Exercicis: Fracció generatriu d'un nombre decimal

Classifica els nombres següents segons siguin decimals exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Després, indica per a cadascun quina és la seva part entera i, si en tenen, el seu període i el seu anteperíode.

1. a) $2,75$

1. b) $1,\widehat{6}$

1. c) $0,1\widehat{25}$

1. d) $34,\widehat{09}$

Calcula la fracció generatriu d'aquests decimals exactes. No t'oblidis de simplificar la fracció fins a arribar a la fracció irreductible.

1. a) $0,8$
2. b) $1,25$
3. c) $0,064$
4. d) $12,5$

Troba la fracció generatriu dels nombres decimals periòdics purs següents:

1. a) $0,\widehat{4}$
2. b) $0,\widehat{15}$
3. c) $2,\widehat{3}$
4. d) $1,\widehat{72}$

Expressa en forma de fracció irreductible els decimals periòdics mixtos següents:

1. a) $0,1\widehat{6}$
2. b) $1,2\widehat{3}$
3. c) $0,0\widehat{5}$
4. d) $2,1\widehat{45}$

Un rellotge intel·ligent marca que has completat el $0,65$ del teu objectiu diari de passos, com mostra l'anell de la figura. Quina fracció del total de passos representa aquesta quantitat? Expressa el resultat com una fracció irreductible.

Ahir va ploure molt i el pluviòmetre de l'institut va recollir un total de $3,\widehat{3}$ litres per metre quadrat. Com expressaries aquesta quantitat exacta d'aigua fent servir una fracció?

La Amina i el Marcos estan comparant quant han avançat en la lectura d'un llibre. La Amina diu que ha llegit $\frac{3}{4}$ del llibre, i el Marcos diu que n'ha llegit $0,75$ parts.

Calcula la fracció generatriu del nombre del Marcos i comprova si realment han llegit el mateix.

Calcula el resultat de la il·lustració següent operació passant primer els nombres decimals a fracció generatriu i operant després:

Per trobar la fracció generatriu del nombre decimal periòdic mixt $0,2\widehat{5}$, en Marcos escriu a la pissarra el procediment següent:

Quan el professor li pregunta, en Marcos es justifica dient: «El numerador és la resta de les xifres sense coma menys la part no periòdica, i al denominador hi poso dos nous perquè darrere de la coma hi ha en total dues xifres decimals».

1. a) Explica de manera raonada quin error conceptual ha comès en Marcos en determinar el denominador de la fracció.
2. b) Escriu la regla correcta per a aquest tipus de nombres i calcula la fracció generatriu irreductible de $0,2\widehat{5}$.
3. c) Comprova que el teu resultat és el correcte fent a mà la divisió del teu numerador entre el teu denominador fins a obtenir almenys tres xifres decimals.

Es proposa calcular el valor exacte de la suma següent de nombres decimals periòdics purs:

1. a) Sense fer servir paper ni llapis per operar, fes una estimació mental ràpida del resultat arrodonint cada sumand a les dècimes (una sola xifra decimal). Quin valor aproximat obtens?
2. b) Determina la fracció generatriu de cadascun dels dos sumands i suma-les per obtenir el resultat exacte en forma de fracció irreductible.
3. c) Escriu el resultat exacte com a nombre enter o decimal. Compara'l amb la teva estimació de l'apartat a) i explica per què en matemàtiques és imprescindible utilitzar fraccions generatrius en operar amb infinites xifres decimals periòdiques.

En un videojoc popular d'estratègia, la velocitat d'atac d'un heroi s'incrementa en un factor de $1,75$ i la seva defensa es multiplica per $0,\hat{6}$. Per realitzar càlculs precisos en el motor del joc, els programadors necessiten treballar amb fraccions. Obtén les fraccions generatrius irreductibles de tots dos nombres per ajudar-los.

Observa la següent recta numèrica on s'han marcat dos punts, $A$ i $B$. El punt $A$ representa el nombre decimal $0,8\hat{3}$ i el punt $B$ representa el nombre $1,\hat{2}$.

Calcula la fracció generatriu de cada punt i troba la distància exacta que hi ha entre $A$ i $B$ expressada com una sola fracció irreductible.

Un "streamer" de Twitch ha calculat que la durada mitjana de les seves subscripcions és de $2,41\hat{6}$ mesos. Si vol expressar aquest temps de forma exacta per al seu informe trimestral:

1. Identifica de quin tipus de nombre decimal es tracta.

2. Calcula la seva fracció generatriu seguint els passos del mètode de les potències de 10.

3. Simplifica la fracció fins que sigui irreductible.

En una classe d'Educació Física, tres alumnes han cronometrat quant triguen a recorrer 100 metres llisos. Els temps obtinguts són:

• Sara: $12,5$ segons.

