Exercicis: Regla de Laplace

Es tira un dau equilibrat. Calcula la probabilitat de cada succés:

a) Treure un $3$.

b) Treure un nombre parell.

c) Treure un nombre més gran que $4$.

d) No treure un $6$.

De la bossa de la figura, que conté $5$ boles vermelles i $3$ verdes, s'extreu una bola a l'atzar.

Calcula la probabilitat de:

a) Treure bola vermella.

b) Treure bola verda.

c) Treure bola groga.

S'extreu una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Calcula la probabilitat que sigui:

a) D'oros.

b) Un as.

c) Una figura (sota, cavall o rei).

d) El rei de copes.

Una ruleta està dividida en $8$ sectors iguals numerats del $1$ al $8$. Calcula la probabilitat que l'agulla s'aturi a:

a) El $5$.

b) Un múltiple de $3$.

c) Un nombre més gran que $5$.

d) Un nombre més petit que $9$.

Es tiren una moneda i un dau. Calcula la probabilitat d'obtenir:

a) Cara i un $6$.

b) Creu i un nombre senar.

c) Cara i un nombre més petit que $5$.

En una classe de $2.º$ d'ESO hi ha $14$ noies i $16$ nois. S'elegeix una persona a l'atzar per llegir en veu alta.

a) Quina és la probabilitat que sigui una noia?

b) I que sigui un noi?

Assigna la seva probabilitat a cada succés i explica per què:

a) En tirar un dau, treure un nombre més petit que $7$.

b) En tirar un dau, treure un $8$.

c) En extreure una carta d'una baralla espanyola, que sigui d'oros, copes, espases o bastos.

S'elegeix a l'atzar una fitxa d'un dominó complet de $28$ fitxes. Calcula la probabilitat que sigui:

a) El $6$ doble.

b) Una fitxa doble qualsevol (n'hi ha $7$).

c) Una fitxa que contingui el nombre $0$ (n'hi ha $7$).

La ruleta de la figura té tres sectors amb els angles indicats.

Calcula la probabilitat que l'agulla s'aturi a:

a) El sector vermell.

b) El sector verd.

c) Un sector que no sigui groc.

S'escriuen les lletres de la paraula PROBABILIDAD en targetes i se n'extreu una a l'atzar. Calcula la probabilitat que sigui:

a) Una vocal.

b) La lletra B.

c) Una consonant.

Es tira un dau equilibrat. Calcula la probabilitat de treure:

a) Un múltiple de $3$.

b) Un nombre primer.

c) Un nombre més petit que $7$.

d) Un nombre més gran que $6$.

D'un bombo amb boles numerades del $1$ al $12$ s'extreu una bola. Calcula la probabilitat que sigui:

a) Un nombre parell.

b) Un nombre més gran que $8$.

c) Un divisor de $12$.

d) Un múltiple de $5$.

A classe de Matemàtiques, la Lucía presenta una ruleta dividida en tres sectors de colors: un de vermell amb un angle central de $90^\circ$, un de blau també de $90^\circ$ i un de groc de $180^\circ$. Per calcular la probabilitat que la fletxa s'aturi en el color vermell, la Lucía afirma: «Com que hi ha tres resultats possibles (vermell, blau i groc) i el vermell n'és un, per la regla de Laplace la probabilitat és $P(\text{vermell}) = \frac{1}{3}$».

a) Explica detalladament l'error que comet la Lucía en aplicar directament la regla de Laplace comptant només els colors.

b) Calcula la probabilitat real que la fletxa assenyali el sector vermell utilitzant la relació entre l'angle del sector i el cercle complet. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible i com a percentatge.

c) Utilitza la fórmula del succés contrari per calcular la probabilitat que la fletxa no s'aturi en el sector groc, és a dir, $P(\overline{\text{groc}})$.

Una professora de Matemàtiques prepara una bossa opaca amb $20$ fitxes idèntiques al tacte, però de tres colors diferents: vermelles, verdes i blaves. Perquè els seus alumnes descobreixin quantes fitxes hi ha de cada color sense mirar a dins, els proporciona les pistes següents:

• En extreure una fitxa a l'atzar, la probabilitat que sigui vermella és exactament $0,4$.

