Exercicis: Concepte

En un laboratori de biologia, un alumne està mesurant el gruix de diferents fulles de plantes. Escriu amb xifres els següents nombres decimals obtinguts en les seves mesures:

1. a) Dotze unitats i vuit dècimes.
2. b) Set unitats i vint-i-cinc centèsimes.
3. c) Zero unitats i cent quatre mil·lèsimes.
4. d) Cinc unitats i nou deu-mil·lèsimes.

Classifica els següents nombres decimals indicant si són exactes, periòdics purs o periòdics mixts:

1. a) $4,25$
2. b) $7,\widehat{3}$
3. c) $1,02\widehat{5}$
4. d) $12,444...$
5. e) $0,123$
6. f) $5,6\widehat{12}$

Als Jocs Olímpics, els temps de natació es mesuren amb molta precisió. Un nedador ha trigat $48,052$ segons a completar una prova. Indica quin lloc ocupa cada xifra en aquest nombre:

• El $4$ ocupa les:

• El $8$ ocupa les:

• El $0$ ocupa les:

• El $5$ ocupa les:

• El $2$ ocupa les:

Observa la següent quadrícula que representa la unitat dividida en cent parts iguals. Indica quin nombre decimal representa la part ombrada en color taronja i com es llegeix aquest nombre.

Identifica quins nombres decimals estan representats per les lletres $A$, $B$ i $C$ a la següent recta numèrica:

Tres germans mesuren la seva alçada. Lucía mesura $1,54$ metres i Marcos mesura $1,55$ metres. Troba un nombre decimal que estigui comprès entre l'alçada de Lucía i la de Marcos.

Ordena els següents nombres decimals de menor a major:

En Marcos està ordenant nombres per a un examen i afirma el següent: «El nombre $0,19$ és més gran que $0,8$ perquè $19$ és un nombre molt més gran que $8$. A més, $0,8$ i $0,80$ representen quantitats diferents perquè el segon té més xifres decimals». a) Troba els dos errors de raonament que comet en Marcos i explica, utilitzant el valor de posició de les xifres (dècimes i centèsimes), per què les seves afirmacions són incorrectes. b) Escriu la comparació correcta entre $0,19$ i $0,8$ utilitzant el símbol adequat ($>$ o $<$) després d'igualar el seu nombre de xifres decimals.

Es demana que construeixis quatre nombres decimals diferents que estiguin compresos estrictament entre $3,4$ i $3,5$ (és a dir, més grans que $3,4$ i més petits que $3,5$). Cadascun ha de complir una de les condicions següents: a) Un nombre decimal exacte que tingui exactament tres xifres decimals. b) Un nombre decimal periòdic pur (recorda que el període ha de començar immediatament després de la coma). c) Un nombre decimal periòdic mixt (amb anteperíode i període). d) Un nombre irracional. Per a aquest últim, escriu les seves primeres set xifres decimals i explica quina regla o patró has seguit perquè mai no es repeteixi cap bloc de xifres.

Classifica els següents nombres decimals a la taula adjunta (Exacte, Periòdic pur, Periòdic mixt o Irracional):

• $3,141592...$ (Nombre $\pi$)

• $2,15$

• $7,444...$

• $0,1232323...$

• $\sqrt{2}$

• $5,0616161...$

En un campionat de Fórmula 1, els temps de classificació de quatre pilots per a una volta al circuit han estat els següents:

• Pilot A: $1:24,058\text{ s}$

• Pilot B: $1:24,5\text{ s}$

• Pilot C: $1:24,06\text{ s}$

• Pilot D: $1:24,0578\text{ s}$

Ordena els pilots de més ràpid a més lent utilitzant els signes $>$ o $<$ segons correspongui.

Dibuixa una recta numèrica al teu quadern i representa els nombres decimals següents. Per als nombres negatius, utilitza un color diferent del dels positius.

$A = 0,4$

$B = -0,25$

$C = 0,85$

$D = -0,7$

Et pot ajudar prendre la recta des de $-1$ fins a $1$, amb el $0$ al centre, i dividir cada unitat en 20 parts iguals, de manera que cada marca valgui $0,05$. Per exemple, si cada unitat ocupa 10 cm del quadern, cada marca estarà separada 0,5 cm. Escriu al costat de cada punt la seva lletra i el seu valor.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sense realitzar la divisió dels seus termes, indica quin tipus de nombre decimal generarà cadascuna de les següents fraccions (exacte o periòdic). Justifica la teva resposta analitzant els factors primers del denominador:

1. a) $\dfrac{7}{40}$
2. b) $\dfrac{5}{12}$
3. c) $\dfrac{11}{21}$
4. d) $\dfrac{3}{250}$

Observa la següent figura, on un quadrat d'àrea $1\text{ u}^2$ s'ha dividit en seccions.

1. a) Expressa en forma decimal la part ombrada en taronja.
2. b) Expressa en forma decimal la part que queda en blanc.
3. c) Quin tipus de nombres decimals has obtingut (exactes o periòdics)?

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat les precipitacions acumulades en litres per metre quadrat ($\text{l/m}^2$) durant una jornada de tempestes en quatre estacions de la Regió de Múrcia: Estació A: $24,\widehat{7}\text{ l/m}^2$; Estació B: $24,75\text{ l/m}^2$; Estació C: $24,7\widehat{5}\text{ l/m}^2$; Estació D: $24,\widehat{75}\text{ l/m}^2$. a) Escriu el desenvolupament de cadascun dels quatre registres amb almenys quatre xifres decimals i ordena'ls de major a menor precipitació utilitzant el símbol $>$. b) Per verificar els sensors, l'equip tècnic necessita introduir un valor de prova que sigui un nombre decimal exacte i que es trobi estrictament entre els dos registres més plujosos de la llista. Proposa un nombre que compleixi aquest requisit i justifica per què pertany a aquest interval.

