Exercicis: Experiències aleatòries i espai mostral

Indica si cadascuna d'aquestes experiències és aleatòria o determinista, i justifica la teva resposta:

a) Escalfar aigua fins a $100$ °C i comprovar si bull.

b) Llençar una moneda i anotar si surt cara.

c) Mesurar quant triga a caure a terra un full de paper arrugat llençat des d'una taula.

d) Anotar el color del primer cotxe que passi pel carrer.

e) Calcular el preu de $3$ kg de taronges a $2,40\text{ €}$ el quilo.

A la bossa de la figura hi ha $6$ boles vermelles i $1$ verda. S'extreu una bola a l'atzar.

Classifica aquests successos com a segur, molt probable, poc probable o impossible:

a) Treure una bola vermella.

b) Treure una bola verda.

c) Treure una bola groga.

d) Treure una bola que sigui vermella o verda.

Escriu l'espai mostral de cada experiència aleatòria:

a) Llençar un dau i anotar la cara superior.

b) Llençar dues monedes i anotar el nombre de cares.

c) Extreure una carta d'una baralla espanyola i anotar el coll.

Escriu l'espai mostral d'aquestes experiències:

a) Treure una bola d'un bombo amb boles numerades del $1$ al $10$.

b) Llençar un dau tetraèdric amb les cares numerades del $1$ al $4$.

c) Anotar el nombre de gols que marcarà un equip en el seu pròxim partit.

En l'experiment «llençar dos daus i sumar-ne els punts»:

a) Escriu un succés segur.

b) Escriu un succés impossible.

c) Escriu un succés possible que no sigui ni segur ni impossible.

D'una urna amb boles numerades del $1$ al $8$ s'extreu una bola a l'atzar. Indica si aquests successos són elementals o compostos:

a) Treure el $5$.

b) Treure un nombre parell.

c) Treure un múltiple de $3$.

d) Treure el $8$.

Observa la ruleta de la figura.

a) Quin color té més probabilitats de sortir en girar l'agulla? I quin menys?

b) Hi ha colors amb la mateixa probabilitat? Quins?

c) Ordena els colors de més probable a menys probable.

Es llencen una moneda i un dau. Copia i completa a la teva llibreta la taula de doble entrada amb tots els resultats possibles:

a) Quants resultats diferents hi ha?

b) Quants inclouen cara?

c) Quants inclouen un nombre parell?

La Marta llança dues monedes idèntiques a l'aire i anota el nombre de cares obtingudes en total. En acabar, afirma en veu alta: «L'espai mostral d'aquest experiment és $E = \{0, 1, 2\}$; com que són tres resultats possibles, cadascun té una probabilitat d'un terç, així que treure dues cares és tan probable com treure exactament una cara».\n\na) Explica raonadament l'error que comet la Marta en confondre el conjunt de valors numèrics possibles amb els esdeveniments elementals equiprobables.\nb) Escriu l'espai mostral complet detallant els resultats de cada moneda (per exemple, $(C, X)$) i determina quants casos possibles componen realment l'experiment.\nc) Corregeix l'afirmació de la Marta indicant quin dels tres resultats ($0$, $1$ o $2$ cares) és en realitat el més probable i per què.

Per a una fira escolar de matemàtiques, t'han encarregat dissenyar una ruleta circular de la fortuna dividida en sectors amb tres colors: vermell, blau i blanc. L'experiment aleatori consisteix a fer girar l'agulla i registrar en quin color s'atura.\n\na) Escriu l'espai mostral $E$ de l'experiment.\nb) Dissenya el repartiment dels $360^\circ$ del cercle entre els tres colors perquè es compleixin simultàniament aquestes tres condicions:\n 1. L'esdeveniment «obtenir color vermell» ha de tenir el triple de possibilitats d'ocórrer que «obtenir color blanc».\n 2. L'esdeveniment «obtenir color blau» ha de tenir exactament les mateixes possibilitats d'ocórrer que «obtenir color blanc».\n 3. L'esdeveniment «obtenir color verd» ha de ser un esdeveniment impossible.\nIndica quants graus corresponen al sector de cada color.\nc) Escriu un esdeveniment segur per a la ruleta que has dissenyat i expressa'l amb paraules.

Es llencen dos daus i s'anota la suma dels punts.

a) Completa a la teva llibreta una taula de doble entrada amb les $36$ sumes possibles.

b) Escriu l'espai mostral de l'experiment.

c) Quants casos donen suma $7$? Enumera'ls.

d) Són equiprobables tots els resultats de l'espai mostral? Raona la teva resposta.

Es llencen un dau tetraèdric (cares numerades del $1$ al $4$) i un dau cúbic (del $1$ al $6$), i se n'anota la suma.

a) Construeix una taula de doble entrada amb tots els resultats.

b) Escriu l'espai mostral. Quants elements té?

c) Escriu els casos del succés «sumar $8$».

