Exercicis: Aproximació i arrodoniment

En el sistema de numeració decimal, cada xifra té un valor segons la posició que ocupa. Donat el nombre $58,347$, indica quina xifra ocupa cada una de les posicions següents:

1. a) Les dècimes.
2. b) Les centèsimes.
3. c) Les mil·lèsimes.
4. d) Les unitats.

Estàs revisant els preus d'una botiga en línia i trobes un accessori per a la teva consola que costa $24,9632$ €. Aproxima aquest preu per truncament a les centèsimes (és a dir, als cèntims d'euro).

Un atleta ha registrat un temps de $10,438$ segons en una cursa de 100 metres llisos. Arrodoneix la seva marca a les centèsimes. Ha estat l'arrodoniment per excés o per defecte?

A classe de Tecnologia heu mesurat el gruix d'una peça amb un calibre digital, obtenint el valor $3,749$ mm. Aproxima aquest valor a les dècimes de dues formes diferents:

1. a) Mitjançant truncament.
2. b) Mitjançant arrodoniment.

Aproxima el nombre $0,666...$ (periòdic pur) de les maneres següents:

1. a) Truncant a les centèsimes.
2. b) Arrodonint a les centèsimes.
3. c) Arrodonint a les dècimes.

Observa la recta numèrica següent on s'ha marcat el punt $P$. Escriu el nombre decimal exacte que representa $P$ i després arrodoneix aquest valor a la unitat més propera (al nombre enter més pròxim).

Si el costat d'un quadrat mesura $6,8$ cm, estima la seva àrea arrodonint primer la mesura del costat al nombre enter més proper. Dibuixa un esquema del quadrat indicant la mesura aproximada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica si les afirmacions següents sobre l'aproximació de $4,572$ són verdaderes o falses:

1. a) El truncament a les dècimes és $4,5$.
2. b) L'arrodoniment a les dècimes és $4,5$.
3. c) L'arrodoniment a les centèsimes és $4,57$.
4. d) El truncament a les unitats és $4$.

En una classe de Matemàtiques de 2n d'ESO, dos alumnes intenten aproximar nombres decimals a les centèsimes cometent errades habituals:

• En Mateo ha d'arredonir $12,6449$ a les centèsimes i raona així: «Com que l'última xifra és un $9$, que és més gran o igual que $5$, fa pujar la xifra prèvia, que passa de $4$ a $5$; aquest $5$ torna a fer pujar la xifra prèvia; així vaig aplicant el canvi de dreta a esquerra en cadena fins a arribar a les centèsimes i obtinc $12,65$».

• La Sofía ha d'arredonir $8,3250$ a les centèsimes i afirma: «Com que la xifra següent a les centèsimes és un $5$, el nombre es queda igual en $8,32$, perquè davant d'un $5$ no s'ha d'alterar la xifra anterior».

1. a) Explica quina és l'errada en el procediment d'en Mateo (conegut com a «arredoniment en cascada») i indica quina és l'única xifra que determina l'arredoniment a les centèsimes.
2. b) Explica l'errada en l'afirmació de la Sofía i recorda quin és el conveni matemàtic internacional quan la xifra següent és un $5$.
3. c) Corregeix tots dos exercicis donant l'arredoniment correcte a les centèsimes per a cada nombre i indicant si l'aproximació obtinguda és per excés o per defecte.

Vas a una papereria amb una moneda de $2\text{ €}$ i un bitllet de $10\text{ €}$ (un total de $12\text{ €}$). Necessites comprar un compàs que costa $4,85\text{ €}$, un bloc de dibuix de $3,15\text{ €}$ i un joc d'escaire i cartabó de $3,90\text{ €}$.

1. a) Sense fer operacions per escrit ni fer servir calculadora, estima mentalment el cost total arredonint el preu de cada article a la unitat (euros sencers). Segons la teva estimació prèvia, et diners arriben per pagar?
2. b) Calcula ara el cost total exacte de la compra i determina l'error absolut que vas cometre en la teva estimació.
3. c) La teva estimació va ser per excés o per defecte? Raona si en la vida quotidiana, en fer la compra amb un pressupost límit, resulta més prudent arredonir els preus sempre cap amunt (per excés) en lloc de fer servir la regla estàndard d'arredoniment a la unitat més propera.

Completa la taula següent al teu quadern per al número $7,4628$. Per a cada cas, indica si l'aproximació obtinguda per arrodoniment és per defecte o per excés.

Un agricultor ha mesurat l'àrea de la seva parcel·la rectangular i ha obtingut un valor de $124,3756$ $m^2$.