• Iván: $12,\hat{5}$ segons.

• Kenia: $12,0\hat{5}$ segons.

Expressa el temps de cada alumne en forma de fracció generatriu irreductible i ordena'ls de més ràpid a més lent.

Calcula el valor de la següent expressió de forma exacta. Per fer-ho, primer has de transformar cada nombre decimal en la seva respectiva fracció generatriu irreductible:

El dipòsit d'una aplicació de missatgeria ocupa actualment $3,875$ GB de la memòria d'un telèfon. L'usuari decideix esborrar fitxers i allibera un espai equivalent a $1,\hat{45}$ GB.

1. Calcula la fracció generatriu de l'espai ocupat inicialment.

2. Calcula la fracció generatriu de l'espai alliberat.

3. Quina fracció de GB queda ocupada al telèfon? Expressa el resultat com a fracció irreductible.

Un jove dissenyador gràfic està creant un logotip basat en cercles concèntrics. El radi del cercle interior ha de ser exactament $\frac{7}{9}$ del radi del cercle exterior. Si el radi del cercle exterior mesura $4,5$ cm:

1. Expressa el radi del cercle interior com un nombre decimal exacte.

2. Si l'àrea del cercle exterior es calcula com a $A = \pi \cdot r^2$, i fem servir l'aproximació $\pi \approx 3,14$, calcula l'àrea del cercle petit utilitzant sempre la fracció generatriu per obtenir la màxima precisió possible.

Es diu que un nombre és "curiós" si en sumar les xifres del seu numerador i del seu denominador en la fracció generatriu irreductible, obtenim el mateix valor. Comprova si els nombres $0,4\hat{6}$ i $1,\hat{3}$ són nombres "curiosos" realitzant el càlcul de les seves fraccions generatrius.

Troba la fracció generatriu del nombre decimal periòdic pur $12,\widehat{3}$. Per fer-ho, segueix el mètode algebraic anomenant $x$ al nombre i multiplicant per la potència de 10 adequada per restar les expressions i eliminar la part decimal. No oblidis simplificar el resultat.

Relaciona a la teva llibreta cada nombre decimal amb la seva fracció generatriu irreductible corresponent. Vigila, hi ha una fracció que no correspon a cap dels nombres:

Un sastre necessita comprar roba per confeccionar unes disfresses. El disseny requereix exactament $2,0\widehat{4}$ metres de roba blava. A la botiga, les peces de roba es venen només en mesures fraccionàries. Quina de les següents peces ha de triar el sastre si vol la mida exacta?

1. a) $\frac{202}{99}$ metres.
2. b) $\frac{37}{18}$ metres.
3. c) $\frac{92}{45}$ metres.

Observa la recta numèrica següent on s'han assenyalat tres punts: $A$, $B$ i $C$. El punt $B$ representa el nombre decimal $1,2\widehat{7}$. Troba la seva fracció generatriu irreductible i raona entre quins dos nombres enters es troba aquest punt.

A la factura de l'aigua d'un municipi espanyol, el comptador telemàtic d'un habitatge ha registrat un consum bimestral de $12,8\widehat{3}\text{ m}^3$. La tarifa de l'ajuntament estableix un preu d' $1,80\text{ €}$ per cada metre cúbic consumit, al qual cal afegir una quota fixa de servei de $5,50\text{ €}$.

1. a) Perquè la factura no contingui errors per arrodoniment de xifres infinites, el sistema informàtic ha de convertir la lectura del comptador en la seva fracció generatriu. Troba aquesta fracció irreductible de metres cúbics.
2. b) Expressa el preu del metre cúbic ($1,80\text{ €}$) com a fracció irreductible i calcula el cost exacte del consum d'aigua (sense la quota fixa) multiplicant ambdues fraccions.
3. c) Suma la quota fixa per obtenir l'import total exacte de la factura.
4. d) Si l'empresa hagués aproximat el consum a dues xifres decimals ($12,83\text{ m}^3$), quin hauria estat l'import final cobrat? Hauria sortit beneficiada la família o l'empresa subministradora? Justifica la teva resposta calculant la diferència exacta.

