Exercicis: Jocs d'atzar i decisions

Tres amics juguen llançant dues monedes: Adrián guanya si surten dues cares, Blanca si surten dues creus i Carlos si surt una cara i una creu.

a) Escriu l'espai mostral.

b) Calcula la probabilitat de guanyar de cadascú.

c) És un joc equitatiu? Qui té avantatge?

En un joc guanyes si en llançar un dau surt un $5$ o un $6$, i perds en qualsevol altre cas.

a) Quina és la probabilitat de guanyar?

b) Si jugues $30$ vegades, quantes victòries esperaries?

Una ruleta està dividida en dues meitats iguals, una vermella i una blava. Dos jugadors aposten cadascun a un color i guanyen $1$ punt per encert. És un joc equitatiu? Per què?

En un joc apostes $1$ fitxa a un número del $1$ al $6$ i llances un dau: si surt el teu número, t'emportes $6$ fitxes (la teva més $5$ més); si no, perds la fitxa.

a) Quina és la probabilitat de guanyar?

b) Si jugues $60$ vegades, quantes vegades esperaries guanyar? Quin seria el teu balanç total de fitxes?

c) És equitatiu el joc? Per què?

La Lucía i el Marcos juguen durant l'esbarjo a llançar una moneda equilibrada d'$1\text{ €}$. Han acordat que si surt cara guanya la Lucía i si surt creu guanya el Marcos, i el perdedor paga $2\text{ €}$ al guanyador en cada tirada. Després de quatre llançaments consecutius en què ha sortit creu, el Marcos afirma entusiasmat: «En la cinquena tirada apostaré $5\text{ €}$ en comptes de $2\text{ €}$! Com que han sortit quatre creus seguides, per la llei de l'atzar és pràcticament impossible que torni a sortir creu; la cara ha de sortir ja per compensar la ratxa».

a) Identifica i redacta amb claredat quin és l'error de raonament que comet el Marcos sobre el comportament de l'atzar.

b) Quina és la probabilitat real que en el cinquè llançament surti cara? Ha canviat respecte al primer llançament?

c) Si la Lucía acceptés aquesta aposta de $5\text{ €}$ per a la cinquena tirada mantenint les mateixes normes, seria aquesta jugada concreta un joc equitatiu entre tots dos? Justifica la teva resposta utilitzant les probabilitats i els guanys en joc.

A la festa de final de curs del teu centre escolar s'organitza una parada benèfica amb una urna que conté $15$ boles negres i $5$ boles vermelles, totes de la mateixa mida i textura. Participar-hi costa $1\text{ €}$ per extracció (que no es retorna). Si treus una bola vermella, reps un premi net de $2\text{ €}$ (és a dir, et retornen la teva moneda d'$1\text{ €}$ i et donen $2\text{ €}$ addicionals); si treus una bola negra, no reps res i perds l'euro apostat.

a) Abans de fer cap càlcul matemàtic per escrit, estima a simple vista si creus que aquest joc beneficia a la llarga a qui juga o a la parada benèfica. Explica breument la intuïció en què et bases comparant la proporció de boles i l'import del premi.

b) Calcula la probabilitat de guanyar ($P(\text{vermella})$) i la probabilitat de perdre ($P(\text{negra})$) en extreure una bola.

c) Calcula el guany net esperat per partida per a un jugador i el balanç total esperat si una persona decidís jugar $60$ vegades seguides (retornant la bola a l'urna després de cada intent).

d) Comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) coincideix amb el resultat matemàtic obtingut i argumenta si és un joc just o si hi ha equitat.

L'Elsa i en Bruno tiren dos daus: l'Elsa guanya si la suma és parell i en Bruno si és senar.

a) És un joc just? Calcula les probabilitats de guanyar de cadascun.

b) I si en lloc de sumar multipliquen els resultats i l'Elsa continua apostant al nombre parell? Calcula les noves probabilitats i explica qui té avantatge.

A la fira, una parada proposa aquest joc: apostes $1\text{ €}$ a un nombre del $1$ al $6$ i es tira un dau; si surt el teu nombre, et tornen $5\text{ €}$ (el teu euro més quatre més); si no, perds l'euro.

a) Quina és la probabilitat de guanyar?

b) Si jugues $60$ vegades, quin seria el teu balanç esperat?

c) És un joc equitatiu? Si no ho és, quant hauria de pagar el premi perquè ho fos?

