Exercicis: Freqüència relativa i probabilitat experimental

S'ha tirat un dau $50$ vegades i el $6$ ha sortit $8$ vegades.

a) Calcula la freqüència relativa del succés «surt $6$».

b) Compara-la amb la probabilitat teòrica $\frac{1}{6}$. Et sembla raonable el resultat?

S'ha girat $40$ vegades l'agulla d'una ruleta amb $4$ colors i s'han obtingut aquests resultats: vermell $12$ vegades, blau $10$, verd $8$ i groc $10$.

a) Fes una taula amb les freqüències absolutes i relatives de cada color.

b) Quin color ha sortit amb més freqüència relativa?

En tirar una moneda $200$ vegades s'han obtingut $98$ cares.

a) Calcula la freqüència relativa del succés «cara».

b) Sospitories que la moneda està trucada? Per què?

En una classe de $30$ alumnes, $12$ venen a l'institut en bicicleta o patinet.

a) Quina és la freqüència relativa d'aquest succés a la classe?

b) Si l'institut té $600$ alumnes, quants esperaries que vinguessin en bici o patinet? És el valor exacte o només una estimació? Per què?

En Marcos llança un dau cúbic convencional de $6$ cares un total de $12$ vegades per comprovar si està trucat. Obté el número $5$ en $4$ ocasions. Després de l'experiment, en Marcos afirma: «La freqüència relativa de treure un $5$ és $4/12 = 1/3 \approx 0,33$. Com que la probabilitat teòrica és $1/6 \approx 0,17$, el dau està clarament trucat. A més, en la següent tirada és gairebé impossible que torni a sortir el $5$, perquè ja ha sortit massa».\n\na) Identifica els dos errors de raonament probabilístic que comet en Marcos i explica per què són incorrectes.\n\nb) Per què una sèrie de només $12$ llançaments no permet assegurar si el dau està trucat o no?\n\nc) Si el dau fos legal i es llançés $1\,200$ vegades, al voltant de quin valor esperaries que s'estabilitzés la freqüència relativa d'obtenir un $5$ i quantes vegades sortiria aproximadament aquest número?

En una parada de fira benèfica hi ha una urna opaca amb bitllets premiats i no premiats. Després d'obrir els primers $50$ bitllets de la tarda, la freqüència relativa de bitllets premiats ha estat exactament de $0,14$.\n\na) Quants bitllets premiats han sortit en aquestes primeres $50$ extraccions?\n\nb) L'organització afegeix nous bitllets i es proposa que, en finalitzar les següents $150$ extraccions (arribant a un total acumulat de $200$ bitllets jugats), la freqüència relativa total de premis pugi exactament fins a $0,20$. Quants bitllets amb premi haurien de sortir obligatòriament en aquesta segona tanda de $150$ extraccions?\n\nc) Explica per què, encara que l'organització hagi dissenyat l'urna amb aquesta intenció, el caràcter aleatori del sorteig no permet assegurar al $100\,\%$ que en la segona tanda sortirà exactament aquesta quantitat calculada.

Es tira un dau cada vegada més vegades i s'anota la freqüència relativa del succés «obtenir $4$»: amb $10$ tirades surt $0,2$; amb $50$, $0,18$; amb $100$, $0,16$; amb $500$, $0,164$; amb $1\,000$, $0,167$.

a) Cap a quin valor sembla que s'estabilitza la freqüència relativa?

b) Quina relació té aquest valor amb la regla de Laplace?

c) Quants «quatres» esperaries en $6\,000$ tirades?

Una fàbrica de sabatilles revisa $400$ parells cada dia i anota els que tenen algun defecte: dilluns $8$, dimarts $5$, dimecres $10$, dijous $6$ i divendres $11$.

a) Calcula la freqüència relativa de parells defectuosos de cada dia.

b) Calcula la freqüència relativa de parells defectuosos de tota la setmana.

c) Si triem a l'atzar un parell fabricat aquesta setmana, quina probabilitat estimaries que fos defectuós?

El gràfic mostra la freqüència relativa de «cara» en tirar una moneda un nombre creixent de vegades.

a) Llegeix al gràfic la freqüència relativa després de $80$ tirades.

b) Cap a quin valor sembla que s'estabilitza la freqüència relativa?

c) Creus que la moneda està trucada? Justifica la teva resposta.

