Exercicis: Cossos rodons

Imagina que ets un dissenyador gràfic i estàs creant un logotip en 3D. Per a això, fas girar un rectangle de $5 \text{ cm}$ de base i $12 \text{ cm}$ d'altura al voltant d'un dels seus costats més llargs (el costat de $12 \text{ cm}$), com mostra la figura.

1. a) Dibuixa el cos de revolució que s'obté.

1. b) Identifica com es diuen els seus elements principals (base i altura) i indica quant mesura cadascun.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per a una festa de disfresses, vols fabricar un barret cònic. Has mesurat el radi de la base, que és de $9 \text{ cm}$, i l'altura del barret, que serà de $12 \text{ cm}$. Utilitza el Teorema de Pitegores per calcular la longitud de la generatriu ($g$) que necessitaràs per traçar el desenvolupament a la cartolina.

Una famosa marca de patates fregides utilitza pots cilíndrics. Si el radi de la base del pot és de $4 \text{ cm}$ i la seva altura és de $20 \text{ cm}$, calcula l'àrea de l'etiqueta de paper que envolta lateralment el pot (àrea lateral). Pren $\pi \approx 3,14$.

Una pilota de bàsquet té un diàmetre de $24 \text{ cm}$. Quina és la superfície total de cuir necessària per fabricar-la? Recorda que el radi és la meitat del diàmetre i utilitza la fórmula de l'àrea de l'esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Un pot de refresc té forma cilíndrica. El radi de la seva base mesura $3 \text{ cm}$ i la seva altura és de $12 \text{ cm}$. Calcula el volum de refresc que pot contenir si s'omple per complet. Expressa el resultat en centímetres cúbics ($cm^3$).

Observa les tres figures planes A, B i C. Cadascuna gira una volta completa al voltant de l'eix discontinu que té dibuixat. Identifica quina d'elles dona lloc a un tronc de con. Explica breument per què has triat aquesta opció.

Un cucurutxo de gelat té forma de con. Si l'àrea de la base és de $25 \text{ cm}^2$ i l'altura del cucurutxo és de $10 \text{ cm}$, calcula el seu volum. Recorda que el volum d'un con és la tercera part del volum d'un cilindre amb la mateixa base i altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

En una classe de geografia, observem un globus terraqüi. Si sabem que la longitud de l'equador (circumferència màxima) és d'aproximadament $62,8 \text{ cm}$, quin és el radi d'aquesta esfera? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

En Marcos està dissenyant un barret de festa amb forma de con per a l'aniversari de la seva germana. A la seva llibreta anota el següent: «El radi de la base circular és $r = 5\text{ cm}$ i l'alçària del barret és $h = 12\text{ cm}$. Per tant, per traçar el motlle de cartolina necessito que la generatriu mesuri exactament $g = 5 + 12 = 17\text{ cm}$, ja que la generatriu uneix la vora de la base amb la punta del con sumant totes dues distàncies».\n\na) Explica raonadament quin error conceptual ha comès en Marcos sobre la geometria interna del con. Quina figura geomètrica plana relaciona realment $r$, $h$ i $g$?\nb) Corregeix el seu càlcul determinant la longitud real que ha de tenir la generatriu $g$ del barret.

Una formatgeria artesanal de Castella-la Manxa elabora formatges amb forma de cilindre recte. Cada peça sencera té un diàmetre de $20\text{ cm}$ (radi $r = 10\text{ cm}$) i una alçària de $8\text{ cm}$. Per preparar un tast, el mestre formatger fa un tall pla net i vertical que passa de dalt a baix just pel centre exacte de les bases.\n\na) Abans de fer cap càlcul numèric, estima quina figura geomètrica plana apareixerà a la superfície del tall i si la seva àrea serà més gran, més petita o igual a $100\text{ cm}^2$. Justifica la teva predicció a simple vista a partir de les dimensions donades.\nb) Calcula amb exactitud les mesures dels costats d'aquesta secció plana i la seva àrea real. Comprova si la teva estimació era encertada i explica per què un tall perpendicular a les bases que passa per l'eix sempre produeix aquesta figura geomètrica.

Una empresa de refrescos vol dissenyar una nova llauna cilíndrica. El radi de la base ha de ser de $3,5\text{ cm}$ i l'altura de la llauna de $12\text{ cm}$. Calcula l'àrea total de la xapa necessària per fabricar una llauna (sense comptar les pestanyes de tancament) i el volum de refresc que pot contenir en mil·litres ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

S'està fabricant un envelat provisional per a un esdeveniment amb forma de con perfecte. L'altura de l'envelat des del terra fins al vèrtex superior és de $4\text{ m}$ i el diàmetre de la base circular és de $6\text{ m}$. Quants metres quadrats de lona s'han necessitat per cobrir només la part lateral de l'envelat? (Dada: Primer hauràs de trobar la generatriu utilitzant el Teorema de Pitegores).