Es tiren tres fitxes: una amb les cares verda i vermella, una altra amb verda i blava, i una altra amb vermella i blava. El jugador $1$ guanya si dues fitxes qualsevol mostren el mateix color; el jugador $2$ guanya si els tres colors són diferents.

a) Amb un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat de guanyar de cada jugador.

b) És un joc equitatiu?

c) Proposa un canvi en les regles o en els punts que el converteixi en un joc just.

A la caseta de fira de la figura, girar la ruleta costa $2\text{ €}$.

a) Calcula la probabilitat de cada resultat (sense premi, polsera i peluix).

b) Si jugues $100$ vegades, que costen $200\text{ €}$, quin valor total de premis esperaries rebre?

c) Vale la pena jugar? A qui afavoreix el joc?

La Carla i en Jesús juguen amb dos daus les cares dels quals són els sis primers nombres primers ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$). En Jesús proposa: «Si el producte és $49$, guanyes tu; si és $6$, guanyo jo». La Carla no ho accepta.

a) Quants parells donen com a producte $49$? I com a producte $6$?

b) Per què creus que la Carla no ho accepta? Calcula les probabilitats.

c) Proposa un producte per a cada jugador que faci que el joc sigui equitatiu.

Raona si són me certes o falses aquestes afirmacions sobre la loteria i l'atzar:

a) Com que a la meva ciutat gairebé mai no toca el premi gros, tinc més probabilitat si compro el dècim en una altra ciutat.

b) El nombre $00\,027$ té menys probabilitat de sortir que el $23\,568$.

c) Si en els últims sortejos ha sortit moltes vegades la terminació en $5$, ara és menys probable que surti.

d) Si una moneda ha sortit cara $6$ vegades seguides, en la tirada següent és més probable la creu.

Dos amics juguen traient una carta de la baralla espanyola: tu guanyes si surt una figura i el teu amic, si surt una carta del pal de bastos.

a) Calcula la probabilitat de guanyar de cadascú.

b) Qui té avantatge?

c) Si voleu que el joc sigui equitatiu sense canviar els successos, quants punts hauria de donar cadascú per victòria? Explica la teva proposta.

D'una bossa amb $4$ boles vermelles i $4$ verdes s'extreu una bola: si és vermella, tu guanyes $3$ punts; si és verda, la teva amiga guanya $5$ punts. Després de cada ronda, la bola es torna a la bossa.

a) Quina és la probabilitat de puntuar de cadascú?

b) Si jugueu $40$ rondes, quin marcador esperaries?

c) És un joc equitatiu? Per què?

Estàs dissenyant les regles d'un joc de taula d'aventures. Un jugador arriba a una porta secreta i pot intentar forçar el pany pagant un cost fix de $3$ monedes d'or. Per resoldre l'intent, es llança un dau cúbic equilibrat amb les cares numerades de l'$1$ al $6$. Si s'obté un nombre múltiple de $3$ ($3$ o $6$), l'intent té èxit i el cofre atorga un botí de $P$ monedes d'or de benefici net (a més de recuperar les $3$ monedes apostades). Si surt qualsevol altre resultat ($1$, $2$, $4$ o $5$), l'intent fracassa i el jugador perd definitivament les seves $3$ monedes.

a) Calcula la probabilitat de tenir èxit i la probabilitat de fracassar en un llançament.

b) Planteja l'equació del guany net esperat i indica quin valor ha de tenir el premi net $P$ perquè la decisió de forçar el pany sigui un joc matemàticament equitatiu (guany esperat igual a $0$).

c) Imagina que el reglament ja està imprès i fixa obligatòriament el premi net en $P = 4$ monedes i l'aposta en $3$ monedes. L'equip de disseny et demana modificar la regla del dau perquè el joc sigui equitatiu simplement canviant la quantitat de cares guanyadores. És possible aconseguir que el joc sigui equitatiu triant un nombre determinat de cares guanyadores en un dau de $6$ cares? Demostra matemàticament per què és possible o impossible.

La comissió de festes d'un municipi de la serra organitza una jornada de senderisme per a joves. El lloguer del material i el transport tenen un cost tancat de $40\text{ €}$ per participant, que s'abona per avançat. D'acord amb les sèries històriques de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) per a aquesta època de l'any, la probabilitat que es declari una alerta meteorològica que obligui a suspendre l'activitat per seguretat és del $20\,\%$ ($0,20$). Si l'activitat es suspèn i no es té assegurança, es perd el $100\,\%$ dels diners pagats.

