Exercicis: Equacions de primer grau

Classifica les igualtats matemàtiques següents en identitats o equacions, explicant breument per què en cada cas:

1. a) $3x + 5 = 20$

1. b) $2(x + 1) = 2x + 2$

1. c) $x + x = 2x$

1. d) $x - 7 = 10$

Observa la balança següent que es troba en equilibri. Si els pesos circulars representen la incògnita $x$ i els pesos quadrats representen $1$ kg cadascun, escriu l'equació que representa la imatge i troba el valor de $x$ aplicant la lògica de l'equilibri (treure la mateixa quantitat a tots dos plats).

Comprova si els valors proposats per a la incògnita són solució de les equacions següents:

1. a) $2x - 3 = 7$ És $x = 5$ la solució?

1. b) $\frac{x}{4} + 1 = 6$ És $x = 20$ la solució?

1. c) $3(x - 2) = 12$ És $x = 4$ la solució?

Tradueix aquestes frases del llenguatge natural al llenguatge algebraic utilitzant la lletra $x$ per representar el nombre desconegut:

1. a) El doble d'un nombre més vuit és igual a vint.

1. b) La meitat d'un nombre menys cinc dona com a resultat tres.

1. c) Un nombre augmentat en set unitats és igual al seu triple.

1. d) La suma d'un nombre i el seu següent és quinze.

Resol mentalment aquestes equacions d'un sol pas aplicant la regla de la suma (el que està sumant passa restant i viceversa):

1. a) $x + 12 = 30$

1. b) $x - 8 = 15$

1. c) $7 + x = 2$

1. d) $x - 10 = -4$

Troba el valor de $x$ en les equacions següents aplicant la regla del producte (el que està multiplicant passa dividint i viceversa):

1. a) $5x = 45$

1. b) $\frac{x}{3} = 7$

1. c) $-2x = 14$

1. d) $\frac{2x}{5} = 4$

Resol les equacions senzilles següents de dos passos, agrupant primer els termes amb $x$ en un membre i els nombres en l'altre:

1. a) $3x + 4 = 19$

1. b) $5x - 2 = 13$

1. c) $10 - 2x = 4$

1. d) $25 = 4x + 1$

La Marta ha anat a la papereria i ha comprat 3 quaderns iguals. Si ha pagat amb un bitllet de $10$ € i li han retornat $1$ €, planteja una equació on $x$ sigui el preu d'un quadern i resol-la per saber quant ha costat cadascun.

En Marcos ha de resoldre l'equació $-3x + 8 = -7$. En el seu examen ha escrit el següent pas a pas:

• Pas 1: $-3x = -7 - 8$

• Pas 2: $-3x = -15$

• Pas 3: $x = \frac{-15}{3} = -5$

1. a) Assenyala en quin pas ha comès l'error i explica quina regla de la transposició de termes (o de la balança) ha aplicat de manera incorrecta.
2. b) Corregeix l'exercici resolent l'equació de manera adequada i comprova numèricament el teu resultat en l'equació inicial per demostrar que és la solució correcta.

Dissenya dues equacions de primer grau diferents que compleixin les condicions següents:

1. a) Una equació amb la incògnita $x$ a tots dos membres la solució de la qual sigui exactament $x = -4$. Explica breument com l'has construït assegurant l'equilibri de la igualtat.
2. b) Una equació de la forma $a \cdot x + b = c \cdot x + d$ (amb $a, b, c, d$ nombres enters no nuls) que no tingui solució, és a dir, que en simplificar-la resulti en una expressió del tipus $0x = k$ amb $k \neq 0$. Justifica per què ningú podria trobar un nombre que la compleixi.

Resol l'equació de primer grau següent aplicant correctament la propietat distributiva i l'agrupació de termes semblants:

$4(2x - 3) - 2(5 - 3x) = 3(x + 1) + 5$

Troba el valor de la incògnita $x$ en l'equació següent amb denominadors, simplificant prèviament mitjançant el càlcul del mínim comú múltiple:

$\frac{x - 3}{4} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 1}{9}$

El perímetre d'una pista de pàdel rectangular és de $56$ metres. Sabem que la longitud de la pista és $2$ metres més que el doble de la seva amplada. Calcula les dimensions de la pista plantejant una equació de primer grau.