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es llencen tres monedes, tal com mostra el diagrama d'arbre de la figura.

a) Quants resultats possibles hi ha?

b) Escriu l'espai mostral.

c) Escriu els casos dels successos «sortir exactament $2$ cares» i «sortir alguna cara».

Al menjador escolar es pot triar un primer plat (amanida o sopa), un segon plat (pollastre, peix o pasta) i una postra (fruita o iogurt), tal com mostra el diagrama de la figura.

a) Quants menús diferents es poden formar?

b) Si un menú es tria completament a l'atzar, quants inclouen pasta?

c) Quants inclouen amanida i iogurt?

Es llencen alhora tres fitxes: una amb les cares verda i vermella, una altra amb les cares verda i blava, i una altra amb les cares vermella i blava.

a) Dibuixa un diagrama d'arbre i escriu l'espai mostral.

b) En quants resultats surten els tres colors diferents?

c) En quants resultats hi ha almenys dos colors iguals?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una urna hi ha $10$ fitxes numerades del $1$ al $10$: les del $1$ al $4$ són vermelles, les del $5$ al $7$ són verdes i les del $8$ al $10$ són blaves. S'extreu una fitxa a l'atzar. Escriu els casos de cada succés:

a) A = «fitxa vermella».

b) B = «fitxa amb nombre parell».

c) C = «fitxa blava amb nombre parell».

d) D = «fitxa vermella o verda».

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions:

a) L'espai mostral de llençar dues monedes i anotar els resultats és $\{CC, C+, ++\}$, i els tres casos són equiprobables.

b) Un succés elemental està format per un únic resultat de l'espai mostral.

c) El succés segur té probabilitat $1$.

d) En llençar un dau, «sortir un nombre més gran que $2$» és un succés compost.

En un examen de verdader o fals amb $3$ preguntes, un alumne respon completament a l'atzar.

a) Amb l'ajuda d'un diagrama d'arbre, escriu l'espai mostral de les seves respostes, anotant en cada pregunta si l'encerta ($A$) o la falla ($F$).

b) Escriu els casos del succés «encertar exactament $2$ preguntes».

c) Quants casos té el succés «fallar les $3$ preguntes»?

Es llancen alhora dos daus cúbics tradicionals (amb cares numerades de l'$1$ al $6$) i s'anota com a resultat de l'experiment la resta o diferència positiva entre les dues puntuacions: es resta la cara menor a la major (i si totes dues puntuacions són idèntiques, el resultat és $0$).\n\na) Estima: Abans de fer cap taula o llista al teu quadern, respon segons la teva intuïció: què creus que és més probable que passi, obtenir una diferència de $0$ o una diferència d'$1$? Justifica breument què et fa pensar això.\nb) Construeix una taula de doble entrada de $6 \times 6$ on figurin les $36$ diferències resultants dels dos daus.\nc) Escriu l'espai mostral $E$ de les diferències possibles.\nd) Comprova: Compta a la teva taula quantes combinacions donen com a diferència $0$ i quantes donen com a diferència $1$. Compara els resultats reals amb la teva estimació inicial i explica per què la intuïció sol fallar en aquest tipus de comparacions.

Per estudiar la fiabilitat de les prediccions en una comarca agrícola de l'interior d'Espanya, es modelitza el temps atmosfèric d'un cap de setmana complet observant únicament si dissabte plou ($L$) o no plou ($N$), i si diumenge plou ($L$) o no plou ($N$).\n\na) Raona si observar el temps que farà el cap de setmana que ve és una experiència aleatòria o determinista, distingint entre el que prediu la previsió meteorològica i el que passa realment.\nb) Dibuixa un diagrama d'arbre que representi totes les combinacions possibles de temps al llarg del cap de setmana i escriu l'espai mostral $E$ com a parells de resultats $(\text{dissabte}, \text{diumenge})$.\nc) Considera els tres esdeveniments següents:\n - Esdeveniment $A$: «Plou almenys un dels dos dies».\n - Esdeveniment $B$: «No plou cap dels dos dies».\n - Esdeveniment $C$: «Plou tres dies durant el cap de setmana».\nEnumera quins resultats formen cadascun d'aquests esdeveniments i classifica'ls de manera justificada en possible, segur o impossible.

Es llencen dos daus i se'n sumen els punts. Construeix a la teva llibreta la taula de doble entrada amb les $36$ sumes possibles i compta els casos de cada succés:

a) Suma parell.

b) Suma múltiple de $3$.

c) Suma més gran que $8$.

d) Suma igual a $1$.

Es llencen dos daus i se'n multipliquen els punts.

a) Construeix a la teva llibreta la taula de doble entrada amb els $36$ productes possibles.

b) Quants casos donen un producte parell?

c) Quants casos donen un producte més gran que $20$?

d) Quin és el producte que apareix amb més freqüència a la taula?

