Exercicis: Polinomis

En el món dels videojocs, el sistema de puntuació d'un nou títol de plataformes funciona de la manera següent: per cada moneda d'or recollida reps una quantitat de punts desconeguda $x$, però per cada enemic derrotat reps el triple de punts que per una moneda. En finalitzar el nivell, sempre et donen una bonificació fixa de $50$ punts d'experiència.

Escriu l'expressió algebraica que representa la puntuació total d'un jugador que ha aconseguit $12$ monedes i ha derrotat $4$ enemics.

Copia i completa la taula següent a la teva llibreta per identificar els elements fonamentals d'aquests monomis:

Per poder sumar o restar monomis, aquests han de ser semblants. Selecciona de la llista següent quins són semblants al monomi $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un repartidor de pizzes cobra un sou fix de $15$ euros per cada tarda de feina, més un extra de $3$ euros per cada comanda lliurada a domicili. L'expressió que calcula el seu guany és $G = 15 + 3x$, on $x$ és el nombre de comandes.

Calcula el valor numèric del seu guany (el que cobrarà en total) si una tarda aconsegueix repartir $8$ comandes.

Analitza el polinomi següent i respon a les preguntes:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) Quin és el grau del polinomi?
2. b) Com es diu el terme que no té variable (el $-8$)?
3. c) Quants termes té? Segons el nombre de termes, és un monomi, binomi o trinomi?
4. d) Quin és el coeficient del terme de grau més alt?

Troba l'expressió algebraica simplificada que representa el perímetre del marc rectangular següent per a fotografies:

Dats els polinomis següents, fes la suma $A(x) + B(x)$ i redueix els termes semblants:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Les identitats notables ens permeten calcular ràpidament algunes potències. Utilitza la fórmula del quadrat d'una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ per desenvolupar l'expressió següent:

$(x + 2)^2$

En Marcos ha de calcular el valor numèric del polinomi $P(x) = 3x^2 - 4x + 5$ per a $x = -2$. Al seu quadern escriu la resolució següent:

En acabar, en Marcos afegeix: «A més, és un polinomi incomplet perquè no té terme amb $x^3$».

1. a) Localitza i explica detalladament els dos errors comesos per en Marcos (un d'aritmètic en el càlcul de les potències o signes i un altre de conceptual en la classificació del polinomi).
2. b) Fes el càlcul correcte per trobar $P(-2)$ i classifica el polinomi indicant el seu grau, si és complet o incomplet, el seu coeficient principal i el seu terme independent.

Dissenya un polinomi $P(x)$ que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. El seu grau és $3$.

2. És un polinomi incomplet i no conté terme de grau $1$.

3. El seu coeficient principal és $-2$.

4. El seu terme independent és $16$.

Un cop hagis escrit el teu polinomi:

1. a) Comprova si el nombre $x = 2$ és una arrel del teu polinomi calculant el seu valor numèric $P(2)$ i justificant la teva conclusió a partir de la definició d'arrel.
2. b) Sense fer substitucions numèriques llargues, raona per què és impossible que el nombre $x = 0$ sigui una arrel d'aquest polinomi recolzant-te en el valor del seu terme independent.

En una botiga de tecnologia, el preu d'un smartphone de gamma mitjana és $x$ euros. Un smartphone de gamma alta costa el doble que el de gamma mitjana més 150 €, i una tauleta costa 80 € menys que el smartphone de gamma mitjana.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que representa el cost total de comprar dos smartphones de gamma mitjana, un de gamma alta i tres tauletes.
2. b) Redueix l'expressió obtinguda perquè sigui un polinomi en la seva forma més senzilla.
3. c) Si el preu del smartphone bàsic és $x = 200$ €, quants diners costarà la comanda total?

Donat el polinomi següent:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indica raonadament els elements següents:

1. a) El grau del polinomi.
2. b) El coeficient del terme de grau 2.
3. c) El terme independent.
4. d) El valor numèric de $P(x)$ per a $x = -1$.

Es llança un petit coet d'aigua des d'una plataforma. L'altura $h$ (en metres) a la qual es troba el coet en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) A quina altura es troba la plataforma de llançament? (Pista: calcula $h(0)$).
2. b) A quina altura estarà el coet als 2 segons de ser llançat?
3. c) Estarà el coet més alt als 3 segons o als 4 segons? Justifica la teva resposta calculant els valors numèrics corresponents.

Realitza les operacions amb polinomis següents i redueix el resultat final:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calcula l'àrea de la zona ombrejada de la figura següent. Expressa el resultat com un polinomi reduït en funció de $x$.

Multiplica els polinomis següents utilitzant la propietat distributiva i simplifica els termes semblants:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Aplica les fórmules de les identitats notables per desenvolupar les expressions següents:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Extreure factor comú és el pas invers a la propietat distributiva. Utilitza aquesta tècnica per simplificar les expressions algebraiques següents:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Una empresa pública de lloguer de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola aplica una tarifa mensual a les persones no abonades que depèn del temps d'ús. L'import es calcula mitjançant el polinomi $C(t) = 0,05t^2 + 1,2t + 8$, on $t$ representa el nombre d'hores totals d'ús al mes i $C(t)$ és el cost resultant en euros.

1. a) Interpreta què representa a la vida real el terme independent del polinomi calculant el valor numèric $C(0)$.
2. b) Un usuari registra $10$ hores d'ús el mes d'abril i duplica el seu temps a $20$ hores el mes de maig. Calcula el cost de la factura en cadascun d'aquests dos mesos.
3. c) Observant els resultats d'ambdós mesos i els termes del polinomi, justifica algebraicament per què en duplicar les hores d'ús el cost total no es duplica exactament, indicant quin terme és el responsable d'aquest efecte.