Una famosa marca de xocolates ven els seus bombons en una caixa amb forma d'esfera de $10\text{ cm}$ de diàmetre. Si la caixa està plena fins al $75\%$ de la seva capacitat amb xocolata líquida, quants centímetres cúbics de xocolata hi ha al seu interior? Expressa el resultat arrodonint a les centèsimes.

Calcula el volum d'una peça de fusta que s'ha format unint un cilindre i una semiesfera (mitja esfera). El cilindre té una altura de $10\text{ cm}$ i el radi de la seva base és de $4\text{ cm}$. La semiesfera es recolza exactament sobre la base superior del cilindre.

Un gelat de cucurull té forma de con. La neula té una profunditat (altura) de $12\text{ cm}$ i el radi de l'obertura és de $3\text{ cm}$. Si el gelat omple l'interior del cucurull i a més sobresurt una bola perfecta a la part superior que té el mateix radi que el con, calcula el volum total de gelat.

Observa el desenvolupament pla d'un cilindre. Es sap que l'àrea d'una de les seves bases circulars és de $28,26\text{ cm}^2$ i que l'altura del rectangle lateral és de $10\text{ cm}$. Calcula:

1. a) El radi de la base.
2. b) L'àrea lateral del cilindre.
3. c) L'àrea total.

(Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Un dipòsit d'aigua té forma de cilindre amb una altura de $5\text{ m}$. Si volem que el dipòsit tingui una capacitat de $100.000\text{ litres}$, quin radi ha de tenir la base del dipòsit? (Recorda que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litres}$). Arrodondeix el radi a dues xifres decimals.

Es talla una esfera de fusta de $13\text{ cm}$ de radi per un pla horitzontal. Si la distància des del centre de l'esfera fins al tall és de $5\text{ cm}$, quin és el radi del cercle que es forma en la secció del tall? (Aplica el Teorema de Pitegores en el triangle rectangle que es forma).

En una classe de Plàstica es modelen figures de revolució amb argila. En tallar un con recte mitjançant un fil tens amb un tall pla vertical que passa pel seu vèrtex superior i divideix la base circular en dues meitats simètriques, la superfície del tall que queda a la vista és un triangle isòsceles de $120\text{ cm}^2$ d'àrea la base del qual mesura $16\text{ cm}$.\n\na) Reconstrueix les mesures del con original: dedueix raonadament quant mesuren el radi $r$ de la seva base i la seva alçària $h$, explicant a quin element del con correspon cada costat i cada dimensió del triangle observat.\nb) Calcula la mesura exacta de la generatriu $g$ d'aquest con.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) utilitza a moltes de les seves estacions pluviòmetres amb un embut receptor cònic per recollir l'aigua de pluja. La boca circular superior de l'embut té un diàmetre de $24\text{ cm}$ (radi $r = 12\text{ cm}$) i la seva generatriu mesura $15\text{ cm}$.\n\na) Modela la secció vertical de l'embut identificant el triangle rectangle característic i calcula la profunditat total (alçària $h$) del con.\nb) Durant un episodi de pluja, l'aigua acumulada omple l'embut fins a assolir una alçària de $4,5\text{ cm}$ des del vèrtex inferior (és a dir, exactament la meitat de la seva alçària total). Raona geomètricament quina figura forma la superfície lliure de l'aigua i argumenta per què el seu radi ha de ser exactament la meitat del radi de la boca superior ($6\text{ cm}$).

Una empresa de disseny d'interiors fabrica tulipes per a làmpades amb forma de tronc de con. El radi de la base superior és de $12\text{ cm}$, el de la base inferior és de $20\text{ cm}$ i l'altura de la tulipa és de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela costa $18,50\text{ €/m}^2$, calcula el cost del material necessari per fabricar 25 tulipes iguals (tingues en compte que la tulipa no té bases, és només la superfície lateral).

Un corró d'aplanadora d'acer té forma de cilindre amb un diàmetre de $1,2\text{ metres}$ i una longitud de $2,5\text{ metres}$. L'acer té una densitat de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el corró és buit i el gruix de l'acer és de $10\text{ cm}$ en tot el seu contorn (excepte en les cares laterals que es consideren negligibles), calcula la massa total del corró en tones.

Es vol construir un dipòsit per a cereals que consta d'un cos cilíndric de $4\text{ m}$ d'altura i $3\text{ m}$ de radi, rematat a la part inferior per un con del mateix radi i una generatriu de $5\text{ m}$ per facilitar la descàrrega. Calcula el volum total d'emmagatzematge del dipòsit i la superfície total de xapa necessària per fabricar-lo (incloent-hi la tapa superior plana del cilindre).