Volem situar a la recta numèrica el nombre irracional $\sqrt{7}$, el valor exacte del qual té infinites xifres decimals no periòdiques. a) Sense utilitzar la calculadora, estima entre quins dos nombres enters consecutius es troba $\sqrt{7}$ a partir dels quadrats perfectes més propers. A continuació, estima raonadament entre quines dues dècimes consecutives ($2,5$ i $2,6$, o $2,6$ i $2,7$, etc.) s'ha de situar, comprovant a mà el quadrat d'aquestes dècimes. b) Sabent que el valor aproximat d'aquest nombre és $\sqrt{7} = 2,645751...$, comprova si la teva estimació per dècimes era correcta. c) Basant-te en la propietat de densitat dels decimals, proposa un nombre decimal exacte i un nombre decimal periòdic mixt que es trobin compresos entre $2,64$ i $\sqrt{7}$.

Ordena de menor a major els següents nombres decimals, justificant la teva resposta mitjançant l'expansió d'almenys quatre de les seves xifres decimals:

• $A = 2,3\hat{5}$

• $B = 2,\widehat{35}$

• $C = 2,35$

• $D = 2,35\hat{3}$

• $E = 2,355$

• $F = 2,353$

Un cop ordenats, troba un nombre decimal exacte i un nombre decimal periòdic pur que es trobin compresos entre els dos valors centrals de la teva llista.

En un laboratori de biologia, s'ha mesurat la mida d'un microorganisme i s'ha obtingut un valor de $0,04586$ mm. Per un error en el programari, el microscopi mostra aquest valor aproximat de dues formes diferents:

• Aproximació X: truncat a les mil·lèsimes.

• Aproximació Y: arrodonit a les mil·lèsimes.

Calcula l'error relatiu comès en cadascuna de les dues aproximacions. Quina de les dues estimacions és més precisa per a l'estudi científic? Justifica la teva resposta comparant els errors obtinguts.

Intercala tres nombres racionals (en forma de fracció) entre els nombres decimals $0,\hat{7}$ i $0,7\hat{8}$.

Per resoldre-ho, segueix aquests passos:

1. Obtén les fraccions generatrius de tots dos nombres.

2. Redueix aquestes fraccions a comú denominador.

3. Troba tres fraccions que se situïn entre elles i comprova que les seves expressions decimals compleixen la condició d'intercalació.

Representa a la recta numèrica de manera aproximada els nombres següents i determina de manera exacta quin d'ells és el més gran:

• $X = 1,4\hat{6}$

• $Y = \sqrt{2}$ (usa l'aproximació $1,4142...$)

• $Z = \frac{11}{7}$

Com que $\sqrt{2}$ és un nombre irracional, no té fracció generatriu. Per això:

• Per a $X$, calcula'n la fracció generatriu i compara-la amb $Z$ (per exemple, reduint-les a comú denominador).

• Per a $Y$, usa'n l'aproximació decimal i compara-la amb els altres dos.

Justifica la posició de cada nombre a la recta fent les divisions necessàries amb almenys tres xifres decimals. Usa la recta de la figura, on cada marca petita val $0,01$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Quatre velocistes han registrat marques en segons amb desenvolupaments decimals molt semblants: $A = 12,\widehat{34}\text{ s}$, $B = 12,3\widehat{4}\text{ s}$, $C = 12,3434\text{ s}$ i $D = 12,\widehat{343}\text{ s}$. Per ordenar-les de menor a major temps, dos jutges del campionat proposen camins diferents: El Jutge 1 proposa: «Arrodonim tots els temps a les centèsimes; així serà més ràpid i senzill ordenar». El Jutge 2 proposa: «Desenvolupem cada nombre fins a la seva cinquena xifra decimal i comparem columna a columna d'esquerra a dreta». a) Aplica la proposta del Jutge 1. És possible desempatar i classificar les quatre atletes amb el seu mètode? Explica detalladament què passa i per què aquest procediment falla en aquest cas. b) Aplica la proposta del Jutge 2, escriu el desenvolupament amb cinc xifres decimals de cada marca i ordena les atletes de menor a major utilitzant el símbol $<$. Justifica per què cinc xifres són suficients en aquest cas i per què, en general, comparar xifra a xifra fins a la primera xifra diferent no falla mai. c) Si una cinquena atleta registra un temps irracional amb les primeres xifres $12,343443444...\text{ s}$, entre quines dues atletes de la llista anterior es classificaria? Justifica-ho comparant la xifra decimal exacta en què es distingeix de les seves veïnes.

Durant un debat a classe sobre la propietat de densitat dels decimals, l'Álvaro afirma: «Entre $0,\widehat{2}$ i $0,23$ no hi cap cap altre nombre decimal perquè, en escriure $0,\widehat{2} = 0,222...$, després del $2$ a les centèsimes només pot venir el $3$, així que no queda cap forat al mig». a) Demostra que el raonament de l'Álvaro és fals: explica com el sistema de numeració decimal garanteix l'existència d'infinits valors intermedis i troba tres nombres de tipus diferents (un d'exacte, un de periòdic pur i un de periòdic mixt) que estiguin estrictament entre $0,\widehat{2}$ i $0,23$. b) Construeix un nombre irracional comprès en aquest mateix interval mostrant les seves primeres vuit xifres decimals. Explica amb precisió la regla de formació que has utilitzat per assegurar que les seves xifres mai no formin un període repetitiu i que no es pugui expressar com a fracció.