En un projecte escolar de tecnologia, es llança verticalment un petit coet d'aigua. La seva alçària en metres sobre el terra als $t$ segons del llançament ve donada pel polinomi $h(t) = -5t^2 + 29t + 6$.

1. a) Sense calcular el valor exacte, fes una estimació arrodonint mentalment el coeficient $29$ a $30$ per predir si als $t = 2$ segons l'alçària del coet estarà per sobre o per sota dels $40$ metres. Explica en una frase com has raonat la teva estimació.
2. b) Calcula ara el valor numèric exacte d'$h(2)$ i compara'l amb la teva predicció prèvia. Consideres que la teva estimació ha estat adequada i útil? Justifica-ho.
3. c) En calcular $h(6)$ s'obté exactament $0$. Interpreta què significa físicament aquest resultat per al vol del coet i quin nom matemàtic rep el nombre $6$ respecte a aquest polinomi.

Un dissenyador de videojocs està creant un patró de rajoles per al terra d'una masmorra. Al nivell 1 utilitza una rajola central, i a cada nivell següent envolta el patró anterior amb una nova capa de rajoles de diferent color. El nombre total de rajoles al nivell $n$ segueix una seqüència lògica.

Observa la figura que representa els tres primers nivells i:

1. Troba el polinomi $P(n)$ que expressa el nombre total de rajoles necessàries per construir fins al nivell $n$.

2. Calcula quantes rajoles tindrà un terra de nivell $n = 12$.

Una empresa de missatgeria cobra per enviar paquets segons la tarifa següent: un cost fix de gestió $G$ euros, més un preu de $2$ € per cada quilogram de pes, i un suplement de "distància premium" que equival al quadrat del pes del paquet dividit entre 4.

1. Escriu el polinomi $C(x)$ que representa el cost total de l'enviament d'un paquet de $x$ quilograms.

2. Si les despeses de gestió són $G = 5$ € i volem enviar un paquet de $8$ kg, quin serà el cost total?

3. Si l'empresa decideix duplicar el cost per quilogram i mantenir la resta de paràmetres, escriu el nou polinomi $C_2(x)$.

Calcula l'àrea de la zona ombrejada en la figura següent, expressant el resultat com un polinomi reduït en funció de $x$. La figura exterior és un quadrat de costat $3x + 2$ i el forat interior és un rectangle de base $x + 4$ i altura $x - 1$.

Opera i simplifica al màxim la següent expressió algebraica utilitzant les igualtats notables i l'extracció de factor comú:

Indica si el resultat final és un nombre constant o depèn del valor de $x$.

Donat el polinomi $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina el valor del coeficient $k$ sabent que el valor numèric del polinomi per a $x = 2$ és igual a zero ($x = 2$ és una arrel del polinomi). Una vegada trobat $k$, calcula el valor numèric de $P(x)$ per a $x = -1$.

Un parc té forma de rectangle. Originalment, la seva base mesura $x$ metres i la seva altura mesura $5$ metres menys que la base. L'ajuntament decideix ampliar el parc augmentant la base en $3$ metres i l'altura en $2$ metres.

1. Escriu el polinomi $A_1(x)$ de l'àrea del parc original.

2. Escriu el polinomi $A_2(x)$ de l'àrea del parc ampliat.

3. Troba el polinomi que representa l'increment d'àrea $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ i simplifica'l.

Realitza la següent operació combinada amb polinomis i redueix els termes semblants:

Extreu factor comú i utilitza les igualtats notables per descompondre en factors els polinomis següents (factorització).

Recorda les igualtats notables: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ i $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1. a) $Q(x) = 3x^3 - 12x$

1. b) $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

1. c) $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$

Per comprovar si els nombres $x = 3$ i $x = -1$ són arrels del polinomi expressat de forma factoritzada $P(x) = (x - 3) \cdot (x^2 + 5x + 4)$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Estratègia d'en Dani: Multiplicar tots els termes per obtenir el polinomi en la seva forma desenvolupada, ordenada i reduïda, i després substituir $x = 3$ i $x = -1$.

• Estratègia de l'Elena: Substituir directament els valors a cada parèntesi per separat sense desenvolupar la multiplicació, comprovant si algun dels factors dóna zero.

1. a) Aplica l'estratègia de l'Elena per comprovar si $x = 3$ és arrel de $P(x)$ mostrant els passos seguits.
2. b) Aplica l'estratègia que consideris més convenient per comprovar si $x = -1$ és arrel de $P(x)$.
3. c) Compara ambdós camins i argumenta quin dels dos mètodes és més eficient (menor nombre de càlculs i menor risc d'error en els signes). En quina propietat matemàtica de la multiplicació es recolza l'estratègia de l'Elena per evitar calcular el segon parèntesi quan el primer és igual a zero?

Considera la família de polinomis de segon grau descrita per l'expressió $P(x) = x^2 + b \cdot x + 15$, on $b$ representa un nombre enter que no coneixem.

1. a) Sabent que la representació gràfica d'aquest polinomi talla l'eix horitzontal $X$ en el punt d'abscissa $x = -3$, dedueix raonadament el valor que ha de tenir el coeficient $b$. (Recorda la relació entre els punts de tall amb l'eix $X$ i les arrels del polinomi).
2. b) Amb el valor de $b$ que has obtingut, escriu l'expressió definitiva del polinomi i comprova si també talla l'eix $X$ en el punt $x = -5$.
3. c) Un company afirma que si modifiquem el valor de $b$ per un altre nombre enter adequat, podríem aconseguir que $x = 0$ fos una arrel d'aquest polinomi. Demostra algebraicament que el teu company està equivocat i explica quin canvi concret caldria fer al polinomi perquè $x = 0$ pogués ser una arrel.