Exercicis: Operacions amb polinomis

En un videojoc d'estratègia, el teu inventari es divideix en dos cofres. El contingut del primer cofre ve donat pel polinomi $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ i el del segon per $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, on $x$ representa el nivell de raresa dels objectes. Calcula el polinomi total que representa la suma dels dos cofres: $P(x) + Q(x)$.

Per organitzar un esdeveniment d'e-sports, una empresa utilitza l'expressió $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ per calcular les seves despeses i $I(x) = 15x^2 + 2x$ per calcular els seus ingressos (on $x$ és el nombre de patrocinadors). Troba el polinomi que representa el benefici net, sabent que el benefici és la diferència entre ingressos i despeses: $I(x) - G(x)$.

Calcula el valor numèric del polinomi $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per als casos següents:

• a) Per a $x = 0$

• b) Per a $x = 1$

Observa l'esquema següent d'una pista d'skate rectangular. Escriu el polinomi reduït que representa el perímetre de la pista en funció de $x$.

Realitza l'operació següent multiplicant el monomi pel polinomi (aplicant la propietat distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Identifica els elements principals del polinomi següent:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) Quin és el seu grau?

• b) Quin és el coeficient principal?

• c) Quin és el terme independent?

• d) Quants termes té?

Un jove dissenyador està creant un logotip per a la seva marca de roba. El logotip central és un rectangle com el de la figura. Troba el polinomi que representa l'àrea total de la figura.

Treu factor comú en les expressions algebraiques senzilles següents:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

Lucía ha resolt en el seu quadern la següent resta de polinomis: $(5x^2 - 3x + 4) - (2x^2 - 7x - 1)$. En el pas final ha escrit com a resultat $3x^2 - 10x + 3$. Explica quins dos errors ha comès amb els signes en aplicar la regla de la resta de polinomis, detalla per què es produeixen i escriu el desenvolupament correcte pas a pas fins a arribar al polinomi reduït final.

Se't demana calcular el producte dels polinomis $P(x) = 3x^2 - 2$ i $Q(x) = 2x^2 + 5x - 4$. Respon a les següents qüestions abans i després de fer la multiplicació completa:

1. a) Abans de multiplicar terme a terme, dedueix quin ha de ser el grau del polinomi resultant $P(x) \cdot Q(x)$ i quin ha de ser el seu terme independent. Explica el teu raonament.
2. b) La teva comapnyera Alba afirma sense mirar els comptes que el resultat és $6x^5 + 15x^3 - 4x^2 - 10x - 8$. Sense desenvolupar el producte, quines dues raons immediates basades en la teva deducció anterior demostren que el seu resultat és impossible?
3. c) Calcula el producte complet aplicant la propietat distributiva, redueix els termes semblants i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era correcta.

En una botiga de videojocs, l'inventari de tres categories diferents ve expressat pels polinomis següents, on $x$ representa el nombre de llançaments nous d'aquest mes:

• Acció: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Estratègia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcula les expressions següents simplificant el resultat:

1. a) El total de videojocs a la botiga: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La diferència entre els jocs d'Acció i els d'Aventura: $A(x) - B(x)$
3. c) Quants jocs d'Estratègia quedarien si es ven la meitat d'un lot de mida $4x^2 - 2x$? Calcula: $C(x) - (2x^2 - x)$

Calcula l'àrea de la zona ombrejada en la figura següent. La figura representa una placa metàl·lica rectangular a la qual se li ha extret un rectangle interior per deixar espai a un component electrònic. Expressa el resultat com un polinomi en funció de $x$.

Dades addicionals:

• Base exterior: $5x + 3$

• Alçària exterior: $3x$

• Base interior: $x + 2$

• Alçària interior: $x$

Realitza les multiplicacions de polinomis següents i redueix els termes semblants:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Donada l'expressió combinada següent amb polinomis, opera i simplifica fins a obtenir un únic polinomi ordenat de major a menor grau:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Un arquitecte dissenya una plaça quadrada de costat $L = 2x + 5$ metres. Al centre, decideix col·locar una font també quadrada de costat $l = x - 3$ metres.

1. a) Desenvolupa l'expressió de l'àrea de la plaça utilitzant les identitats notables: $(2x + 5)^2$
2. b) Desenvolupa l'expressió de l'àrea de la font utilitzant les identitats notables: $(x - 3)^2$
3. c) Calcula el polinomi que representa la superfície de la plaça que queda lliure per caminar (Àrea plaça - Àrea font).

Aplica les identitats notables per desenvolupar les expressions següents directament, sense realitzar la multiplicació pas a pas:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Treure factor comú és el procés invers a la propietat distributiva. Analitza les expressions algebraiques següents i treu tots els factors comuns possibles (nombres i lletres):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

En un laboratori, el creixement d'una població de bacteris $A$ segueix el polinomi $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, on $t$ és el temps en hores. Una altra població $B$ creix segons el polinomi $B(t) = t^2 - 5t$.

Si els científics necessiten conèixer el comportament d'un cultiu mixt definit per l'operació $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, quin és el polinomi simplificat que representa aquesta població $C$?

En esborrar la pissarra al final de la classe de matemàtiques, ha desaparegut el polinomi $P(x)$ que completava la següent igualtat: $(2x^2 - 3x + 5) - P(x) + 3x \cdot (x - 2) = -x^2 + x + 9$.