1. a) Calcula el valor de l'àrea aproximant per arrodoniment a les centèsimes.
2. b) Calcula l'error absolut comès en fer aquesta aproximació. Recorda que l'error absolut és $E_a = |V_{real} - V_{aproximado}|$.

En una botiga d'informàtica, els preus de tres components són $15,99$ €, $32,45$ € i $12,80$ €.

Si decides estimar el cost total arrodonint a la unitat (euros) abans de sumar, quina és la diferència entre el preu real total i la teva estimació? Has estimat per excés o per defecte?

Representa en una recta numèrica el nombre decimal periòdic pur $2,\widehat{6}$. Per fer-ho:

1. a) Situa entre quins dos nombres enters es troba.
2. b) Indica quin nombre obtindries si arrodoneixes a les dècimes.
3. c) Quina és la cota d'error màxim que cometem en arrodonir a les dècimes?

Un sastre necessita comprar tela per fabricar 7 fundes de coixí. Cada funda requereix exactament $1,428$ metres de tela.

1. a) Calcula la quantitat total de tela necessària de manera exacta.
2. b) Si el sastre decideix comprar la tela arrodonint el total obtingut a les dècimes, li sobrarà o li faltarà tela? Calcula la quantitat exacta d'aquesta diferència.

Considera el número irracional $\pi \approx 3,14159265...$. A la figura pots veure el valor de cada posició decimal.

1. a) Fes un truncament a les deumil·lèsimes.

1. b) Fes un arrodoniment a les deumil·lèsimes.

1. c) Compara els dos resultats i explica per què en aquest cas particular l'arrodoniment i el truncament no coincideixen.

El temps oficial d'una cursa de 100 metres llisos es mesura amb mil·lèsimes de segon. Un corredor ha trigat $10,437$ segons.

1. a) Si a les notícies només informen del temps arrodonint a les centèsimes, quin temps diran?
2. b) Si un altre corredor ha trigat $10,432$ segons, quin temps li assignarien seguint el mateix criteri d'arrodoniment?
3. c) Seria just fer servir aquest arrodoniment si tots dos corredors competissin en la mateixa sèrie? Raona la teva resposta basant-te en la precisió.

Una empresa de transports calcula el cost del combustible per a un viatge llarg. El preu del gasoil és de $1,387$ €/litre i el camió consumeix $32,4$ litres cada 100 km. El viatge és de 450 km.

1. a) Calcula el cost total exacte del combustible per al viatge.
2. b) Si l'empresa estima el cost arrodonint el preu del litre a les centèsimes i el consum a unitats (litres), quin seria el pressupost estimat?
3. c) Calcula la diferència entre el cost real i l'estimat. És una estimació segura per a l'empresa (per excés) o arriscada (per defecte)?

Un nombre decimal positiu desconegut $x$ té exactament tres xifres decimals significatives (la seva expressió és de la forma $a,bcd$). Esbrina de quin nombre es tracta sabent que compleix de manera simultània les quatre condicions següents:

1. La seva part sencera és $6$.

2. El seu truncament a les dècimes és $6,3$.

3. El seu arredoniment a les centèsimes és $6,40$.

4. La suma de les seves tres xifres decimals ($b + c + d$) és exactament igual a $20$.

1. a) A partir de les condicions 2 i 3, dedueix de manera raonada quines xifres han d'ocupar obligatòriament les posicions de les dècimes ($b$) i de les centèsimes ($c$). Justifica per què la xifra de les centèsimes no pot ser un $4$.
2. b) Determina quines són totes les xifres possibles per a les mil·lèsimes ($d$) que fan que l'arredoniment a les centèsimes doni $6,40$.
3. c) Utilitza la condició 4 per trobar el valor definitiu del nombre $x$ i calcula l'error absolut que es comet si se substitueix aquest nombre pel seu arredoniment a les centèsimes.

En una fàbrica de fusteria metàl·lica es tallen perfils d'alumini per a finestres amb una màquina automàtica. L'operari pot configurar la màquina amb dos mètodes diferents d'aproximació als mil·límetres sencers:

• Mètode 1 (Truncament): talla el perfil suprimint sense més les dècimes de mil·límetre.

• Mètode 2 (Arredoniment): talla el perfil aplicant la regla matemàtica d'arredoniment a la unitat de mil·límetre més propera.

En una comanda s'han de tallar tres peces les mesures exactes de disseny de les quals són: Peça A: $120,3\text{ mm}$; Peça B: $120,5\text{ mm}$; Peça C: $120,9\text{ mm}$.