Una taba (os de xai que s'utilitzava com a dau) s'ha tirat $600$ vegades i ha caigut amb la cara llisa cap amunt $264$ vegades.

a) Quina probabilitat experimental assignaries a aquest resultat?

b) Explica per què en aquest experiment no es pot aplicar la regla de Laplace.

c) Quantes vegades esperaries que caigués així en les pròximes $150$ tirades?

Un professor demana fer girar $360$ vegades una ruleta amb tres sectors: vermell ($180º$), blau ($90º$) i verd ($90º$). Tres alumnes lliuren aquests resultats:

a) Calcula la freqüència relativa de cada color a les tres taules.

b) Quines serien les freqüències esperades segons les probabilitats teòriques?

c) Dos dels alumnes han fet trampa. Qui són i per què?

Es tira $100$ vegades la tapa d'un pot i cau amb la part superior cap amunt $64$ vegades.

a) Estima la probabilitat que caigui boca amunt.

b) I que caigui boca avall?

c) Si es tira $500$ vegades més, quantes vegades es pot esperar que caigui boca amunt?

d) Per què no podem fer servir la regla de Laplace amb la tapa?

El gràfic mostra la freqüència relativa de «cara» en $500$ tirades d'una moneda.

a) Cap a quin valor s'estabilitza la freqüència relativa?

b) Està trucada la moneda? Per què?

c) Quantes cares esperaries si es tirés $1\,000$ vegades més?

Una jugadora de bàsquet té un percentatge històric del $80\%$ en tirs lliures. En l'últim partit ha encistellat només $3$ de $5$. La seva entrenadora comenta: «Avui ha baixat la seva probabilitat d'encert».

a) Hi estàs d'acord, amb l'entrenadora? Raona la resposta distingint entre probabilitat i freqüència en poques repeticions.

b) Què esperaries si tirés $100$ tirs lliures en els pròxims entrenaments?

Durant els entrenaments del mes, la Lucía ha llançat $80$ tirs lliures a cistella i n'ha encistellat $68$.\n\na) Sense fer divisions escrites ni fer servir calculadora, estima de manera raonada si la seva freqüència relativa d'encert està més a prop del $70\,\%$, del $85\,\%$ o del $95\,\%$. Explica en què et fixes mentalment per fer la teva estimació.\n\nb) Calcula el valor exacte de la freqüència relativa d'encerts expressada com a fracció irreductible, nombre decimal i percentatge. Comprova si la teva estimació de l'apartat anterior era encertada.\n\nc) En el següent partit, la Lucía llança els seus primers $4$ tirs lliures i falla tots $4$. Un espectador afirma: «La Lucía ha perdut punteria; la seva probabilitat d'encistellar ha caigut en picat». Basant-te en la relació entre la mida de la mostra i l'estabilitat de les freqüències relatives, explica per què la conclusió de l'espectador no té base matemàtica.

Una estació meteorològica d'AEMET en una localitat costanera ha registrat el temps diari durant el mes d'octubre al llarg dels últims $20$ anys, acumulant una sèrie històrica de $620$ dies d'octubre. En aquest registre, es van comptabilitzar precipitacions apreciables en $217$ d'aquestes jornades.\n\na) Modela la probabilitat que plogui un dia qualsevol d'octubre en aquesta localitat a partir de la seva freqüència relativa històrica. Expressa el resultat com a fracció irreductible, nombre decimal i percentatge.\n\nb) Els primers $4$ dies d'octubre d'aquest any han estat completament secs i serens. Un veí afirma: «Demà dia 5 plourà segur per compensar, perquè la probabilitat de pluja és alta». Raona críticament si aquesta afirmació és vàlida des del punt de vista de l'atzar.\n\nc) Si el mes d'octubre té $31$ dies, quants dies de pluja s'esperarien teòricament en tot el mes segons el teu model? Significa això que en qualsevol any plourà obligatòriament aquesta quantitat de dies? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de variabilitat mostral.

Sospitem que un dau està trucat i el tirem $600$ vegades. El $6$ surt $168$ vegades.

a) Calcula la freqüència relativa del succés «surt $6$».

b) Quina freqüència relativa esperaries si el dau fos equilibrat?

c) Concluries que el dau està trucat? Per què?

d) Si el continuem tirant $300$ vegades més, quants «sisos» esperaries, segons la teva conclusió?

