Exercicis: Mesura del volum

Converteix a les unitats indicades:

a) $3\ \text{m}^3$ a decímetres cúbics.

b) $4\,500\ \text{dm}^3$ a metres cúbics.

c) $0,75\ \text{dm}^3$ a centímetres cúbics.

Expressa en decímetres cúbics: $3\ \text{m}^3\ 450\ \text{dm}^3\ 25\ \text{cm}^3$.

Expressa en forma complexa: $12\,345\,678\ \text{mm}^3$.

Completa a la teva llibreta:

a) $75\ \text{l} =$ ____ $\text{dm}^3$

b) $2\,500\ \text{cm}^3 =$ ____ litres

c) $0,5\ \text{m}^3 =$ ____ litres

En quina unitat expressaries el volum de cadascun d'aquests objectes? Tria entre $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$ i $\text{hm}^3$, i justifica la teva elecció:

a) Un terròs de sucre.

b) Una motxilla.

c) L'aigua d'un pantà.

d) Una piscina municipal.

Dels tres valors proposats per a cada volum, només un és raonable. Tria'l i justifica la teva resposta:

a) Una llauna de refresc: $3,3\ \text{cm}^3$, $330\ \text{cm}^3$ o $3,3\ \text{dm}^3$.

b) Una rentadora: $55\ \text{dm}^3$, $250\ \text{dm}^3$ o $2,5\ \text{m}^3$.

c) Un got d'aigua: $25$ ml, $250$ ml o $2,5$ l.

Observa l'escala d'unitats de volum de la figura.

a) Per quin nombre es multiplica en baixar un graó? I per quin es divideix en pujar-lo?

b) Fent servir l'escala, expressa $2,4\ \text{m}^3$ en decímetres cúbics i en centímetres cúbics.

Un dipòsit d'aigua té un volum de $2,5\ \text{m}^3$. Quants litres d'aigua hi caben? Quantes garrafes de $5$ litres se'n podrien omplir?

Nerea ha de convertir $3,4\text{ m}^3$ a litres per saber quanta aigua necessita una piscina infantil inflable. En la seva llibreta ha escrit el procediment següent:

«Com que $1\text{ dm}^3$ equival a $1\text{ litre}$, primer passo a decímetres cúbics: $3,4\text{ m}^3 = 340\text{ dm}^3$, perquè de metres a decímetres es baixa un graó i a la taula s'afegeix un zero o es corre la coma un lloc per cada dimensió del pla, és a dir, dos zeros. Per tant, hi caben $340\text{ litres}$».

a) Identifica l'error que ha comès Nerea en fer el canvi d'unitats de volum.

b) Recolzant-te en la idea d'un cub d'$1\text{ m}$ d'aresta format per cubets d'$1\text{ dm}$, explica per què en baixar un graó de volum es multiplica per $1\,000$ i no per $10$ ni per $100$.

c) Corregeix els càlculs de Nerea i determina la capacitat real de la piscina en litres.

Al laboratori de ciències hi ha un aquari amb forma d'ortoedre les mesures interiors del qual són $60\text{ cm}$ de llarg, $30\text{ cm}$ d'ample i $40\text{ cm}$ d'alt.

a) Abans de fer comptes detallats, fes una estimació ràpida: pensant que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$, creus que per omplir-lo es necessitaran més de $100$ ampolles d'aigua d'$1,5\text{ litres}$ o menys de $100$? Escriu la teva predicció raonada.

b) Converteix mentalment les tres dimensions a decímetres i calcula el volum exacte de l'aquari en decímetres cúbics i la seva capacitat en litres.

c) Calcula quantes ampolles d'$1,5\text{ litres}$ es necessiten amb exactitud per omplir-lo del tot i compara aquest valor amb la teva estimació inicial. Ha estat encertada la teva intuïció?

Expressa en metres cúbics i calcula: $2\ \text{dam}^3\ 15\ \text{m}^3 + 840\ \text{m}^3\ 250\ \text{dm}^3$. Expressa el resultat també en hectolitres.

Durant una tempesta han caigut $45$ litres per metre quadrat.

a) A quants mil·límetres d'altura d'aigua equival aquesta pluja?

b) Quants litres han caigut sobre un jardí de $60\ \text{m}^2$?

c) Quants metres cúbics són?

Un dipòsit conté $1,2\ \text{m}^3$ d'aigua. Quantes ampolles de $750$ ml es poden omplir amb aquesta aigua?

Una piscina desmuntable mesura $3\ \text{m}$ de llargària, $2\ \text{m}$ d'amplària i $0,75\ \text{m}$ de profunditat.

a) Quants litres d'aigua caben a la piscina?

b) Si s'omple amb una mànega que aboca $15$ litres per minut, quantes hores triga a omplir-se?

Un dipòsit buit pesa $12$ kg i, ple de gasoil, pesa $522$ kg. Si la densitat del gasoil és $0,85\ \text{kg/dm}^3$, quants litres de gasoil conté el dipòsit?