1. a) Determina la mesura de tall que produirà cada mètode per a les tres peces i calcula l'error absolut que es comet en cadascun dels sis talls.
2. b) Quin és l'error absolut màxim que es pot arribar a cometre amb el Mètode 1 per a qualsevol mesura decimal? I amb el Mètode 2?
3. c) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos és preferible utilitzar a la fàbrica si es vol minimitzar l'error màxim en els talls. Raona també si algun dels mètodes introdueix un biaix sistemàtic (tallar sempre per sota del requerit).

Un sensor de precisió en una central meteorològica registra la humitat relativa de l'aire. Per motius d'emmagatzematge de dades, el sistema informàtic arrodoneix automàticament el valor a les centèsimes. Si a la pantalla apareix un valor de $64,38\,\%$, determina l'interval exacte (valor mínim i valor màxim) en el qual es troba la humitat real captada pel sensor abans de ser arrodonida.

La figura mostra la recta numèrica amb el valor de la pantalla i els dos valors amb centèsimes que estan al seu costat.

La sonda espacial Voyager 1 es troba aproximadament a $2,348 \cdot 10^{10}$ quilòmetres de la Terra. Un astrònom decideix aproximar aquesta distància truncant el nombre a les unitats de miler de milió (és a dir, deixant només dues xifres significatives: $2,3 \cdot 10^{10}$ km).

A la figura s'han marcat sobre una recta els dos valors, l'exacte i l'aproximat.

Calcula l'error absolut i l'error relatiu comès amb aquesta aproximació. Expressa l'error relatiu en forma de percentatge arredonit a les mil·lèsimes.

En una fàbrica de components electrònics, una peça rectangular ha de fer $12,456$ mm de llargària i $8,321$ mm d'amplària. L'operari de la màquina arrodoneix totes dues mesures a les dècimes abans de fer el tall.

1. Calcula l'àrea de la peça amb les mesures originals (sense aproximar).

2. Calcula l'àrea de la peça amb les mesures arrodonides.

3. Determina l'error absolut comès en el càlcul de l'àrea a causa d'aquests arrodoniments previs.

Considera el nombre periòdic mixt $n = 4,12\widehat{6}$, és a dir, $n = 4,12666\ldots$ (el 6 es repeteix indefinidament).

1. a) Obtén la seva fracció generatriu simplificada al màxim.

1. b) Aproxima el nombre $n$ per arrodoniment a les mil·lèsimes.

1. c) Calcula la diferència, en valor absolut, entre el valor real (usant la fracció generatriu) i l'aproximació de l'apartat b). A quin concepte d'error correspon aquest resultat?

Un influencer està analitzant el creixement dels seus seguidors. El dilluns tenia $1.240.500$ seguidors. El dimarts, la seva audiència va créixer un $0,125\,\%$.

1. Calcula el nombre exacte de nous seguidors.

2. Si el sistema d'estadístiques només mostra nombres enters i utilitza el truncament, quin nombre de seguidors totals veurà l'influencer el dimarts?

3. Quin és l'error relatiu (en percentatge) que comet la plataforma en mostrar la dada truncada respecte al creixement real?

Volem dissenyar una placa quadrada l'àrea exacta de la qual sigui de $30$ cm². Com que no podem mesurar amb precisió infinita, aproximem el costat del quadrat ($\sqrt{30}$) mitjançant arrodoniment a les centèsimes.

1. a) Quin és el valor del costat aproximat?

1. b) Si fabriquem la placa amb aquest costat aproximat, quina serà la seva àrea real?

1. c) Calcula l'error absolut comès en l'àrea respecte als $30$ cm² originals.

S'estan comparant dos mètodes d'aproximació per al nombre irracional $\pi$.

• El mètode A utilitza l'arrodoniment a les deumil·lèsimes ($3,1416$).

• El mètode B utilitza la fracció d'Arquimedes $\frac{22}{7}$.

Calcula l'error absolut de cada mètode sabent que el valor de $\pi$ amb set decimals és $3,1415926$. Quin dels dos mètodes és més precís? Justifica la teva resposta comparant els errors.

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets. El programari de navegació estima el temps d'arribada dividint la distància per la velocitat mitjana.

Per a un trajecte de $15$ km a una velocitat de $35$ km/h:

1. Calcula el temps exacte en hores (en forma de fracció i en forma decimal periòdica).

2. El programari ofereix una estimació arrodonint el temps als minuts enters.

3. Calcula l'error relatiu que comet el programari en informar el client en minuts, comparant-lo amb el temps real (expressa tots dos temps en la mateixa unitat).