En l'experiment de la figura es llença una moneda: si surt cara, s'extreu una bola de l'urna A, i si surt creu, de l'urna B.

a) Escriu l'espai mostral de l'experiment complet.

b) Són equiprobables els quatre resultats? Raona la teva resposta.

c) En quina urna és més probable treure una bola vermella?

Per entrenar, un club de bàsquet té $3$ samarretes (vermella, blava i verda), $2$ pantalons (negre i blanc) i $2$ parells de sabates (model A i model B).

a) Dibuixa un diagrama d'arbre i calcula quants equipaments diferents es poden formar.

b) Quants equipaments inclouen la samarreta vermella?

c) Quants inclouen els pantalons negres i les sabates del model A?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En llençar dos daus i sumar-ne els punts, la Nora afirma: «L'espai mostral és $\{2, 3, 4, \ldots, 12\}$, que són $11$ casos, de manera que la probabilitat d'obtenir suma $12$ és $\frac{1}{11}$».

a) Explica l'error del seu raonament.

b) Calcula correctament la probabilitat d'obtenir suma $12$.

c) Quina és la suma més probable? Per què?

El codi d'un armariet del poliesportiu té $3$ rodes, cadascuna amb $4$ símbols: cercle, triangle, quadrat i estrella.

a) Quants codis diferents es poden formar?

b) Quants codis comencen per estrella?

c) Quants codis tenen els tres símbols iguals?

Un joc de dominó té $28$ fitxes, cadascuna amb dos nombres del $0$ al $6$, sense repetir cap parella.

a) Quantes fitxes contenen el nombre $6$? Enumera-les.

b) Quantes fitxes són dobles (els dos nombres iguals)?

c) Descriu el succés «la fitxa conté el $6$ o és doble» comptant quants casos té.

Compara aquestes dues experiències amb urnes:

• Experiència 1: d'una bossa amb $3$ boles verdes i $1$ vermella s'extreu una bola a l'atzar.

• Experiència 2: es llença una moneda; només si surt cara, s'extreu una bola d'una urna amb $2$ boles vermelles i $1$ verda.

a) Escriu l'espai mostral de cada experiència.

b) En quina de les dues és més fàcil obtenir una bola vermella? Raona la resposta calculant i comparant la probabilitat d'obtenir una bola vermella en cadascuna.

Al laboratori de matemàtiques del teu centre s'estudiaran dos experiments aleatoris diferents:\n- Experiència 1: Es llança un dau tetraèdric (amb $4$ cares numerades de l'$1$ al $4$) i un dau cúbic ordinari (amb $6$ cares de l'$1$ al $6$), i s'anota el producte de les dues cares.\n- Experiència 2: S'extreu una bola d'una urna que conté tres boles numerades amb l'$1$, el $2$ i el $3$. Si el nombre extret és senar, es llança una moneda i s'anota si surt cara ($C$) o creu ($X$); en canvi, si el nombre extret és parell, es fa girar una ruleta dividida en tres sectors iguals de colors: vermell ($R$), verd ($V$) i blau ($A$).\n\na) Per a cadascuna de les dues experiències, compara i raona quin mètode de registre (una taula de doble entrada o un diagrama d'arbre) és el més adequat i clar per no oblidar cap cas possible. Justifica la teva elecció assenyalant les dificultats que plantejaria utilitzar l'altre mètode en cada cas.\nb) Aplica el mètode que has seleccionat per a l'Experiència 2, representa'l detalladament i escriu de manera explícita el seu espai mostral $E$. Quants esdeveniments elementals el componen?

Vols construir un joc per a la setmana cultural del teu institut fent servir dos daus de quatre cares (tetraedres). Cada cara ha de contenir un únic nombre enter positiu (més gran o igual que $1$). Les regles del joc exigeixen llançar tots dos daus i sumar les puntuacions obtingudes a les cares recolzades.\nEl professor de matemàtiques t'imposa les condicions estrictes següents:\n1. L'espai mostral de la suma de tots dos daus ha de ser exactament $E = \{3, 4, 5, 6, 7\}$.\n2. Els dos daus no poden ser iguals: les $4$ cares del Dau A no poden tenir exactament la mateixa combinació de nombres que les $4$ cares del Dau B.\n\na) Dedueix pas a pas quins quatre nombres pot tenir el Dau A i quins quatre nombres pot tenir el Dau B (hi ha diverses possibilitats: n'hi ha prou de donar-ne una) perquè el resultat més petit possible sigui $3$, el més gran sigui $7$ i es puguin obtenir totes les sumes intermèdies sense que n'aparegui cap altra.\nb) Construeix la taula de doble entrada amb els $16$ resultats possibles de les sumes per verificar que la teva assignació compleix totes les condicions.\nc) A partir de la teva taula, justifica si els $5$ resultats de l'espai mostral $E$ són equiprobables o no, indicant quina suma o quines sumes es repeteixen més vegades.