Una esfera de vidre de $15\text{ cm}$ de radi s'introdueix en un recipient cilíndric de $32\text{ cm}$ de diàmetre que conté aigua. Si l'esfera es submergeix completament fins al fons, quants centímetres pujarà el nivell de l'aigua en el recipient? Expressa el resultat arrodonint a les centèsimes.

Calcula l'àrea de la superfície d'un "con de gelat" compost per un con recte de $12\text{ cm}$ d'altura i $5\text{ cm}$ de radi de la base, coronat per una semiesfera perfecta que encaixa exactament a la base del con. Si volem embolicar el gelat (con i semiesfera) amb un paper protector, quina superfície mínima de paper necessitarem?

S'ha tallat una esfera de fusta de $20\text{ cm}$ de radi per un pla situat a $12\text{ cm}$ del centre. En separar els dos fragments, s'obtenen dos casquets esfèrics. Calcula l'àrea total (superfície corba més la base circular plana del tall) del casquet esfèric més petit.

(Pista: utilitza el teorema de Pitegores per trobar el radi del cercle de la secció).

Un envàs de perfum té forma de cilindre de $10\text{ cm}$ d'altura. Al seu interior, el vidre té una forma cònica invertida que arriba exactament fins al fons i la base de la qual coincideix amb la tapa del cilindre. Si el radi de l'envàs és de $3\text{ cm}$, calcula quin percentatge del volum total del cilindre està ocupat pel perfum quan l'envàs està ple. Depèn aquest percentatge del radi i l'altura triats? Raona la teva resposta.

Es genera un cos de revolució fent girar un triangle rectangle de catets $6\text{ cm}$ i $8\text{ cm}$ al voltant de la seva hipotenusa.

1. a) Descriu el cos resultant (pots dibuixar-lo).
2. b) Calcula l'àrea total de la superfície del cos generat.

(Ajuda: El cos està format per dos cons units per la seva base. Necessitaràs calcular l'altura del triangle relativa a la hipotenusa).

Un taller de mecanització de precisió a Bilbao ha de fabricar una peça cònica d'acer temperat. L'especificació tècnica exigeix que la generatriu mesuri exactament $g = 10\text{ cm}$ i que l'alçària de la peça sigui exactament el doble que el radi de la seva base ($h = 2\cdot r$). Per calcular el radi $r$ necessari, dos membres de l'equip tècnic debaten quin camí seguir:\n\n- En Sergio proposa el mètode de tempteig numèric: provar valors decimals successius per a $r$ ($4,1\text{ cm}$; $4,2\text{ cm}$; $4,3\text{ cm}$...), calcular en cada cas $h = 2\cdot r$ i comprovar mitjançant el teorema de Pitàgores quin dona un resultat més proper a $g = 10\text{ cm}$.\n- La Irene proposa el mètode algebraic: substituir la condició $h = 2\cdot r$ directament en la relació pitagòrica del con ($g^2 = r^2 + h^2$), obtenint una equació amb una sola incògnita ($10^2 = r^2 + (2\cdot r)^2$) per aïllar $r$ de manera directa.\n\na) Compara raonadament tots dos mètodes: quin dels dos és preferible en un entorn professional d'enginyeria i quines limitacions presenta l'altre mètode?\nb) Aplica el mètode algebraic proposat per la Irene: resol l'equació pas a pas, obtén el radi $r$ arronduit a dues xifres decimals i calcula l'alçària $h$ de la peça.

A les costes gallegues s'empren boies marines esfèriques d'abalisament el radi exterior de les quals és de $R = 50\text{ cm}$. En flotar a l'aigua en condicions de mar en calma, el pla horitzontal de la superfície marina talla l'esfera formant un cercle que delimita la línia de flotació. En condicions normals, el centre de la boia queda situat a una distància vertical de $30\text{ cm}$ per sobre del nivell de l'aigua.\n\na) Modela la situació mitjançant un tall vertical que passi pel centre de l'esfera i calcula el radi exacte de la circumferència de flotació que dibuixa l'aigua sobre la boia.\nb) Amb el pas dels mesos, l'acumulació d'algues i mol·luscos llasta la boia, fent que s'enfonsi més, de manera que la distància vertical del centre de la boia a l'aigua passa de $30\text{ cm}$ a només $14\text{ cm}$. Un tècnic de manteniment afirma: «Com que la distància del centre a l'aigua s'ha reduït a menys de la meitat, el radi del cercle de flotació a la superfície marina s'haurà fet més del doble de gran». Demostra algebraicament si la seva afirmació és园 vertadera o falsa calculant el nou radi i raona com canvia la mida d'una secció plana en una esfera a mesura que el pla s'aproxima al seu centre.