El Canal de Isabel II, entitat pública que gestiona els recursos hídrics a la Comunitat de Madrid, publica al seu butlletí oficial que l'aigua embassada a la regió ascendeix a $742,8\text{ hm}^3$ (hectòmetres cúbics), una dada que el sistema informàtic arrodoneix a les dècimes.

1. a) Escriu l'interval exacte $[V_{\text{mín}}, V_{\text{màx}})$ en el qual es troba el volum real d'aigua emmagatzemada abans de ser arredonit.
2. b) Sabent que $1\text{ hm}^3 = 1\,000\,000\text{ m}^3$ i que la població de la Comunitat consumeix una mitjana d'$1\,250\,000\text{ m}^3$ d'aigua al dia, calcula la diferència en dies d'abastiment entre el valor mínim i el valor màxim d'aquest interval.
3. c) Calcula la cota màxima de l'error absolut i l'error relatiu percentual màxim (arredonint aquest últim a tres xifres decimals) que pot tenir la dada publicada de $742,8\text{ hm}^3$ respecte al volum real.
4. d) A partir dels resultats anteriors, interpreta si un error d'arredonir a les dècimes és insignificant o crucial per a la planificació hidrològica a escala d'una comunitat autònoma.

En una planta d'envasament farmacèutic a Espanya es fa una auditoria de qualitat sobre dues línies de producció:

• Línia A: envasa vials de sèrum fisiològic de $20\text{ ml}$. El sensor d'ompliment registra una mostra real de $19,4\text{ ml}$ com a $20\text{ ml}$.

• Línia B: envasa garrafes de desinfectant hospitalari de $5000\text{ ml}$. El sensor registra una mostra real de $4980\text{ ml}$ com a $5000\text{ ml}$.

En Carlos, l'auditor en pràctiques, afirma en el seu informe preliminar:

«La línia A és molt més precisa i acceptable que la línia B, ja que l'error absolut comès a la línia A és de només $0,6\text{ ml}$, mentre que a la línia B l'error absolut és de $20\text{ ml}$, és a dir, més de trenta vegades més gran».

1. a) Localitza i explica la greu errada de concepte en el raonament d'en Carlos sobre la precisió dels dos processos.
2. b) Calcula l'error absolut i l'error relatiu percentual de cadascuna de les dues mesurades respecte als seus valors reals (arrodoneix els percentatges a les centèsimes).
3. c) A la vista dels errors relatius, desmenteix la conclusió d'en Carlos demostrant quina de les dues línies està cometent realment un error més gran en proporció a la mida del que mesura.
4. d) Si la normativa de qualitat de l'Agència Espanyola de Medicaments i Productes Sanitaris (AEMPS) exigeix que l'error relatiu d'envasament no superi en cap cas l'$1\,\%$, determina motivadament quina línia de producció superaria la inspecció i quina hauria de ser aturada i calibrada de nou.

Repte del tema. Com influeixen els decimals en la despesa energètica de casa? Auditaràs el cost de l'electricitat fent servir dades reals de Red Eléctrica de España (REE).

1. Recollida i conceptes: Entra al web de REE (esios.ree.es) i anota el preu voluntari per al petit consumidor ($€/\text{kWh}$) en tres trams del dia d'ahir: hora punta, pla i vall (per exemple, $0,18342$). Classifica cada nombre segons el seu tipus: exacte, periòdic pur o periòdic mixt.

2. Fracció generatriu i full de càlcul: Dissenya una taula en un full de càlcul. Suposa que un electrodomèstic de $1,45\text{ kW}$ de potència funciona durant $2,3$ hores en hora punta. Multiplica aquests valors decimals per trobar el consum total. Després, pren el preu mitjà del dia, expressa'l com a decimal periòdic simplificat i obtén al teu quadern la seva fracció generatriu per calcular el cost exacte en forma de fracció.

3. Aproximació i informe: Arrodoneix i trunca els imports calculats a les centèsimes ($0,01\text{ €}$, cèntims). Compara tots dos resultats calculant l'error comès i redacta una proposta breu (màxim una cara) amb recomanacions per reduir la factura familiar segons els trams analitzats.

Es valorarà:

• Identificació correcta del tipus de decimal i rigor en trobar la fracció generatriu.

• Precisió en les operacions amb decimals i ús eficient del full de càlcul.

• Correcció en les tècniques d'aproximació (arrodòniment i truncament) i anàlisi d'errors.

• Justificació coherent de la proposta d'estalvi a partir de les dades de REE.