Es busca un nombre decimal periòdic pur $D = 0,\widehat{a}$ (on $a$ és una xifra de l'$1$ al $9$) que compleixi la condició següent: en multiplicar-lo pel decimal exacte $1,5$ i sumar-li després la fracció $\frac{1}{6}$, s'obté exactament el nombre enter $1$.

1. a) Escriu la fracció generatriu del nombre $D$ en funció de la incògnita $a$.
2. b) Converteix el nombre decimal exacte $1,5$ a fracció irreductible i planteja una equació amb totes les fraccions generatrius que tradueixi l'enunciat.
3. c) Resol l'equació per esbrinar el valor de la xifra $a$ i escriu el nombre decimal periòdic $D$ que es buscava.
4. d) Comprova el resultat substituint el valor trobat en l'operació combinada original i resolent-la pas a pas.

Calcula el valor exacte de la següent expressió combinada. Per evitar errors d'aproximació, transforma cada nombre decimal en la seva respectiva fracció generatriu abans d'operar i simplifica el resultat fins a obtenir una fracció irreductible:

Un jove programador està dissenyant un videojoc i necessita definir la probabilitat que aparegui un objecte rar. El codi requereix que la probabilitat s'introdueixi com una fracció irreductible, però el motor gràfic li retorna el valor en format decimal periòdic mixt: $P = 0,02\widehat{45}$.

Troba la fracció generatriu que ha d'introduir el programador i justifica si aquesta probabilitat és major o menor que $\frac{1}{40}$.

En una excavació arqueològica a l'antic Egipte, s'ha trobat una rajola quadrada la superfície de la qual mesura exactament $5,4\widehat{4}$ decímetres quadrats. Els arqueòlegs necessiten conèixer la mida del costat de la rajola per reconstruir el mosaic original.

Determina la longitud del costat en forma de fracció i, posteriorment, calcula el perímetre de la rajola expressant-lo com un nombre decimal.

Troba una xifra $x$ perquè el nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{x7}$ tingui com a fracció generatriu una expressió el denominador simplificat de la qual sigui $33$. Existeix més d'una solució? Justifica la teva resposta analitzant la suma de les xifres del numerador.

Un dron de vigilància recorre una distància de $14,2\widehat{7}$ quilòmetres en un temps de $0,3\widehat{8}$ hores. Per calcular la velocitat mitjana amb total precisió (sense arrodonir en passos intermedis), el sistema de control ha d'operar amb fraccions.

Calcula la velocitat mitjana del dron en km/h utilitzant les fraccions generatrius. Expressa el resultat final com un nombre enter o una fracció irreductible.

Dos dipòsits de productes químics contenen mescles diferents. El primer té $2,1\widehat{6}$ litres d'un reactiu i el segon té $1,8\widehat{3}$ litres. Si barregem tots dos continguts en un tercer recipient i, a causa de l'evaporació, es perd la quarta part del total de la mescla:

1. a) Quin volum de líquid queda al recipient? (Utilitza fraccions generatrius per al càlcul).
2. b) El resultat és un decimal exacte o periòdic?

Sabem que en el sistema de numeració decimal, el nombre $0,\widehat{9}$ és igual a $1$. Demostra-ho utilitzant l'algorisme de la fracció generatriu.

Tot seguit, utilitza aquesta mateixa lògica per raonar a quin nombre decimal exacte equival el decimal periòdic mixt $4,2\widehat{9}$ i comprova la teva resposta fent la suma $4,2 + 0,0\widehat{9}$ mitjançant fraccions.

Un satèl·lit envia dades en ràfegues de microsegons. Una ràfega dura $0,\widehat{142857}$ segons. El centre de control rep $2,1$ ràfegues per cada cicle de rellotge.

Si un cicle de rellotge dura exactament el que indica la suma d'aquestes ràfegues, calcula la durada d'un cicle expressant-la com una fracció irreductible.

Calcula el resultat exacte de la següent operació combinada. Per fer-ho, és imprescindible que obtinguis primer les fraccions generatrius de cada nombre decimal i simplifiquis els resultats intermedis:

Un agricultor ecològic ha dissenyat un dipòsit de reg que té la base rectangular. Les dimensions de la base són $2,\widehat{6}$ metres de llargada i $1,125$ metres d'amplada. Si vol instal·lar una lona protectora que cobreixi exactament tota la superfície de la base, quina ha de ser l'àrea d'aquesta lona? Expressa el resultat com una fracció irreductible de metre quadrat.

