Exercicis: Cossos de revolució

Imagina que enganches les figures planes següents a un escuradents i les fas girar ràpidament sobre ell. Identifica quin cos de revolució es genera en cada cas:

1. a) Un rectangle que gira sobre un dels seus costats.
2. b) Un triangle rectangle que gira sobre un dels seus catets.
3. c) Un semicercle que gira sobre el seu diàmetre.

En el dibuix següent d'un con, identifica el nom dels elements assenyalats amb les lletres $r$, $h$ i $g$. Explica breument què representa cadascun d'ells.

Una llauna de refresc cilíndrica té una altura de $12$ cm i el radi de la seva base mesura $3$ cm. Dibuixa de manera esquemàtica el seu desenvolupament pla (les figures que obtindries si tallessis la llauna i l'estenguessis sobre una taula) i indica les mesures conegudes al dibuix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per fabricar un barret de festa amb forma de con, necessitem conèixer la seva generatriu ($g$). Si el barret té una altura de $8$ cm i un radi a la base de $6$ cm, utilitza el teorema de Pitàgores per calcular quant ha de mesurar la generatriu.

Calcula el volum d'una bola de bitlles (que és una esfera perfecta) sabent que el seu radi mesura $11$ cm. Utilitza la fórmula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ i pren com a valor de $\pi \approx 3,14$.

Un pot de pilotes de tennis té forma de cilindre. La base té un diàmetre de $7$ cm i l'altura del pot és de $22$ cm. Calcula l'àrea de la superfície lateral del pot (sense comptar les tapes).

Identifica quin d'aquests desenvolupaments plans no podria formar mai un cilindre i explica per què.

Tens un cilindre i un con rectes. A la figura apareix, amb línia discontínua taronja, un tall horitzontal (paral·lel a la base) i, amb línia discontínua roja, un tall vertical que passa pel centre de les bases (l'eix del cos).

1. a) Si fem el tall horitzontal (paral·lel a la base) a un cilindre i a un con, quina figura geomètrica plana obtindrem a la secció del tall en cadascun?

1. b) Obtindrem la mateixa figura en cada cos si el tall és vertical i passa pel centre de les bases? Indica quina figura ix al cilindre i quina al con.

En Marcos vol construir amb cartolina un barret de festa amb forma de con per al festival de final de curs del seu institut. Al seu quadern escriu: «Com que el con es genera en girar un triangle rectangle sobre un dels seus catets, per fer la superfície lateral retallaré un triangle isòsceles la base del qual mesuri la longitud de la circumferència de la base i l'altura del qual sigui la del con; després ajuntaré els dos costats iguals». Explica de manera raonada quin error geomètric comet en Marcos i què passaria si intentés enrotllar aquest triangle. A continuació, anomena la figura geomètrica plana que constitueix realment el desenvolupament lateral d'un con i explica quin element del con (radi, altura o generatriu) coincideix amb el radi d'aquesta figura plana.

En enlairar amb cura l'etiqueta de paper que envolta completament i sense encavalcar-se la paret lateral d'un pot cilíndric de tomàquet fregit, es comprova que té forma de rectangle amb unes mesures de $31,4\text{ cm}$ de base i $10\text{ cm}$ d'altura. Sabent que aquest cilindre es genera en fer girar un rectangle al voltant d'un eix que coincideix amb un dels seus costats, dedueix de manera raonada les dimensions exactes (base i altura) d'aquest rectangle generador original (pren $\pi \approx 3,14$). Si volguéssim fabricar també les dues tapes metàl·liques circulars del pot, quin ha de ser el radi exacte de cadascuna perquè tanquin el cilindre a la perfecció?

Dibuixa al teu quadern el cos de revolució que es genera en fer girar la figura plana següent al voltant de l'eix indicat. Quin nom rep el cos obtingut? Descriu els seus elements principals (bases, altura i generatriu).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una marca de refrescs vol dissenyar una nova llauna cilíndrica. El radi de la base ha de ser de $3,5\text{ cm}$ i l'altura de la llauna de $12\text{ cm}$. Calcula la quantitat de metall (superfície total) necessària per fabricar una d'aquestes llaunes. Arrodoneix el resultat a dos decimals.

Per a una festa de disfresses, la Lucía està fabricant barrets en forma de con. Si cada barret té una generatriu de $25\text{ cm}$ i el diàmetre de la base és de $14\text{ cm}$, quina altura tindrà el barret? Utilitza el teorema de Pitàgores per trobar-la.

Calcula el volum d'una bola de gelat perfectament esfèrica que té un radi de $3\text{ cm}$. Si el gelat es desfà dins d'un recipient cilíndric de la mateixa base i la mateixa altura que l'esfera, quina altura assolirà el gelat líquid? (Suposa que el volum no varia en desfazer-se).