• La probabilitat d'extreure una fitxa blava és el doble que la d'extreure una fitxa verda.

a) Quantes fitxes vermelles conté la bossa?

b) Planteja una deducció raonada per determinar el nombre de fitxes verdes i el nombre de fitxes blaves que conté la bossa.

c) Comprova numèricament que la suma de les probabilitats elementals dels tres colors compleix la propietat fonamental de la probabilitat.

a) Si la probabilitat de treure or en una baralla espanyola és $\frac{1}{4}$, quina és la probabilitat de no treure or?

b) Si $P(A) = 0,35$, quant val la probabilitat del succés contrari de $A$?

c) En una urna només hi ha boles vermelles, blaves i verdes. Si la probabilitat de treure una bola vermella és $\frac{2}{7}$ i la de treure una bola blava és $\frac{3}{7}$, quina és la probabilitat de treure una bola verda?

Es llencen dos daus i s'anota la suma dels punts. Ajuda't d'una taula de doble entrada per calcular:

a) $P(\text{suma } 7)$

b) $P(\text{suma més gran que } 9)$

c) $P(\text{suma par})$

d) $P(\text{suma diferent de } 7)$

Es llencen dues monedes. Calcula la probabilitat d'obtenir:

a) Dues cares.

b) Una cara i una creu, en qualsevol ordre.

c) Alguna cara.

d) Cap cara.

S'extreu una carta d'una baralla espanyola de $40$ cartes. Calcula la probabilitat que sigui:

a) D'or o una figura.

b) De copes o un as.

c) Ni figura ni as.

d) Del coll de bastos o una carta numerada menor que $4$ (l'as compta com a $1$).

En una bossa hi ha $5$ boles vermelles, $3$ blaves i $2$ blanques. S'extreu una bola a l'atzar. Calcula la probabilitat que:

a) No sigui blanca.

b) Sigui blanca o blava.

c) Sigui groga.

d) No sigui groga.

Els alumnes d'un centre que practiquen esport extraescolar es distribueixen així:

Es tria un alumne a l'atzar. Calcula la probabilitat que:

a) Sigui de Primària.

b) Practiqui natació.

c) Sigui de Primària i jugui a tennis.

d) Sabent que és d'ESO, practiqui tennis.

Donem voltes a l'atzar a la maneta de les hores d'un rellotge. Calcula la probabilitat que marqui una hora:

a) Entre les $3$ i les $4$.

b) Anterior a les $6$.

c) Posterior a les $10$.

d) Entre les $2$ i les $8$.

S'elegeix a l'atzar un nombre del $1$ al $50$. Calcula la probabilitat que sigui:

a) Múltiple de $4$.

b) Múltiple de $5$.

c) Múltiple de $4$ i de $5$.

d) Múltiple de $4$ o de $5$.

La ruleta de la figura té quatre sectors amb els angles indicats.

Calcula la probabilitat que l'agulla s'aturi a:

a) El sector vermell.

b) El sector groc.

c) El sector blau o el verd.

d) Un sector que no sigui vermell.

Es tiren tres monedes. Amb l'ajuda d'un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat d'obtenir:

a) Exactament dues cares.

b) Alguna creu.

c) Tres resultats iguals.

d) Exactament una cara.

Per a un examen de Geografia s'han de situar les $17$ comunitats autònomes en un mapa mut. En Ricardo només se sap la ubicació de $9$.

a) Si a l'examen li demanen situar-ne una a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui una de les que se sap?

b) Si li toca una de les que no se sap i la col·loca a l'atzar entre les $8$ restants, quina és la probabilitat que encerti?

El gràfic mostra els caramels que hi ha en una bossa. S'en treu un a l'atzar.

Calcula la probabilitat que sigui:

a) De maduixa.

b) De llimona o de menta.

c) Que no sigui de poma.

d) De taronja.