En una prova de laboratori, un científic barreja tres substàncies. La primera pesa $\frac{5}{9}$ de gram, la segona pesa $0,\widehat{4}$ grams i la tercera pesa $0,\widehat{09}$ grams. Demostra, utilitzant les fraccions generatrius, que la suma total de les tres substàncies és exactament $\frac{12}{11}$ de gram.

Troba el valor de la incògnita $x$ a la següent igualtat, expressant primer els nombres decimals com a fraccions:

Un concurs de televisió proposa el següent repte: "Cerca el nombre natural més petit, diferent de zero, que, en multiplicar-lo pel decimal periòdic mixt $0,1\widehat{36}$, doni com a resultat un nombre enter". Quin nombre és el que cerquen? Explica els passos que has seguit.

Tres germans han heretat una finca i se la reparteixen de la següent manera: el gran es queda amb $0,4\widehat{6}$ de la finca, el mitjà amb $0,3\widehat{18}$ i el petit amb la resta.

1. a) Calcula la fracció generatriu de la part que li correspon a cadascun dels dos germans grans.
2. b) Quina fracció del total li queda al germà petit? Expressa el resultat com a fracció irreductible.

Ordena de menor a major els següents nombres reals. Per poder comparar-los amb precisió, transforma tots els decimals en les seves fraccions generatrius i cerca un denominador comú:

Es sap que un camió cisterna transporta $12.000$ litres de llet. A la primera parada descarrega $0,2\widehat{3}$ del total. A la segona parada descarrega $\frac{3}{11}$ del que quedava.

1. a) Quants litres queden al camió després de la segona parada?
2. b) Expressa la quantitat total descarregada entre les dues parades, en litres, com un nombre decimal periòdic indicant si és pur o mixt.

Per calcular el valor exacte de l'expressió combinada:

Tres estudiants de 2n d'ESO debaten sobre quina és la millor estratègia:

• Daniel (Drecera decimal): Observa que $1,\widehat{6}$ i $0,\widehat{6}$ tenen exactament el mateix període, per la qual cosa proposa restar-los directament en format decimal ($1,\widehat{6} - 0,\widehat{6} = 1$) abans de passar a fracció.

• Sara (Mètode estàndard): Proposa passar des del primer moment tots i cadascun dels quatre nombres decimals periòdics a la seva fracció generatriu irreductible i operar únicament amb fraccions respectant la jerarquia.

• Lucas (Aproximació decimal): Proposa arrodonir cada nombre a dues xifres decimals ($1,67$; $0,67$; $0,33$; $2,17$), calcular el resultat amb decimals i després buscar a quina fracció s'assembla.

1. a) Desenvolupa el procediment complet segons el mètode de la Sara i troba el resultat exacte com una fracció irreductible.
2. b) Aplica la drecera d'en Daniel al numerador i completa la resta de l'operació. S'arriba al mateix resultat que amb el mètode de la Sara? Justifica matemàticament per què és lícita la drecera d'en Daniel en aquest cas concret i adverteix de quin perill tindria si els períodes no fossin idèntics.
3. c) Calcula el resultat numèric que obtindria en Lucas amb les seves aproximacions. Compara el seu valor amb el resultat exacte obtingut en els apartats anteriors i argumenta per què el mètode d'en Lucas no és acceptable en un càlcul exacte.

Considerem dos nombres decimals periòdics purs menors que $1$, formats per dues xifres en el període que estan invertides entre si: $N_1 = 0,\widehat{ab}$ i $N_2 = 0,\widehat{ba}$, on $a$ i $b$ són xifres diferents no nul·les tals que $a > b$.

1. a) Escriu la fracció generatriu de $N_1$ en funció de les xifres $a$ i $b$. Recorda que el nombre format per dues xifres $ab$ equival a $10a + b$.
2. b) Expressa la suma $N_1 + N_2$ mitjançant una única fracció algebraica i demostra que aquesta suma sempre es pot simplificar de manera que el seu denominador sigui $9$, amb independència de quines siguin les xifres $a$ i $b$.
3. c) Se sap que la suma exacta dels dos nombres és $N_1 + N_2 = 1,\widehat{2}$ i que la seva diferència exacta és $N_1 - N_2 = 0,\widehat{27}$.

1. Planteja un sistema de dues equacions amb dues incògnites ($a$ i $b$) a partir de les fraccions generatrius d'aquests resultats.

2. Resol el sistema per determinar de manera unívoca els valors de les xifres $a$ i $b$.

3. Escriu els nombres decimals periòdics originals $N_1$ i $N_2$ i comprova que es verifiquen totes les condicions inicials.