Un dipòsit d'aigua té forma de cilindre amb un radi de $2\text{ metres}$ i una altura de $5\text{ metres}$. Si el dipòsit està ple fins a les tres quartes parts de la seva capacitat, quants litres d'aigua conté? (Recorda que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litres}$).

Un con de senyalització de trànsit té una altura de $60\text{ cm}$ i un radi de la base de $15\text{ cm}$. Calcula la seva àrea lateral (la superfície que s'hauria de pintar de color taronja). Per fer-ho, primer hauràs de trobar la generatriu del con utilitzant el teorema de Pitàgores.

Es talla una taronja esfèrica de $10\text{ cm}$ de diàmetre per un pla que passa a una distància de $3\text{ cm}$ del centre. En separar els dos trosos, la secció del tall és un cercle. Calcula el radi d'aquest cercle de tall aplicant el teorema de Pitàgores en el triangle ombrejat.

Disposem d'un tros de cartolina amb forma de sector circular com el de la imatge. En unir els vorals rectes, formem la superfície lateral d'un con. Calcula l'àrea total d'aquest con sabent que el radi del sector (que serà la generatriu) és de $10\text{ cm}$ i que la longitud de l'arc és de $18,84\text{ cm}$.

Disposes d'una cartolina rectangular que mesura exactament $10\text{ cm}$ d'amplada per $20\text{ cm}$ de llargada. Imagina que la fas girar $360^\circ$ a l'espai: primer al voltant del seu costat de $10\text{ cm}$ (obtenint el cilindre $A$) i, en una segona prova, al voltant del seu costat de $20\text{ cm}$ (obtenint el cilindre $B$). Abans de fer cap càlcul, estima de manera raonada: quin dels dos cilindres creus que tindrà una superfície lateral més gran? I quin creus que tancarà un volum interior més gran? Anota la teva intuïció inicial. Després, comprova la teva estimació calculant l'àrea lateral de tots dos cilindres (deixa el resultat expressat en funció de $\pi$) i el volum de cadascun mitjançant la fórmula $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Per acabar, compara els resultats amb la teva previsió i explica matemàticament per què el radi té més impacte que l'altura en el volum d'un cilindre.

En una classe de tecnologia es vol construir a escala un con de senyalització viària la base circular del qual tingui un radi de $9\text{ cm}$ i l'altura del qual sigui de $12\text{ cm}$. Per retallar a la cartolina la peça corresponent a la superfície lateral, dues alumnes proposen camins diferents: la Irene calcula primer la generatriu $g$ mitjançant el teorema de Pitàgores i aplica directament la fórmula reduïda de l'àrea lateral: $A_{lat} = \pi \cdot r \cdot g$; per la seva banda, l'Alba calcula també la generatriu $g$, però després esbrina l'angle central $\alpha$ que ha de tenir el sector circular desplegat resolent la proporció $\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{g}$, i a continuació calcula l'àrea amb la fórmula general del sector circular: $A_{sector} = \frac{\pi \cdot g^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$. Fes els càlculs pas a pas fent servir tots dos mètodes (pren $\pi \approx 3,14$). Demostra algebraicament per què la fórmula directa de la Irene és equivalent al procediment de l'Alba. Si has de dibuixar el desenvolupament sobre la cartolina amb regle, compàs i transportador per muntar-lo físicament, quin dels dos mètodes et proporciona la informació indispensable per al traçat? Justifica la teva resposta.

Una empresa de perfums està dissenyant un nou flascó de vidre. El flascó té una base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de radi i $6 \text{ cm}$ d'alçària. Sobre aquesta base, es recolza un tronc de con la base superior del qual té $1 \text{ cm}$ de radi i la seva generatriu fa $5 \text{ cm}$. Sabent que el tap és una semiesfera perfecta que encaixa exactament a l'obertura superior d'$1 \text{ cm}$ de radi, calcula la superfície total exterior del flascó (sense comptar la base de suport).

Un corró industrial d'acer té forma de cilindre buit. El diàmetre exterior del corró és de $20 \text{ cm}$, el diàmetre interior és de $16 \text{ cm}$ i la seva longitud total és de $50 \text{ cm}$. Si la densitat de l'acer és de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcula la massa total del corró en quilograms. (Recorda que per trobar el volum del cilindre buit has de restar el volum del cilindre interior a l'exterior).