Es llancen simultàniament dos daus cúbics equilibrats de sis cares (numerades de l'$1$ al $6$) i se sumen les puntuacions obtingudes. Es defineix el succés $A = \text{«la suma és menor o igual que } 4\text{»}$.

a) Abans de fer cap càlcul matemàtic, fes una estimació intuïtiva: creus que la probabilitat que passi el succés $A$ serà més gran, més petita o aproximadament igual al $25\,\%$? Escriu una frase justificant la teva primera impressió.

b) Elabora una taula de doble entrada de $6 \times 6$ amb els $36$ resultats possibles per a la suma de les dues cares.

c) Aplica la regla de Laplace sobre la teva taula per calcular el valor exacte de $P(A)$. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible i en percentatge amb una xifra decimal.

d) Compara el resultat matemàtic obtingut amb la teva estimació de l'apartat a) i raona per què moltes persones tendeixen a sobreestimar intuïtivament la freqüència de les sumes baixes en aquest experiment.

En una estació de Rodalies de Madrid es registren les arribades de $80$ trens durant un matí per analitzar la puntualitat de tres línies (C-3, C-4 i C-5). Les dades recollides són:

• De la línia C-5 circulen $48$ trens, dels quals $42$ arriben puntuals i $6$ amb retard.

• De la línia C-3 circulen $20$ trens, amb $15$ puntuals i $5$ amb retard.

• De la línia C-4 circulen $12$ trens, amb $9$ puntuals i $3$ amb retard.

a) Organitza totes les dades en una taula de contingència de doble entrada que mostri les línies a les files i la puntualitat (puntual / retard) a les columnes, afegint-hi els totals marginals.

b) Si una persona usuària puja a un tren triat a l'atzar entre tots els registrats aquell matí, calcula la probabilitat que viatgi en un tren de la línia C-5 i que aquest hagi arribat puntual. Calcula també la probabilitat que pugi a un tren que pateixi retard (sigui de la línia que sigui).

c) Una associació de viatgers afirma: «La línia C-5 funciona el doble de malament que la C-4 perquè acumula $6$ trens amb retard i la C-4 només $3$». Utilitza la regla de Laplace per calcular i comparar la probabilitat que un tren pateixi retard dins de la línia C-5 amb la probabilitat que pateixi retard dins de la línia C-4. Raona si la queixa de l'associació està justificada matemàticament.

Per entrar en un joc de la festa de l'institut has de llençar un dau i treure més punts que el «guardià», que llença un altre dau abans que tu.

a) Construeix una taula de doble entrada amb els $36$ enfrontaments possibles.

b) Quina és la probabilitat que entris al joc?

c) Quina és la probabilitat d'empatar amb el guardià?

d) Si la regla fos «obtenir almenys el doble de punts que el guardià», quina seria la probabilitat d'entrar?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es llencen dos daus i s'anota el producte dels punts.

a) Construeix la taula de doble entrada amb els $36$ productes.

b) Calcula la probabilitat que el producte sigui parell.

c) Calcula la probabilitat que el producte sigui múltiple de $5$.

d) Calcula la probabilitat que el producte sigui més gran que $20$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una urna hi ha $4$ boles vermelles i $6$ verdes. Quantes boles blaves s'hi han d'afegir perquè la probabilitat de treure una bola vermella sigui $\frac{1}{4}$? Planteja l'equació i resol-la.

En una classe de $30$ alumnes hi ha $18$ noies, de les quals $12$ han aprovat totes les matèries. En total, $10$ alumnes de la classe tenen algun suspens.

a) Construeix una taula de doble entrada (noies/nois enfront de tot aprovat/algun suspens).

b) Si triem una persona a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui noi i ho hagi aprovat tot?

c) Sabent que la persona triada té algun suspens, quina és la probabilitat que sigui noia?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una família amb dos fills, la Nerea raona: «Hi ha tres casos possibles: dos nois, dues noies o un de cada; per tant, la probabilitat que tots dos siguin nois és $\frac{1}{3}$».

a) Explica per què el seu raonament és incorrecte.

b) Escriu l'espai mostral correcte, tenint en compte l'ordre de naixement, i calcula la probabilitat correcta.

c) Quina és la probabilitat que hi hagi almenys una noia?