Per mesurar el volum d'una pedra, la submergim en un got cilíndric amb aigua, com es mostra a la figura. El diàmetre interior del got és $8$ cm i el nivell de l'aigua puja de $5$ cm a $8$ cm.

a) Quant ha pujat el nivell de l'aigua?

b) Calcula el volum de la pedra en centímetres cúbics (pren $\pi \approx 3,14$).

Una banyera està plena d'aigua fins a la vora. Marta s'hi introdueix i en vessen $35$ litres d'aigua.

a) Quin és el volum, en decímetres cúbics, de la part del cos de Marta que queda submergida?

b) Si Marta pesa $32$ kg, quina és la densitat mitjana del seu cos en $\text{kg/dm}^3$? Compara-la amb la densitat de l'aigua ($1\ \text{kg/dm}^3$) i explica per què pot surar.

Un bloc de suro té un volum de $25\ \text{dm}^3$ i una densitat de $0,24\ \text{kg/dm}^3$.

a) Quina és la seva massa?

b) Surarà en aigua? Raona la resposta comparant les densitats.

c) Quin volum de suro es necessitaria per tenir una massa de $30$ kg?

Una cooperativa de sucs dissenya un envàs de cartó amb forma d'ortoedre. Per complir la normativa comercial, l'envàs ha de contenir exactament $1\text{ litre}$ de suc i disposar a més d'un espai superior lliure de líquid de $50\text{ cm}^3$ perquè no es vessi en obrir-lo.

a) Quin ha de ser el volum interior total de l'envàs expressat en centímetres cúbics ($\text{cm}^3$)?

b) Si per raons ergonòmiques la base de l'envàs ha de ser un rectangle de $7\text{ cm}$ d'ample per $10\text{ cm}$ de llarg, quina alçada exacta ha de tenir la caixa?

c) Si la màquina envasadora no admet caixes de més de $12\text{ cm}$ d'alçada, proposa unes noves dimensions interiors enteres per al llarg, l'ample i l'alçada (en centímetres) que mantinguin amb exactitud el volum total necessari.

Per omplir el dipòsit de reg de l'hort escolar s'han recollit aigües de tres fonts diferents: un bidó aporta $0,45\text{ m}^3$, un altre recipient conté $280\text{ dm}^3$ i un col·lector pluvial aporta $70\,000\text{ cm}^3$. Volem saber quantes regadores de $8\text{ litres}$ es poden omplir amb tot el volum reunit. Dos alumnes proposen camins diferents:

• Camí de la Clara: Convertir prèviament cadascuna de les tres quantitats a decímetres cúbics (litres), sumar-les i dividir el total entre $8$.

• Camí d'en David: Expressar totes les quantitats en metres cúbics amb nombres decimals, sumar-les, passar la suma final a centímetres cúbics i dividir entre $8\,000\text{ cm}^3$.

a) Realitza els càlculs seguint pas a pas tots dos mètodes i comprova que s'arriba a la mateixa solució.

b) Quin dels dos mètodes consideres més eficient i segur per no equivocar-te desplaçant comes o afegint zeros? Justifica la teva elecció basant-te en les equivalències entre les unitats del Sistema Mètric Decimal i les de capacitat.

Una comunitat de regants consumeix en una setmana $1\ \text{dam}^3\ 260\ \text{m}^3$ d'aigua.

a) Expressa aquesta quantitat en litres.

b) Si el consum es reparteix a parts iguals entre els $7$ dies de la setmana, quants litres es consumeixen al dia?

c) Expressa el consum diari en metres cúbics.

Un bloc de formigó de $1,5\ \text{m} \times 0,8\ \text{m} \times 0,4\ \text{m}$ té una densitat de $2\,400\ \text{kg/m}^3$.

a) Calcula el seu volum i la seva massa.

b) Una grua pot aixecar fins a $1,5$ tones. Pot moure el bloc?

c) Podria moure dos blocs alhora? Justifica la resposta.

Diu la llegenda que Arquimedes va descobrir com comprovar si la corona del rei era d'or pur mesurant l'aigua que desplaçava en submergir-la. A la figura, una corona de $750$ g es submergeix en una proveta amb aigua.

a) Quin és el volum de la corona?

b) Calcula la seva densitat en $\text{g/cm}^3$.

c) Sabent que la densitat de l'or és $19,3\ \text{g/cm}^3$ i la de la plata és $10,5\ \text{g/cm}^3$, podria ser la corona d'or massís? Raona la resposta.

Un embassament té una capacitat de $0,45\ \text{km}^3$. Després d'un any de sequera està al $62\%$ de la seva capacitat.

a) Quants hectómetres cúbics d'aigua conté?

b) Quants litres són? Expressa el resultat en notació científica.

c) Quants hectómetres cúbics falten per omplir-lo del tot?

En convertir $2,5\ \text{m}^3$ a centímetres cúbics, Mihai escriu a la seva llibreta: $2,5\ \text{m}^3 = 2,5 \cdot 1\,000 = 2\,500\ \text{cm}^3$.

a) Explica l'error que ha comès.

b) Fes la conversió correcta.

c) Quants litres són $2,5\ \text{m}^3$?