Per a una exhibició d'art, s'ha construït una peça de metall formada per un con que encaixa perfectament dins d'un cilindre de la mateixa altura ($12 \text{ cm}$) i el mateix radi de la base ($5 \text{ cm}$). El con està invertit, de manera que el seu vèrtex toca el centre de la base inferior del cilindre. Calcula el volum d'aigua que es necessitaria per omplir l'espai buit que queda entre les parets del cilindre i el con.

Un gelat de cucurutxo té forma de con de $15 \text{ cm}$ d'altura i $3 \text{ cm}$ de radi a l'obertura superior. S'hi col·loca una bola de gelat que és una esfera perfecta de $3,5 \text{ cm}$ de radi. A causa de la mida, una part de la bola queda fora del cucurutxo i una part en queda dins. Si la bola es recolza just al voral circular del con, quina distància hi ha des del punt més baix de la bola de gelat fins al vèrtex inferior del cucurutxo? (Utilitza el teorema de Pitàgores).

Una boia marítima està formada per la unió de dos cons idèntics per les seves bases. La longitud total de la boia de punta a punta és de $2 \text{ metres}$ i el diàmetre de la secció circular central on es uneixen és de $120 \text{ cm}$. Calcula el volum total de la boia en litres i la seva superfície exterior total.

Es talla una esfera de radi $13 \text{ cm}$ mitjançant un pla horitzontal que passa a una distància de $5 \text{ cm}$ del centre. Aquest tall genera un cercle (secció). Calcula l'àrea d'aquest cercle de tall i l'àrea del casquet esfèric superior resultant, sabent que la superfície d'un casquet esfèric es calcula com a $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, on $h$ és l'altura del casquet.

Un dipòsit d'aigua té forma de tronc de con invertit. El radi de la base superior (oberta) és de $4 \text{ metres}$ i el de la base inferior (fons) és de $2 \text{ metres}$. L'altura total del dipòsit és de $6 \text{ metres}$. Si el dipòsit s'omple fins a la meitat de la seva altura ($3 \text{ metres}$), utilitza la semblança de triangles per trobar el radi de la superfície de l'aigua en aquell moment i calcula el volum d'aigua acumulat.

Calcula el volum del cos generat en girar $360^\circ$ el polígon irregular següent al voltant de l'eix vertical indicat. El polígon està format per un rectangle de $2 \times 4 \text{ cm}$ i un triangle rectangle de base $3 \text{ cm}$ unit al seu lateral.

Una empresa de subministraments agrícoles de Tomelloso (Ciudad Real) encarrega el disseny d'una sitja vertical per emmagatzemar gra. L'estructura completa és un cos de revolució format per un cilindre inferior de $4\text{ m}$ de diàmetre exterior i $6\text{ m}$ d'altura, rematat per una coberta cònica superior amb la mateixa base circular i una altura d'$1,5\text{ m}$. En primer lloc, modelitza geomètricament la secció plana: descriu amb precisió quina figura plana poligonal (indicant les mesures de tots els seus costats) genera aquest cos complet en girar $360^\circ$ al voltant de l'eix vertical de simetria de la sitja. En segon lloc, per impermeabilitzar l'exterior, s'aplicarà una resina protectora sobre la paret cilíndrica vertical i sobre la teulada cònica (el terra i la unió horitzontal interna entre el cilindre i el con no es tracten). Calcula els metres quadrats totals de superfície que s'han d'impermeabilitzar (pren $\pi \approx 3,14$). Per acabar, si cada pot de resina costa $45\text{ €}$, rendeix exactament per cobrir $12\text{ m}^2$ i no es venen pots fraccionats, determina el pressupost mínim necessari si és obligatori aplicar dues capes completes a tota la superfície.

Un taller de disseny educatiu fabrica maquetes per explicar la geometria del planeta Terra i les projeccions cartogràfiques. Per construir la superfície lateral d'una cúpula cònica protectora, tallen sobre una làmina de plàstic un sector circular amb un radi de $20\text{ cm}$ i un angle central de $144^\circ$. Planteja i resol el problema invers: en corbar el sector circular unint les seves vores rectes per formar el con, calcula el radi de la base circular que s'obté i l'altura vertical que assolirà aquest con (arrodoneix l'altura a les dècimes de centímetre). D'altra banda, per a la maqueta esfèrica del globus terraqui, un estudiant de l'equip proposa: «Perquè els col·legis puguin retallar i muntar a classe una esfera perfecta de cartolina, podem imprimir el seu desenvolupament pla en una sola làmina rectangular contínua, igual que fem amb el cilindre i el con». Analitza i explica detalladament per què la proposta de l'estudiant és un error geomètric insalvable, basant-te en les propietats del desenvolupament pla de l'esfera i explicant què li passa inevitablement a qualsevol mapa pla del món quan intenta representar la superfície terrestre sense deformar-la.