoc. Si el videojoc estigués rebaixat a la meitat del seu preu original, Marcos hauria pagat $48$ € per les dues coses juntes. Quin és el preu original de cada article?

Un agricultor vol tancar una parcel·la triangular per a les seves ovelles. Sabent que es tracta d'un triangle isòsceles, que el costat desigual mesura $5$ metres menys que cadascun dels costats iguals i que s'han necessitat $40$ metres de tanca en total, quant mesura cada costat de la parcel·la?

En una cafeteria, han barrejat cafè de Colòmbia, que costa $12$ €/kg, amb cafè del Brasil, que costa $8$ €/kg. Si han obtingut $20$ kg de barreja i el preu final d'aquesta és de $9$ €/kg, quants quilos de cafè de cada tipus han utilitzat?

Troba tres nombres enters consecutius tals que la suma dels dos primers sigui $15$ unitats més gran que el tercer nombre.

Calcula les dimensions d'un rectangle sabent que la seva base és $3$ cm més gran que la seva altura i que, si augmentem l'altura en $2$ cm, l'àrea del nou rectangle augmenta en $16$ $cm^2$.

En el transport urbà d'una ciutat espanyola, el bitllet senzill diürn d'autobús costa $1,40$ € i el bitllet de la línia nocturna costa $2,10$ €. Durant el mes passat, Irene va utilitzar l'autobús un total de $35$ vegades i l'extracte de la seva targeta moneder va reflectir una despesa total d'exactament $57,40$ €.

1. a) Defineix la incògnita principal indicant amb claredat què representa i expressa el nombre de viatges nocturns en funció d'aquesta incògnita.
2. b) Planteja una equació de primer grau que relacioni els bitllets consumits amb la despesa total i resol-la per saber quants viatges de cada tipus va fer Irene.
3. c) Comprova si els valors numèrics obtinguts tenen sentit a la vida real tenint en compte el tipus de solució que exigeix aquest problema.

Dissenyaràs un problema d'àlgebra per a l'examen del teu grup. L'enunciat ha de començar de la següent manera: «Actualment, Mario té el doble d'edat que la seva germana Clara...». La teva tasca consisteix a afegir una segona frase que descrigui una relació entre les edats que tindran tots dos d'aquí a $6$ anys (basada en la suma de les seves edats futures), de manera que en resoldre l'equació s'obtingui obligatòriament que Clara té avui $8$ anys.

1. a) Determina quina edat tindran Mario i Clara d'aquí a $6$ anys sabent que avui Clara té $8$ anys, i calcula quant sumaran les seves edats en aquest moment futur.
2. b) Redacta l'enunciat complet i coherent del problema incorporant aquesta dada numèrica.
3. c) Planteja l'equació a partir de l'enunciat que has escrit, resol-la pas a pas i demostra que la solució és, en efecte, $x = 8$.

Un laboratori de perfums vol crear una nova fragància barrejant dues essències. L'essència A costa $120$ €/litre i l'essència B costa $75$ €/litre. Han decidit que per obtenir un frasc de $250$ ml, el cost de la barreja ha de ser d'exactament $24,75$ €. Quina quantitat de cada essència, mesurada en mil·lilitres, ha de contenir el frasc?

En una competició de robòtica, un robot surt de la meta a una velocitat constant de $2$ m/s. Trenta segons després, un segon robot surt en la seva persecució a una velocitat de $3,5$ m/s. Si la pista té una longitud total de $150$ metres abans d'arribar a una zona d'obstacles, aconseguirà el segon robot atrapar el primer abans que aquest entri a la zona d'obstacles? Planteja l'equació i justifica la resposta calculant la distància d'atrapament.

Es vol dissenyar un jardí rectangular envoltat per un camí de rajoles de $2$ metres d'amplada de forma constant. El llarg del jardí és el doble que la seva amplada. Si sabem que l'àrea total que ocupa el camí de rajoles és de $112$ m$^2$, quines són les dimensions del jardí (amplada i llargada)?

Un nombre té dues xifres que sumen $12$. Si invertim l'ordre de les seves xifres, obtenim un nou nombre que és $18$ unitats més gran que el nombre original. Troba el nombre original utilitzant una equació amb una sola incògnita (Pista: recorda que un nombre de dues xifres es pot escriure com a $10x + y$).

L'edat d'un pare és avui el triple de la del seu fill. Fa $6$ anys, l'edat del pare era cinc vegades l'edat que tenia el seu fill en aquell moment. Quants anys han de transcórrer perquè la suma de les edats del pare i del fill sigui d'exactament $100$ anys?

