Exercicis: L'espai

En el món del disseny de videojocs, els objectes es defineixen per les seves dimensions. Indica quantes dimensions ($0$, $1$, $2$ o $3$) tenen els elements següents que trobem en una habitació:

1. a) El cable d'uns auriculars estirat.

1. b) La pantalla plana d'un monitor (sense comptar-ne el gruix).

1. c) Una caixa on guardes els jocs de la consola.

1. d) Un punt de llum al sostre.

Observa les aristes d'aquest cub i determina la posició relativa (paral·leles, secants o que es creuen) dels parells de rectes següents que contenen les aristes:

1. a) La recta que passa pels punts $A$ i $B$ respecte a la que passa per $C$ i $D$.
2. b) La recta que passa per $A$ i $B$ respecte a la que passa per $B$ i $C$.
3. c) La recta que passa per $A$ i $B$ respecte a la que passa per $G$ i $H$.

Imagina que les parets, el terra i el sostre de la teva classe són plans. Indica la posició relativa de:

1. a) El pla del terra i el pla del sostre.
2. b) El pla de la paret de la pissarra i el pla de la paret de la finestra (que està al seu costat).
3. c) Una recta formada pel racó entre dues parets i el pla del terra.

Sabem que per dos punts de l'espai passa una única recta.

1. a) Quantes rectes poden passar per un únic punt de l'espai?
2. b) Quants plans poden contenir una única recta?
3. c) Quants punts, que no estiguin alineats, es necessiten com a mínim per definir un únic pla?

En l'espai existeixen rectes que no són paral·leles però que no es tallen mai. Aquestes rectes s'anomenen rectes que es creuen. Observa el dibuix de la rampa d'skate i digues quina posició relativa tenen:

1. a) La vora superior de la rampa ($r$) i la línia de la base a terra ($s$).
2. b) La vora vertical de la barana ($t$) i la recta $s$.

Dibuixa a la teva llibreta (o descriu) la situació d'una recta i un pla en els casos següents:

1. a) La recta és paral·lela al pla (pensa en un fluorescent del sostre i el terra).
2. b) La recta està continguda en el pla (pensa en una línia pintada a terra).
3. c) La recta és secant al pla (pensa en un llapis que travessa un full de paper).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Molts cossos geomètrics es generen en fer girar una figura plana al voltant d'un eix. Aquests s'anomenen cossos de revolució. Al dibuix veus tres objectes amb el seu eix de gir. Identifica quina figura (rectangle, triangle rectangle o semicercle) ha generat cadascun d'ells en girar al voltant d'aquest eix:

1. a) Una llauna de refresc cilíndrica.
2. b) Un con de trànsit.
3. c) Una bola de petanca.

Els cossos geomètrics les cares dels quals són totes polígons s'anomenen poliedres. En qualsevol poliedre simple, es compleix una relació famosa anomenada Fórmula d'Euler: $Cares + Vèrtexs = Arestes + 2$.

Comprova si es compleix aquesta fórmula per a un cub, sabent que té $6$ cares, $8$ vèrtexs i $12$ aristes. Escriu l'operació matemàtica.

La Lucía està observant l'estructura d'una prestatgeria metàl·lica a la seva aula i afirma el següent: «La barra vertical davantera esquerra i la barra horitzontal posterior del prestatge superior no es toquen enlloc; per tant, han de ser obligatòriament rectes paral·leles, exactament igual com passa amb les línies que dibuixo a la meva llibreta». Identifica i explica l'error de raonament que comet la Lucía, anomena la posició relativa real que tenen aquestes dues barres en l'espai tridimensional i aclara per què la seva deducció sí que hauria estat correcta en un full de paper de dues dimensions.

Un pavelló poliesportiu té una coberta amb forma de prisma hexagonal regular, les bases superior i inferior del qual són hexàgons i les cares laterals són rectangles.

1. a) Abans de comptar arestes o aplicar cap fórmula, estima raonadament a simple vista si aquest cos tindrà més arestes que la suma de les seves cares i vèrtexs junts, o si passarà el contrari.
2. b) Compta de manera ordenada el nombre de cares ($C$), vèrtexs ($V$) i arestes ($A$) del prisma i comprova si la teva estimació inicial era encertada mitjançant la fórmula d'Euler ($C + V = A + 2$).
3. c) Justifica per què el nombre total d'arestes obtingut és raonable tenint en compte quantes arestes aporta cada base i quantes arestes verticals uneixen totes dues bases.