En Marcos ha comprat en una botiga digital tres jocs d'estratègia i dos passis de batalla. Cada passi de batalla costa la meitat que un joc. Si en total ha pagat $70$ €, quin és el preu d'un joc i quin és el preu d'un passi de batalla?

L'edat d'una mare és el triple de la del seu fill. Fa $8$ anys, la suma de les edats de tots dos era de $48$ anys. Quina edat té actualment cadascun?

El nivell de bateria d'un telèfon mòbil disminueix de manera constant. Durant el matí s'ha consumit una quarta part de la càrrega total. A la tarda, s'ha gastat un terç del que quedava després del matí. Si encara queda un $50\,\%$ de bateria ($40$ unitats de càrrega), quina és la capacitat total de càrrega del telèfon?

Troba tres nombres enters consecutius tals que la suma del primer i el segon superi en $15$ unitats el tercer nombre.

Observa la balança següent en equilibri. Si totes les caixes blaves són iguals i pesen $x$ quilograms, i els pesos taronja indiquen el seu pes en kg, planteja i resol l'equació per trobar el valor de $x$.

Observa la següent equació amb parèntesis: $$4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) = 8$$

La Sara i el David proposen dues estratègies diferents per començar a resoldre-la:

• Mètode de la Sara: Aplica primer la propietat distributiva per treure el parèntesi multiplicant el 4 per cada terme interior, i després redueix a comú denominador.

• Mètode del David: Com que el 4 està multiplicant tot el membre esquerre, passa directament el 4 dividint al membre dret: $\frac{x}{3} - 1 = \frac{8}{4}$.

1. a) Resol l'equació seguint pas a pas el mètode de la Sara.
2. b) Resol l'equació seguint pas a pas el mètode del David.
3. c) Compara tots dos camins: quin resulta més directe i redueix el risc d'equivocar-se amb fraccions? Hauria estat vàlid el mètode del David si l'equació hagués estat $4 \cdot \left(\frac{x}{3} - 1\right) + 2 = 8$? Justifica la teva resposta.

En un servei municipal de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola, la tarifa per a usuaris sense abonament consta d'un import fix d'$1,20$ € per desbloqueig més $0,15$ € per cada minut de trajecte. En acabar el seu recorregut de tornada a casa, a en Carlos l'aplicació mòbil li cobra un total de $4,95$ €.

1. a) Escriu una equació de primer grau en què la incògnita $m$ representi la durada del trajecte en minuts.
2. b) Resol l'equació explicant quina operació realitzes a banda i banda de la igualtat a cada pas per aïllar la incògnita.
3. c) Les condicions del servei adverteixen que els trajectes que superin la mitja hora ($30$ minuts) tenen una penalització per ús excessiu. A partir de la teva solució, determina si en Carlos ha de pagar penalització o no, indicant quants minuts li van sobrar o li van faltar per assolir aquest límit.

Resol la següent equació de primer grau, parant una atenció especial als signes negatius davant de les fraccions i a l'ús del mínim comú múltiple per simplificar els denominadors:

Marcos i Lucía viuen en pobles diferents situats a una distància de $24 \text{ km}$. A les 10:00 del matí, Lucía surt cap al poble de Marcos en bicicleta a una velocitat constant de $18 \text{ km/h}$. Mitja hora més tard, Marcos surt a la trobada de Lucía en el seu patinet elèctric, viatjant a $25 \text{ km/h}$. A quina distància del poble de Lucía es creuaran i a quina hora tindrà lloc la trobada?