Un dipòsit d'aigua s'omple mitjançant dues aixetes. L'aixeta A triga $6$ hores més que l'aixeta B a omplir el dipòsit per separat. Si s'obren totes dues alhora, el dipòsit s'omple en exactament $4$ hores. Calcula quant de temps trigaria l'aixeta B a omplir el dipòsit ella sola. (Aquest problema requereix resoldre una equació de segon grau).

Calcula el perímetre d'un triangle rectangle sabent que els seus tres costats vénen expressats per tres nombres naturals consecutius. (Pista: utilitza el teorema de Pitàgores $a^2 + b^2 = c^2$, on $c$ és el costat més gran).

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes i motos. Les furgonetes tenen $4$ rodes i les motos $2$. En total hi ha $24$ conductors (un per vehicle) i $64$ rodes. Per problemes logístics, el cost de manteniment diari és de $15$ € per furgoneta i $6$ € per moto. Si el pressupost total diari de manteniment és de $200$ €, quants conductors de furgoneta haurien de passar, com a mínim, a conduir motos per no excedir el pressupost sense canviar el nombre total de vehicles?

Durant la festa de final de curs de l'institut es van vendre a la cantina un total de $60$ entrepans per recaptar fons per al viatge. Els entrepans de truita es van cobrar a $2,20$ € cadascun i els de pernil ibèric a $2,80$ €. La recaptació total va ser de $147,60$ €.

Per esbrinar quants entrepans es van vendre de cada classe, dos estudiants proposen camins diferents:

• Sara diu: «Prefereixo fer servir només la incògnita $x$ per als de truita, expressar els de pernil com a $60 - x$ i resoldre una única equació de primer grau».

• David diu: «És més ordenat fer servir dues incògnites, $x$ per als de truita i $y$ per als de pernil, i plantejar un sistema de dues equacions lineals».

1. a) Planteja i resol el problema seguint de principi a fi el mètode proposat per Sara.
2. b) Planteja i resol el problema seguint de principi a fi el mètode proposat per David.
3. c) Compara tots dos procediments: quins avantatges i inconvenients presenta cada camí a l'hora de traduir les dades de l'enunciat i en executar les operacions algebraiques? Justifica quin recomanaries a un company que sol dubtar a l'hora d'aïllar.

La factura trimestral d'aigua d'un habitatge en una localitat espanyola inclou una quota fixa de servei de $18,50$ € i un cost per volum consumit. Per fomentar l'estalvi davant de la sequera, els primers $30\text{ m}^3$ d'aigua consumits durant el trimestre es cobren a $1,35$ €/$\text{m}^3$, mentre que qualsevol metre cúbic addicional per sobre d'aquest límit es factura a un preu penalitzat de $2,10$ €/$\text{m}^3$.

Una família ha rebut una factura trimestral amb un import total a pagar de $71,60$ €.

1. a) Demostra numèricament, abans de formular l'equació global, per què el consum d'aquesta família ha hagut de superar necessàriament els $30\text{ m}^3$.
2. b) Defineix la incògnita $x$, formula l'equació de primer grau que descriu la factura i calcula quants metres cúbics d'aigua va gastar la família durant el trimestre.
3. c) Si el trimestre següent la família aconsegueix reduir el seu volum de consum en $\text{m}^3$ a la meitat, l'import total en euros de la factura es reduirà també exactament a la meitat? Justifica la teva resposta analitzant algebraicament la influència del terme fix i del canvi de tram tarifari.

Repte del tema. Com optimitzaries l'espai i el consum de la teva zona d'estudi? Converteix-te en assessor d'eficiència domèstica resolent aquest repte a casa.

1. Presa de dades: Mesura amb cinta mètrica l'espai de la teva taula i consulta al web de REE (Red Eléctrica de España) el preu mitjà del kWh (aprox. $0,14$ €/kWh).

2. Energia i temps: Planteja un problema amb una equació de 1r grau per calcular quantes hores d'encesa amortitzen una bombeta LED enfront d'una tradicional. Després, resol un sistema de dues equacions lineals (per exemple, amb $x+y=24$) per repartir les hores del dia entre estudi i oci segons el cost energètic previst.

3. Disseny geomètric: Dissenya una base protectora rectangular per al terra sabent que la seva llargària ha de mesurar $0,5$ m més que la seva amplària ($x$). Planteja i resol una equació de 2n grau del tipus $x(x+0,5)=A$ fixant una àrea real $A$ adequada a la teva habitació.

4. Informe final: Elabora un informe breu (recolzat en GeoGebra per al plànol o en un full de càlcul per als costos) justificant les teves decisions amb les solucions matemàtiques obtingudes.

Es valorarà:

• Rigor en el plantejament i resolució algebraica d'equacions de 1r i 2n grau i sistemes.

• Ús coherent de dades reals i justificació de les solucions contextualitzades.

• Qualitat de l'informe i aprofitament d'eines digitals (GeoGebra o Calc/Excel).