Considera un cub o hexaedre regular amb base inferior $ABCD$ i base superior $EFGH$, on les arestes verticals són $AE$, $BF$, $CG$ i $DH$. Identifica les posicions relatives de les arestes indicades:

1. a) L'aresta $AB$ respecte a l'aresta $EF$.
2. b) L'aresta $AD$ respecte a l'aresta $CG$.
3. c) L'aresta $GH$ respecte a l'aresta $AB$.

En el disseny d'un envelat publicitari amb forma de prisma triangular recte, ens interessa analitzar la relació entre els seus plans. Si considerem el pla $\pi$ que conté la base inferior del prisma:

1. a) Indica quines cares del prisma generen plans secants (intersecants) al pla $\pi$.
2. b) Indica quines aristes del prisma són paral·leles al pla $\pi$.
3. c) Quina figura geomètrica es forma en la intersecció d'una cara lateral amb el pla de la base?

Un arquitecte està dissenyant un monument avantguardista que és un poliedre convex. Per verificar la seva estructura, necessita comprovar el Teorema d'Euler. El monument té $8$ cares hexagonals i $6$ cares quadrades.

1. a) Calcula el nombre total d'aristes ($A$) del poliedre.
2. b) Utilitzant el Teorema d'Euler, determina el nombre de vèrtexs ($V$) que tindrà el monument.

Imagina que tens una peça metàl·lica plana amb la forma d'un trapezi rectangle, com la que es mostra a la figura. Si fem girar aquesta figura $360^{\circ}$ al voltant del costat que mesura $8$ cm (l'eix vertical):

1. a) Quin cos de revolució es genera?
2. b) Dibuixa de forma esquemàtica el cos resultant indicant els seus elements bàsics (radis i altura).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una habitació de parets perpendiculars, considerem un dels racons del sostre com l'origen de punts. Si tracem una línia imaginària que creui l'habitació des d'aquest racó fins al racó oposat del terra (diagonal de l'habitació):

1. a) Quina posició relativa té aquesta línia respecte al pla del terra?
2. b) Es tallen aquesta línia amb la recta que forma la unió de dues parets laterals? Justifica la teva resposta.
3. c) Quants punts en comú té la diagonal amb el pla d'una de les parets?

Es fa un tall a un cilindre recte de radi $r = 4$ cm i altura $h = 10$ cm mitjançant un pla. Descriu quina figura plana s'obté si:

1. a) El pla és paral·lel a les bases del cilindre.
2. b) El pla és perpendicular a les bases i passa pel centre d'aquestes.
3. c) El pla és oblic a les bases i no arriba a tallar-les.

Donada una piràmide quadrangular regular, anomenem les seves aristes bàsiques com a $b_1, b_2, b_3, b_4$ i les seves aristes laterals com a $a_1, a_2, a_3, a_4$. Indica si les afirmacions següents són certes o falses, raonant el perquè:

1. a) Qualsevol parella d'aristes laterals són rectes que es creuen.
2. b) Una arista bàsica i l'arista lateral que surt d'un dels seus extrems són rectes secants.
3. c) Dues aristes bàsiques oposades són paral·leles entre si.

Observa el desenvolupament pla d'aquest cos geomètric. Sense fer càlculs, respon:

1. a) Quin poliedre s'obtindrà en plegar-lo? Classifica'l de forma completa.
2. b) Quants angles diedres tindrà el cos una vegada muntat?
3. c) Quin és l'ordre de cadascun dels seus vèrtexs (quantes cares hi concorren)?

Al centre de control aeri d'ENAIRE a Madrid es supervisa la trajectòria de dues aeronaus que sobrevolen una zona plana, el terra de la qual considerem com un pla horitzontal $\pi$. Les trajectòries de tots dos avions són rectilínies:

• El vol A vola estabilitzat a una altitud constant de $9\,500\text{ m}$ seguint un rumb fix cap al nord.

• El vol B realitza una maniobra d'ascens continu des dels $3\,000\text{ m}$ fins als $11\,000\text{ m}$ amb rumb cap a l'est, travessant aquest mateix sector geogràfic.

1. a) Modela la trajectòria del vol A com una recta $r$. Quina és la posició relativa de la recta $r$ respecte al pla del terra $\pi$? Justifica la teva resposta.
2. b) En projectar les dues rutes sobre la pantalla plana del radar (dues dimensions), les traces es creuen en un punt comú a la pantalla. Tanmateix, a la vertical d'aquest punt el vol B passa a $7\,000\text{ m}$ d'altitud, de manera que els avions no arriben mai a col·lidir a l'aire. Modela totes dues rutes com dues rectes $r$ i $s$ a l'espai i determina la seva posició relativa real, justificant si existeix o no algun pla comú que pugui contenir totes dues alhora.