Un dau tetraèdric té les cares numerades amb $1$, $2$, $2$ i $3$, i un altre dau tetraèdric, amb $2$, $3$, $3$ i $4$. Es llencen tots dos i se n'anota el producte.

a) Construeix la taula de doble entrada amb els $16$ productes possibles.

b) Calcula la probabilitat que el producte sigui parell.

c) Calcula la probabilitat que el producte sigui $6$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una ONG ven $200$ paperetes numerades del $000$ al $199$ per a un sorteig benèfic. S'en treu una a l'atzar. Calcula la probabilitat que el nombre premiat:

a) Contingui la xifra $7$.

b) Sigui múltiple de $10$.

c) Comenci per la xifra $1$.

d) Tingui les tres xifres iguals.

S'extreuen dues cartes d'una baralla espanyola de $40$ cartes, sense retornar la primera a la baralla.

a) Quina és la probabilitat que la primera carta sigui d'or?

b) Si la primera carta ha estat d'or, quina és la probabilitat que la segona també ho sigui?

c) Quina és la probabilitat que les dues cartes siguin d'or?

d) I la que cap de les dues sigui d'or?

En un joc de taula cooperatiu, per activar un encanteri protector es llancen alhora $3$ daus cúbics equilibrats de sis cares. La condició perquè l'encanteri funcioni és obtenir almenys un $6$ entre els tres daus. Dos estudiants discuteixen com calcular la probabilitat d'èxit:

• La Sofía proposa: «És molt més ràpid calcular primer la probabilitat de no treure cap $6$ en cap dels daus i després aplicar la propietat del succés contrari: $P(\text{guanyar}) = 1 - P(\text{cap } 6)$».

• En Daniel proposa: «És millor calcular els casos favorables sumant tres situacions diferents: treure exactament un $6$, treure exactament dos $6$ o treure tres $6$».

a) Determina el nombre total de casos possibles en llançar simultàniament els tres daus de sis cares.

b) Desenvolupa pas a pas el mètode de la Sofía: calcula quants casos no contenen cap $6$, obtén la probabilitat de no guanyar i dedueix la probabilitat final de guanyar en forma de fracció irreductible i percentatge aproximat.

c) Desenvolupa el mètode d'en Daniel: compta de manera raonada i ordenada quants resultats possibles corresponen a obtenir exactament un $6$, quants a exactament dos $6$ i quants a tres $6$. Comprova que la suma total de casos favorables coincideix exactament amb el resultat de la Sofía.

d) Justifica raonadament quin dels dos mètodes triaries si la regla del joc canviés i es llancessin $5$ daus en comptes de $3$, valorant la dificultat del recompte en cada camí.

Una associació juvenil dissenya una ruleta circular de $360^\circ$ per organitzar una tómbola benèfica i recaptar fons per a una causa social. La ruleta té quatre sectors: Or, Plata, Bronze i Blanc (sense premi). Les pautes acordades per al seu disseny són:

• La probabilitat de caure en el sector «Or» ha de ser exactament la meitat que la de caure en el sector «Plata».

• El sector «Bronze» ha d'abraçar un angle central de $90^\circ$.

• La probabilitat de no guanyar premi (sector «Blanc») ha de ser exactament $0,4$.

• Cada tirada costarà $1$ euro als participants i es preveu realitzar un total de $600$ tirades al llarg de la jornada.

a) Dedueix l'angle central en graus ($^\circ$) i la probabilitat teòrica corresponent a cadascun dels quatre sectors de la ruleta.

b) Els premis establerts són: el sector «Or» lliura un val de $5$ euros, el sector «Plata» lliura un val de $2$ euros, el «Bronze» regala un detall commemoratiu que va costar $0,50$ euros a l'associació, i el «Blanc» no lliura res. Calcula la despesa total esperada en premis si s'efectuen les $600$ tirades previstes.

c) Compara els ingressos previstos per la venda de les $600$ tirades amb la despesa estimada en premis: aconseguirà l'associació recaptar beneficis amb aquest disseny o incórrer en pèrdues? Justifica la teva resposta numèrica i proposa un canvi concret en el repartiment dels sectors per corregir la situació mantenint els quatre tipus de premi.