Un supermercat té una màquina de devolució d'envasos que, de mitjana, no hauria de rebutjar més del $2\%$ dels envasos vàlids. En una setmana es registren aquestes dades:

a) Calcula la freqüència relativa de rebuig de cada dia, arrodonint a les mil·lèsimes.

b) Calcula la freqüència relativa de rebuig de tota la setmana.

c) L'encarregat ha de decidir si truca al servei tècnic. Què li aconselles? Raona la decisió amb les dades.

Després de tirar una moneda $4$ vegades i obtenir $3$ cares, l'Omar afirma: «La probabilitat de treure cara amb aquesta moneda és $0,75$».

a) Explica l'error de la seva afirmació.

b) Què hauria de fer l'Omar per estimar la probabilitat amb fiabilitat?

c) Si la moneda és equilibrada, cap a quin valor s'acostarà la freqüència relativa de cares quan augmenti el nombre de tirades?

Dos equips de classe estimen experimentalment la probabilitat d'obtenir una suma de $7$ en tirar dos daus. L'equip A tira $30$ vegades i obté aquest succés $6$ vegades; l'equip B tira $300$ vegades i l'obté $50$ vegades.

a) Calcula les freqüències relatives de tots dos equips.

b) Calcula la probabilitat teòrica de «suma $7$» aplicant la regla de Laplace.

c) Quina estimació és més fiable? Per què?

Al laboratori de matemàtiques de 2n d'ESO es plantegen dos reptes:\n- Repte 1: Determinar la probabilitat que una xinxeta caigui «amb la punta cap amunt» en ser llançada sobre una taula.\n- Repte 2: Determinar la probabilitat d'obtenir una suma igual a $7$ en llançar simultàniament dos daus cúbics estàndard numerats de l'$1$ al $6$.\n\nPer resoldre'ls, dos grups proposen mètodes diferents:\n- Mètode A (Teòric / Regla de Laplace): Escriure l'espai mostral, comptar els casos favorables i els possibles, i dividir casos favorables entre casos possibles.\n- Mètode B (Experimental / Freqüències relatives): Llançar l'objecte $1\,000$ vegades, anotar quantes vegades ocorre el succés i calcular el quocient $f/N$.\n\na) Per al Repte 1, tria quin dels dos mètodes és l'únic adequat i justifica de manera rigorosa per què l'altre mètode conduiria a un resultat fals.\n\nb) Per al Repte 2, analitza la validesa de tots dos mètodes. Quin d'ells triaries per ser exacte i eficient sense necessitat de realitzar llançaments físics? Justifica la teva resposta explicant per què en aquest cas sí que és aplicable la regla de Laplace.\n\nc) Redacta una conclusió general que serveixi de guia als teus companys per saber en quines situacions del món real és estrictament obligatori recórrer a la probabilitat experimental i en quines és preferible el càlcul teòric.

La Direcció General de Trànsit (DGT) realitza controls preventius de la Inspecció Tècnica de Vehicles (ITV) a furgonetes de repartiment. Es disposa de les dades de dos controls independents a la mateixa comarca:\n- Mostra A (Control ràpid en un polígon): Es van inspeccionar $50$ furgonetes i se'n van detectar $8$ amb la ITV caducada.\n- Mostra B (Campanya comarcal intensiva): Es van inspeccionar $1\,200$ furgonetes i se'n van detectar $132$ amb la ITV caducada.\n\na) Calcula la freqüència relativa (en percentatge) de furgonetes amb ITV caducada a la Mostra A, a la Mostra B i en el conjunt agrupat de totes dues mostres ($1\,250$ furgonetes en total).\n\nb) Un informe preliminar afirma que al polígon industrial (Mostra A) el problema de la ITV és molt més greu perquè la proporció obtinguda és del $16\,\%$, mentre que a la comarca (Mostra B) és només de l'$11\,\%$. Utilitzant la llei dels grans nombres i la influència de les fluctuacions aleatòries en mostres petites, rebat aquest argument i explica per què no es pot assegurar aquesta diferència.\n\nc) Si en el registre provincial de la DGT consten $35\,000$ furgonetes de repartiment actives, quina de les tres freqüències relatives de l'apartat a) ofereix l'estimació més fiable i rigorosa del nombre total de furgonetes que circulen amb la ITV caducada? Justifica la teva elecció i calcula quantes furgonetes infractores s'estimarien a tota la província amb aquest valor.