1. a) Sense donar nombres a l'atzar, aïlla algebraicament $P(x)$ per deixar-lo sol en un dels membres de la igualtat.
2. b) Desenvolupa els productes i redueix els termes semblants per obtenir el polinomi $P(x)$ en la seva forma ordenada i simplificada.
3. c) Comprova que la teva resposta és correcta substituint el polinomi $P(x)$ que has obtingut en el primer membre de la igualtat original i verificant que coincideix amb el segon membre.

El servei municipal de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola calcula els seus costos i ingressos mensuals per cada bicicleta en funció de $x$, on $x$ representa els centenars de quilòmetres recorreguts al mes (per exemple, $x = 2$ equival a $200\text{ km}$):

• Cost de bateria i motor: $B(x) = 2x^2 + 15x + 30$ (en euros).

• Cost de frens i pneumàtics: $F(x) = x^2 + 25x + 10$ (en euros).

• Ingressos per recàrrecs d'ús intensiu: $I(x) = 5x \cdot (x + 4)$ (en euros).

1. a) Modela la despesa total de manteniment d'una bicicleta, $G(x)$, sumant $B(x)$ i $F(x)$ en una única expressió reduïda.
2. b) Quin significat econòmic real té el terme independent de $G(x)$ si una bicicleta passa tot el mes aparcada a l'estació ($x = 0$)?
3. c) Modela el balanç net de la bicicleta mitjançant el polinomi $N(x) = I(x) - G(x)$. Fes la resta parant una atenció especial als signes i simplifica el resultat.
4. d) Si una bicicleta recorre $300\text{ km}$ en un mes ($x = 3$), calcula el valor numèric $N(3)$ i interpreta si aquell mes la bicicleta genera saldo positiu (benefici) o negatiu (pèrdua) per aquests conceptes.

Calcula l'expressió següent reduint al màxim el polinomi resultant. Para una atenció especial a la jerarquia de les operacions i a l'ús dels parèntesis amb signes negatius al davant:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

Al centre d'un jardí quadrat de costat $2x + 5$ metres, s'hi ha instal·lat una piscina rectangular les dimensions de la qual són $x + 2$ metres de llargada i $x - 1$ metres d'amplada. Troba el polinomi que representa l'àrea de la zona de gespa (la part del jardí que no ocupa la piscina).

Determina el polinomi desconegut $Q(x)$ en la igualtat següent:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

A continuació, calcula el valor numèric de $Q(x)$ per a $x = -2$.

Una empresa de paquets dissenya caixes amb forma d'ortoedre. Les dimensions de la caixa són les següents: la llargada mesura $x + 5$ cm, l'amplada és $x - 2$ cm i l'alçària és el doble de l'amplada.

1. a) Expressa mitjançant un polinomi el volum de la caixa en funció de $x$.
2. b) Desenvolupa i simplifica aquest polinomi.

Troba el valor del coeficient $k$ en el polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabent que quan calculem el seu valor numèric per a $x = 2$ obtenim com a resultat $10$.

Aplica les identitats notables per desenvolupar i simplificar l'expressió següent:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Simplifica la fracció algebraica següent extreient primer el factor comú al numerador i al denominador:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Un fabricant de carcasses per a mòbils ha determinat que el cost de produir $x$ unitats ve donat pel polinomi $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, mentre que els ingressos obtinguts per la venda d'aquestes mateixes unitats s'expressen com $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Troba el polinomi $B(x)$ que representa el benefici (ingressos menys costos).

1. b) Calcula el benefici si es venen $40$ carcasses.

Per calcular el valor numèric de l'expressió algebraica $E(x) = (2x - 6) \cdot (x^2 + 5x - 2) - (2x - 6) \cdot (x^2 + 3x + 8)$ quan $x = 103$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode de Marcos: Multiplica els dos primers polinomis entre si, després multiplica els dos segons, resta els dos polinomis resultants canviant tots els signes del segon, redueix els termes semblants i substitueix $x = 103$.

• Mètode de Sara: Observa que el binomi $(2x - 6)$ apareix repetit en els dos blocs, l'extreu com a factor comú de tota l'expressió, simplifica el que queda dins del claudàtor i només al final substitueix $x = 103$.

1. a) Aplica el mètode de Marcos desenvolupant i simplificant completament l'expressió $E(x)$.
2. b) Aplica el mètode de Sara traient factor comú $(2x - 6)$, redueix l'expressió resultant i comprova que arribes exactament al mateix polinomi simplificat que a l'apartat a).
3. c) Justifica raonadament quin dels dos mètodes és més convenient per avaluar en $x = 103$ minimitzant el nombre d'operacions i el risc d'error. Utilitza aquest mètode més avantatjós per trobar mentalment el valor d'$E(103)$.

Considera el producte de polinomis $P(x) = (a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$, on $a$ i $b$ son nombres enters constants que no coneixem. En desenvolupar aquest producte i agrupar tots els seus termes semblants, sabem que el polinomi resultant compleix dues condicions:

1. El seu coeficient principal (el nombre que acompanya $x^3$) és igual a $6$.

2. El terme de grau 2 s'anul·la per complet (el seu coeficient final és $0$).

1. a) Escriu l'expressió que resulta de multiplicar terme a terme $(a \cdot x + 3) \cdot (2x^2 + b \cdot x - 4)$ abans d'agrupar els termes semblants.
2. b) Dedueix raonadament el valor exacte dels nombres $a$ i $b$ a partir de les dues condicions donades.
3. c) Amb els valors trobats, escriu el polinomi $P(x)$ completament desenvolupat, reduït i ordenat de major a menor grau.
4. d) Extreu el factor comú monomi més gran possible del polinomi $P(x)$ resultant i explica com comprovaries que la teva factorització és correcta utilitzant la propietat distributiva.