Una empresa d'assegurances ofereix una pòlissa opcional per $10\text{ €}$ per persona: si l'activitat es suspèn, l'asseguradora reemborsa íntegrament els $40\text{ €}$ del cost de l'activitat.

a) Modela la situació calculant el balanç econòmic esperat (pèrdua esperada) per a una persona que decideix no contractar l'assegurança.

b) Si la persona contracta l'assegurança, assumeix un cost segur i definitiu de $10\text{ €}$. Compara aquesta quantitat amb la pèrdua esperada que has obtingut a l'apartat a).

c) Si a la jornada participen $150$ joves i cap d'ells contracta l'assegurança, quina pèrdua econòmica total s'espera que pateixi el col·lectiu de participants de mitjana? Quant pagaria el col·lectiu en total si tots contractessin la pòlissa?

d) Des d'un punt de vista estrictament matemàtic de balanç esperat, a qui afavoreix la pòlissa, als senderistes o a la companyia asseguradora? Explica quins motius no matemàtics poden portar una família a contractar l'assegurança malgrat aquest resultat.

En un joc es fan servir les tres ruletes de la figura. Cada jugador tria una ruleta, es giren les dues triades i guanya qui obté el nombre més gran.

a) Si s'enfronten la ruleta verda i la blava, qui guanya i amb quina probabilitat?

b) Si s'enfronten la ruleta blava i la vermella, qui guanya i amb quina probabilitat?

c) Si s'enfronten la ruleta vermella i la verda, qui guanya i amb quina probabilitat?

d) Si el teu rival tria ruleta primer, quina estratègia seguiries tu? Existeix una ruleta que sigui «la millor»? Explica el resultat.

Tres daus especials tenen aquestes cares:

• Dau vermell: $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $1$

• Dau verd: $2$, $2$, $2$, $5$, $5$, $5$

• Dau blau: $3$, $3$, $3$, $3$, $3$, $6$

Dos jugadors trien un dau cadascun, els tiren i guanya el nombre més gran.

a) Calcula la probabilitat que el dau vermell guanyi el verd.

b) Calcula la probabilitat que el dau verd guanyi el blau.

c) Calcula la probabilitat que el dau blau guanyi el vermell.

d) Si el teu rival tria dau primer, quin dau triaries tu en cada cas? Et sorprèn el resultat? Comenta'l.

Una ruleta té $6$ sectors iguals: $2$ vermells i $4$ blaus. Dos jugadors aposten: el jugador A al color vermell i el jugador B al blau.

a) Quines són les probabilitats de guanyar de cada jugador?

b) Si en cada partida el guanyador s'emporta els punts que tots dos han me apostat, proposa quants punts hauria d'apostar cadascun perquè el joc fos equitatiu. Justifica la teva proposta.

c) Dissenya un altre repartiment de sectors i d'apostes que també doni un joc equitatiu.

En un videojoc, un cofre costa $25$ monedes d'or i conté: un objecte comú (valor de $10$ monedes) amb una probabilitat de $0,7$; un objecte rar (valor de $50$ monedes) amb una probabilitat de $0,25$; o un objecte èpic (valor de $300$ monedes) amb una probabilitat de $0,05$.

a) Si compres $100$ cofres, quants objectes de cada tipus esperaries obtenir?

b) Quin seria el valor total esperat d'aquests objectes? I la despesa total?

c) Compensa comprar cofres a llarg termini? Raona la resposta.

A la fira local es presenta una atracció en què es llancen alhora dos daus corrents de sis cares (numerades de l'$1$ al $6$). La participació costa $2\text{ €}$ i el firaire permet triar entre dues modalitats d'aposta abans de tirar:

• Modalitat Suma: Guanyes si la suma dels dos daus és $7$ o $8$. El premi net és de $3\text{ €}$ (et retornen la teva moneda de $2\text{ €}$ i reps $3\text{ €}$ addicionals).

• Modalitat Dobles: Guanyes si tots dos daus mostren el mateix nombre (dobles: $1$-$1$, $2$-$2$, etc.). El premi net és de $8\text{ €}$ (et retornen els teus $2\text{ €}$ i reps $8\text{ €}$ addicionals).

Dos amics debaten com decidir quina modalitat triar per tenir una sessió de joc més favorable:

• Mètode 1 (criteri de probabilitat): Sosté que cal calcular únicament la probabilitat de guanyar de cada modalitat i triar la que tingui més probabilitat, perquè el primordial és encertar.