Un taller de disseny artesanal rep l'encàrrec de fabricar un políedre tancat per a un llum. El client exigeix que l'estructura tingui exactament $15$ arestes ($A = 15$) i que sigui un políedre clàssic (un prisma recte o una piràmide regular).

1. a) Aplicant la fórmula d'Euler ($C + V = A + 2$), planteja la igualtat numèrica i determina quant ha de valer exactament la suma del nombre de cares i vèrtexs ($C + V$).
2. b) Si l'estructura fos una piràmide la base de la qual té $n$ costats, raona quantes arestes tindria en total en funció de $n$. A partir d'aquesta deducció, explica per què és matemàticamentGroup impossible construir una piràmide que compleixi l'encàrrec de tenir exactament $15$ arestes.
3. c) Planteja la mateixa deducció per a un prisma la base del qual té $n$ costats. Determina quin tipus de prisma compleix les condicions, indicant quantes cares i quants vèrtexs tindrà finalment el llum.

Imagina que estàs dissenyant una estructura per a un parc d'aventures. Tens un cub gegant els vèrtexs del qual estan anomenats com a $A, B, C, D$ (base inferior) i $E, F, G, H$ (base superior, de manera que $E$ està a sobre de $A$, $F$ a sobre de $B$, etc.).

Si tracem una línia recta que passa pels punts mitjans de les aristes $AE$ i $CG$, i una altra línia recta que uneix els vèrtexs $B$ i $H$:

1. a) Indica quina és la posició relativa d'aquestes dues rectes en l'espai. Justifica si es tallen, són paral·leles o es creuen.
2. b) Si tracem un pla que passi pels punts $B$, $D$ i $H$, quin tipus de secció (figura plana) es forma en tallar el cub?
3. c) Quantes aristes del cub són secants al pla definit per la cara $ADHE$?

Un arqueòleg ha trobat una peça de cristall amb forma d'octaedre regular perfecte. Per protegir-la, decideix construir una caixa de fusta amb forma de cub que s'ajusti exactament als vèrtexs de l'octaedre.

1. a) Si cada arista de l'octaedre mesura $10 \text{ cm}$, calcula el nombre de cares, vèrtexs i aristes de la figura i comprova si es compleix el Teorema d'Euler.
2. b) Explica raonadament quina relació hi ha entre els centres de les cares del cub de fusta i els vèrtexs de l'octaedre.
3. c) Si tallem l'octaedre per un pla paral·lel a una de les seves cares que passi exactament pel centre del cos, quin polígon obtindrem a la secció?

En una classe de tecnologia estan construint una maqueta d'un edifici modern. La peça central és un prisma hexagonal regular recte. Per donar-hi un toc artístic, volen fer talls plans amb una serra elèctrica.

1. a) Si el pla de tall passa per tres vèrtexs no consecutius de la base superior, descriu la forma de la secció obtinguda.
2. b) És possible fer un tall de manera que la secció resultant sigui un rectangle? I un quadrat? Descriu com hauria de ser el pla en cada cas.
3. c) Si el prisma té $12$ aristes bàsiques i $6$ aristes laterals, quantes diagonals totals (que no passin per les cares) té aquest poliedre?

Un fabricant de caixes de regal vol crear un model especial "dual". Primer fabrica un tetraedre regular d'arista $L$. Després, uneix els punts mitjans de totes les aristes del tetraedre entre si.

1. a) Quin poliedre es forma a l'interior en unir aquests punts mitjans?
2. b) Calcula el nombre de cares, vèrtexs i aristes del nou poliedre resultant.
3. c) Si el tetraedre original compleix el Teorema d'Euler ($C + V = A + 2$), demostra si el poliedre interior també el compleix.

Un decorador d'interiors vol col·locar un cable de llums led que creui una habitació rectangular de $6 \text{ m}$ de llarg, $4 \text{ m}$ d'amplada i $3 \text{ m}$ d'altura. El cable ha d'anar des d'un racó del terra ($A$) fins al racó oposat del sostre ($G$).

1. a) Calcula la longitud mínima del cable si aquest ha d'anar tensat per l'interior de l'habitació (la diagonal de l'ortoedre).
2. b) Si el decorador decideix passar el cable per les parets (sense creuar l'aire), quina seria la distància més curta entre aquests mateixos dos punts? (Pista: pensa en el desenvolupament pla de l'habitació).
3. c) Indica quantes aristes de l'habitació són paral·leles a la recta que conté l'arista de l'altura on es troba el punt $A$.