Un garatge de $45\ \text{m}^2$ de superfície s'ha inundat i l'aigua arriba a $0,6\ \text{m}$ d'altura. S'extreu l'aigua amb una bomba que treu $45$ litres per minut.

a) Quants litres d'aigua hi ha al garatge?

b) Quant de temps trigarà la bomba a buidar-lo? Expressa el resultat en hores.

Raona si són verdaderes o falses aquestes afirmacions:

a) $1\ \text{dm}^3$ equival a $1$ litre.

b) $1\ \text{m}^3$ equival a $100$ litres.

c) $1\ \text{cm}^3$ d'aigua té una massa de $1$ gram.

d) Per passar de $\text{m}^3$ a $\text{cm}^3$ es multiplica per $1\,000$.

Un bloc de gel de $25\ \text{cm} \times 10\ \text{cm} \times 5\ \text{cm}$ té una densitat de $0,92\ \text{kg/dm}^3$.

a) Calcula el seu volum en decímetres cúbics.

b) Quina és la seva massa?

c) En fondre's, l'aigua resultant té una densitat de $1\ \text{kg/dm}^3$. Quin volum ocuparà? Ocupa més o menys que el gel? A què creus que es deu?

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra durant una tempesta de tardor una precipitació acumulada de $65\text{ l/m}^2$ en una localitat. La teulada del poliesportiu municipal és plana i té una superfície rectangular de $40\text{ m}$ de llarg per $25\text{ m}$ d'ample. Tota l'aigua que cau en aquesta teulada és conduïda cap a un aljub subterrani cúbic de $4\text{ m}$ d'aresta que, abans de l'inici de la pluja, ja contenia $12\,000\text{ litres}$ d'aigua.

a) Demostra raonadament, utilitzant el canvi d'unitats de volum i superfície, per què una precipitació d'$1\text{ l/m}^2$ equival exactament a una alçada o làmina d'aigua d'$1\text{ mm}$ de gruix.

b) Modela matemàticament la situació i calcula el volum d'aigua de pluja, en metres cúbics, que caurà sobre la teulada durant la tempesta.

c) Determina si l'aljub es desbordarà o si tindrà prou capacitat per emmagatzemar tota l'aigua recollida. Justifica la teva resposta indicant quants litres li faltaran per omplir-se o quants litres es desbordaran.

Per calcular el volum d'una escultura de bronze massissa i de forma molt irregular, se submergeix completament en un dipòsit ple d'aigua fins a la vora i es recull tot el líquid que sobreeïx en un recipient cúbic auxiliar de $20\text{ cm}$ d'aresta interior.

a) Sabent que l'aigua recollida omple exactament tres quartes parts del recipient auxiliar, calcula el volum de l'escultura en decímetres cúbics i expressa'l també en litres.

b) En pesar en una balança l'aigua desallotjada per l'escultura, l'instrument marca una massa de $6\text{ kg}$. Explica per què aquesta mesura de massa confirma que els càlculs de capacitat i volum de l'apartat anterior són correctes.

c) Es projecta fabricar una rèplica a escala $2:1$ d'aquesta escultura (és a dir, doblant cadascuna de les seves dimensions lineals: llargada, amplada i alçària). Un membre del taller afirma: «Com que és el doble de gran, submergir-la desallotjarà $12\text{ litres}$ d'aigua, que pesaran $12\text{ kg}$». Raona, a partir de com es calcula el volum en tres dimensions, per què aquesta afirmació és incorrecta i determina el volum real (en $\text{dm}^3$) i la massa d'aigua que desallotjarà la rèplica.

Repte del tema. Auditoria geomètrica i sostenibilitat al teu rebost.

1. Presa de dades: Tria a casa dos envasos d'ús quotidià: un políedre (com un brik o capsa de cereals) i un cos de revolució (una llauna cilíndrica o pot). Mesura amb un regle les seves dimensions en centímetres i anota la capacitat neta indicada a l'etiqueta (en $ml$ o $cl$).

2. Càlcul i equivalències: Modela tots dos a GeoGebra 3D o registra les seves dades en un full de càlcul. Troba l'àrea total ($cm^2$) i el volum teòric ($cm^3$) de cada cos. Converteix aquest volum a litres ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$) i compara'l amb el valor de l'etiqueta, justificant si hi ha discrepàncies degudes al gruix o a l'espai de seguretat.

3. Proposta raonada: Calcula la raó $\text{Àrea}/\text{Volum}$ per a tots dos envasos. Elabora un informe breu (una pàgina) proposant quina és la forma més eficient per comercialitzar $0,5\text{ L}$ de producte fent servir la menor quantitat possible de material i minimitzant la petjada ecològica.

Es valorarà:

• Precisió en les mesurades reals, càlcul algebraic d'àrees i volums, i equivalència correcta entre unitats de capacitat i volum.

• Ús rigorós d'eines digitals (full de càlcul o GeoGebra) per representar i analitzar els cossos tridimensionals.

• Qualitat de la proposta final i justificació matemàtica sobre l'optimització de l'embalatge.