• Mètode 2 (criteri de guany esperat): Sosté que cal ponderar la probabilitat d'encertar i de fallar amb els imports en joc, calculant el guany net esperat per partida.

a) Aplica el Mètode 1: determina l'espai mostral dels $36$ resultats equiprobables i calcula la probabilitat de guanyar en cada modalitat. Segons aquest mètode, quina modalitat s'hauria de triar?

b) Aplica el Mètode 2: calcula el guany net esperat per partida per a la Modalitat Suma i per a la Modalitat Dobles. Segons aquest mètode, quina modalitat és preferible per al jugador?

c) Compara tots dos mètodes i justifica quin és el correcte per prendre decisions en jocs d'atzar. Explica amb claredat la limitació o parany conceptual en què cau el Mètode 1.

d) Ofereix alguna de les dues modalitats un avantatge matemàtic real enfront del firaire (guany net esperat positiu)? Raona la teva resposta.

Una cadena de supermercats a Espanya introdueix a la seva aplicació mòbil una promoció de fidelització. Per cada compra superior a $30\text{ €}$, el client rep una participació per triar entre dues opcions de recompensa en la seva següent compra:

• Opció A (Descompte directe): S'aplica un descompte segur i immediat de $0,75\text{ €}$.

• Opció B (Ruleta digital): Es fa girar una ruleta electrònica dividida en $10$ sectors d'igual mida i probabilitat. En $6$ d'ells surt «Gràcies per participar» ($0\text{ €}$ de premi), en $3$ d'ells s'obté un cupó d'$1\text{ €}$ de descompte, i en $1$ d'ells s'obté un cupó especial «Súper Estalvi» de $X\text{ €}$ de descompte net.

Un client comenta en una xarxa social: «Sempre trio la Ruleta digital perquè $4$ dels $10$ sectors tenen premi i, si fas $10$ compres seguides, l'estadística t'assegura almenys una vegada el cupó Súper Estalvi de $X\text{ €}$».

a) Raona matemàticament per què l'afirmació del client a les xarxes socials és falsa: garanteix realitzar $10$ tirades que toqui el sector del cupó Súper Estalvi almenys una vegada? Basa't en el principi que l'atzar no té memòria.

b) Modela el guany esperat per tirada de l'Opció B expressant-lo com una fórmula matemàtica en funció del valor desconegut $X$.

c) Planteja una inequació i calcula quin valor mínim ha de tenir el premi $X$ del cupó especial perquè a un consumidor li resulti matemàticament més rentable a llarg termini triar l'Opció B enfront de l'Opció A.

d) Si l'empresa fixa $X = 5\text{ €}$ i una família realitza $40$ compres a l'any en aquest supermercat fent servir l'app, calcula l'estalvi total esperat acumulat en un any amb cada opció. A la llum dels resultats, quina opció recomanaries a una persona que busca maximitzar el seu estalvi anual?

Repte del tema. És ètic muntar una parada d'apostes a la fira solidària de l'institut? Dissenyaràs i auditaràs un joc amb daus per decidir si és just i rentable.

1. Espai mostral i Laplace: Dissenya un joc llançant dos daus on es guanyi si la suma és més gran o igual que $9$. Detalla l'espai mostral $E$ ($36$ esdeveniments elementals equiprobables) i calcula mitjançant la regla de Laplace la probabilitat teòrica $P(\text{guanyar})$.

2. Probabilitat experimental: Fes $50$ tirades reals a casa (o simula-les en un full de càlcul amb la funció aleatòria). Anota els resultats, calcula la freqüència relativa $f_r$ després de cada bloc de $10$ llançaments i analitza com evoluciona respecte a la probabilitat teòrica.

3. Dades reals i presa de decisions: Consulta al web oficial de Loterías y Apuestas del Estado la probabilitat d'encertar $6$ números a La Primitiva ($1$ entre $13,98$ milions, és a dir, $P \approx 0,000000071$). Redacta una proposta raonada comparant ambdós riscos: estableix el preu per partida i el valor del premi del teu joc per recaptar fons de manera transparent.

Es valorarà:

• Determinació rigorosa de l'espai mostral i aplicació exacta de la regla de Laplace.

• Recollida sistemàtica de freqüències relatives i comparació crítica amb el valor teòric.

• Proposta econòmica fonamentada a partir de les dades i la comparativa amb jocs d'atzar reals.