Considera un cub de formatge de $4 \text{ cm}$ de costat. Volem tallar-lo amb un ganivet molt prim de manera que la secció sigui un hexàgon regular.

1. a) Descriu amb precisió per quins punts de les arestes del cub ha de passar el pla per obtenir aquest hexàgon.
2. b) Quantes diagonals de cara té el cub en total? I quantes diagonals d'espai (interiors)?
3. c) Si anomenem $P$ al pla que conté l'hexàgon, hi ha alguna aresta del cub que sigui paral·lela a aquest pla o són totes secants? Justifica la resposta.

Una empresa de logística utilitza contenidors amb forma de prisma trapezoidal recte (la base és un trapezi isósceles).

1. a) Determina el nombre d'angles diedres rectes que té aquest cos.
2. b) Si perllonguem les dues cares laterals no paral·leles, explica què passaria: Es tallarien en una recta? Serien paral·leles? Quin cos geomètric es formaria si talléssim aquesta nova estructura amb un pla paral·lel a la base?
3. c) Comprova si un prisma trapezoidal amb bases de $5$ costats (si fos un prisma pentagonal irregular) compleix sempre el Teorema d'Euler.

Estem estudiant les posicions relatives en l'espai dins d'un poliedre complex: un dodecaedre regular (12 cares pentagonals).

1. a) Tria una cara qualsevol com a pla $\pi$. Quantes cares del dodecaedre són paral·leles a $\pi$?
2. b) Quantes aristes del dodecaedre són paral·leles a una arista donada?
3. c) Si a cada vèrtex del dodecaedre s'uneixen 3 cares, i cada cara té 5 vèrtexs, raona mitjançant el càlcul el nombre total de vèrtexs del cos (tenint en compte que cada vèrtex és compartit).

En una sala d'exposicions amb forma de cub de vèrtexs inferiors $A, B, C, D$ (terra) i vèrtexs superiors $E, F, G, H$ (sostre, situats directament sobre $A, B, C$ i $D$ respectivament), s'instal·len dos cables tensors rectilinis:

• Cable 1: uneix el vèrtex $A$ amb el vèrtex oposat superior $G$ (diagonal principal del cub).

• Cable 2: uneix el punt mitjà de l'aresta vertical $BF$ amb el punt mitjà de l'aresta vertical $DH$.

Per esbrinar si tots dos cables es toquen al centre de la sala o es creuen a diferent alçària, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode d'en Sergio: Cercar si existeix un pla diagonal que contingui els quatre punts extrems ($A, G$, i els punts mitjans de $BF$ i $DH$). Si aquest pla existeix i les rectes no són paral·leles, aleshores es tallen.

• Mètode de la Irene: Determinar la posició del punt mitjà del Cable 1 i del Cable 2 respecte al terra i a les parets, comprovant si tots dos segments comparteixen exactament el mateix punt central en les tres dimensions de l'espai.

1. a) Compara tots dos mètodes: explica quin dels dos et sembla més clar i directe per justificar el resultat sense cometre errors de percepció visual.
2. b) Aplica el mètode que hagis considerat millor per concloure raonadament si els dos cables són secants (es tallen en un punt) o si es creuen a l'espai.

Les Torres KIO de Madrid són conegudes per ser edificis amb forma de prisma les cares laterals dels quals estan inclinades respecte al terra horitzontal (pla $\pi$). Considera una de les façanes inclinades de la torre, a la qual anomenem pla $\alpha$.

1. a) Determina la posició relativa entre el pla de la façana $\alpha$ i el pla del terra $\pi$. Si prolonguéssim tots dos plans indefinidament a l'espai, quina seria la figura geomètrica resultant de la seva intersecció?
2. b) En una maqueta polièdrica de la torre que parteix d'un prisma quadrangular tancat ($6$ cares, $8$ vèrtexs i $12$ arestes), un maquetista decideix truncar (tallar) una de les cantonades superiors mitjançant un tall pla que passa a prop d'un vèrtex sense tocar cap dels altres set vèrtexs originals, eliminant aquesta cantonada i creant en el seu lloc una nova cara plana triangular.

Calcula de manera raonada el nombre de cares ($C'$), vèrtexs ($V'$) i arestes ($A'$) que tindrà la maqueta després de realitzar aquest tall.

1. c) Comprova si el nou cos modificat continua complint la fórmula d'Euler ($C' + V' = A' + 2$) i justifica matemàticament per què tallar una cantonada d'aquesta manera no altera l'equilibri de la fórmula.