En un laboratori de química, es vol rebaixar la concentració d'una solució de neteja. Tenim $12 \text{ litres}$ d'un líquid que conté un $20\%$ d'alcohol pur. Quina quantitat d'aigua destil·lada (sense alcohol) hem d'afegir perquè la mescla final tingui una concentració d'alcohol de només el $15\%$?

Una empresa de disseny gràfic crea cartells rectangulars. En el seu últim model, la base mesura $10 \text{ cm}$ més que l'alçària. Per complir amb un nou estàndard, decideixen augmentar la base en $5 \text{ cm}$ i disminuir l'alçària en $2 \text{ cm}$. Si després d'aquests canvis el perímetre del nou cartell és de $110 \text{ cm}$, quines eren les dimensions originals del cartell?

L'edat actual d'un pare és el triple de la del seu fill. Fa cinc anys, la suma de les seves edats era la mateixa que l'edat que tindrà el pare d'aquí a deu anys. Quina edat tenen actualment el pare i el fill?

Un dipòsit d'aigua té dues aixetes d'ompliment i un desguàs. La primera aixeta pot omplir el dipòsit en $6 \text{ hores}$, i la segona aixeta en $4 \text{ hores}$. Si el dipòsit està ple, el desguàs pot buidar-lo per complet en $8 \text{ hores}$. Si obrim les dues aixetes d'ompliment i el desguàs alhora amb el dipòsit buit, quant de temps triguarà a omplir-se completament?

Un grup d'amics vol comprar un regal d'aniversari que té un preu fix. Si cadascú hi posa $12 \text{ €}$, els sobren $4 \text{ €}$ per a l'embolcall. Però si cadascú hi posa $10 \text{ €}$, els falten $12 \text{ €}$ per poder comprar-lo. Quants amics formen el grup i quant costa el regal?

Troba un nombre de tres xifres amb les característiques següents: la xifra de les desenes és el doble que la de les unitats, i la de les centenes és el triple que la de les unitats. Si sumem les tres xifres, el resultat és el mateix que si a la xifra de les centenes li restem la de les unitats i li sumem 8. Un cop plantejada l'equació, indica quin és el nombre. (Pista: anomena $x$ la xifra de les unitats).

En una estació meteorològica de muntanya de l'AEMET es registren $-2$ ºC a les 8:00 del matí. Per l'efecte de la insolació, la temperatura ascendeix a un ritme constant d'$1,5$ ºC per hora. Paral·lelament, en un observatori situat en un erm proper, la temperatura a les 8:00 era de $10$ ºC, però l'arribada d'una massa d'aire fred fa que descendeixi a raó de $0,5$ ºC per hora.

1. a) Abans de calcular res, estima de manera raonada si les temperatures de les dues estacions s'igualaran abans o després de les 13:00 (és a dir, un cop transcorregudes 5 hores des de les 8:00). Justifica la teva estimació comparant l'evolució aproximada de les dues temperatures.
2. b) Planteja una equació de primer grau on la incògnita $t$ representi el nombre d'hores transcorregudes des de les 8:00 necessàries perquè totes dues estacions marquin exactament la mateixa temperatura. Resol-la pas a pas.
3. c) Troba l'hora exacta del dia a la qual coincideixen i la temperatura que marcaran els termòmetres en aquell instant. Comprova si es confirma la teva estimació de l'apartat a) i si els valors obtinguts resulten coherents.

Es considera la següent equació de primer grau en la qual intervé un paràmetre desconegut $k$:

1. a) Aplica la propietat distributiva, agrupa els termes semblants i escriu l'equació en la forma reduïda $(A - k) \cdot x = B$, indicant els valors numèrics d'$A$ i de $B$.
2. b) Determina quin valor ha de prendre $k$ perquè l'equació no tingui solució (cas $0x = b$ amb $b \neq 0$). Raona per què per a aquest valor concret és impossible trobar cap $x$.
3. c) Existeix algun valor possible de $k$ que faci que l'equació tingui infinites solucions (identitat, cas $0x = 0$)? Justifica la teva conclusió analitzant els dos membres resultants de l'equació reduïda.