Exercicis: Monomis

En una botiga d'aplicacions, el benefici per cada descàrrega d'un joc s'expressa amb el monomi $7x^2y$. Identifica els elements següents d'aquesta expressió:

• Coeficient:

• Part literal:

• Grau del monomi:

Estem organitzant un inventari de peces de robòtica. Agrupa els monomis següents en parelles que siguin semblants entre si:

$5x^2$, $-3ab$, $x$, $\frac{1}{2}ab$, $-2x^2$, $8x$

Calcula el valor numèric del monomi $M(x) = -5x^2$ per als valors de la variable que s'indiquen:

1. a) $x = 2$
2. b) $x = -1$
3. c) $x = 0$

Observa l'hexàgon regular següent, el costat del qual mesura $x$ metres. Escriu el monomi que representa el seu perímetre i calcula el seu valor si cada costat mesurés $4,5$ cm.

Redueix les expressions algebraiques següents sumant i restant els monomis que siguin semblants:

1. a) $4x + 2x - x$
2. b) $5a^2 - 3a^2 + 7a^2$
3. c) $3ab + ab - 2ab$

Realitza les multiplicacions de monomis següents i simplifica el resultat:

1. a) $3 \cdot (5x^4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (4x)$
3. c) $(3a) \cdot (2b)$

Troba el monomi que expressa l'àrea del rectangle següent destinat a una zona de jocs "gaming" en un centre comercial:

Tradueix al llenguatge algebraic les frases següents utilitzant un sol monomi:

1. a) El doble del cub d'un nombre $x$.
2. b) La meitat del producte de dos nombres $a$ i $b$.
3. c) El triple del quadrat de la distància $d$.

Lucía ha de simplificar l'expressió $5x^3 + 3x^3$ en un exercici de classe i escriu a la pissarra: $5x^3 + 3x^3 = 8x^6$. Quan el professor li pregunta, justifica la seva resposta dient: «He sumat els coeficients ($5 + 3 = 8$) i també he sumat els exponents de les lletres ($3 + 3 = 6$)».

1. a) Identifica l'error que ha comès Lucía i explica, utilitzant la propietat distributiva (treure factor comú la part literal), per què els exponents no s'han de sumar.
2. b) Escriu el resultat correcte de la suma.
3. c) Quina operació entre els monomis $5x^3$ i $3x^3$ s'hauria d'haver realitzat perquè el resultat fos un monomi de grau $6$? Justifica la teva resposta.

Volem construir un monomi que compleixi alhora les tres condicions següents:

1) Les seves variables són $a$ i $b$, i el seu grau total és $4$.

2) L'exponent de la variable $b$ és exactament el triple que el de la variable $a$.

3) El seu coeficient és un nombre enter negatiu i el seu valor numèric per a $a = 2$ i $b = -1$ és igual a $10$.

1. a) Raona pas a pas quins han de ser els exponents d'$a$ i de $b$.
2. b) Planteja l'equació que et permeti deduir el coeficient del monomi a partir del valor numèric donat.
3. c) Escriu l'expressió algebraica final del monomi i comprova que verifica totes les condicions.

En una aplicació de matemàtiques, un bot ha classificat malament alguns monomis. La teva tasca és corregir la taula següent identificant el coeficient, la part literal i el grau de cadascun. Si trobes algun error en la classificació del bot, escriu-lo correctament:

Monomi	Coeficient	Part literal	Grau
$-5x^2y$	$5$	$x^2y$	$2$
$\frac{3}{4}ab^3c$	$3$	$ab^3c$	$4$
$-x^4$	$-1$	$x$	$4$
$7$	$7$	No en té	$1$

Un creador de contingut analitza el creixement de les seves xarxes socials. El nombre de "M'agrada" a les seves fotos ve donat pel monomi $8x^2y$, i el nombre de "Compartits" per $3x^2y$. Durant l'últim mes, ha rebut un extra de visualitzacions equivalent a $\frac{1}{2}x^2y$.

Calcula l'expressió algebraica simplificada que representa la interacció total sumant els tres conceptes.

Troba el monomi que representa l'àrea de la zona ombrejada següent, que forma part del disseny d'un nou parc de patinatge. Expressa el resultat de la forma més simplificada possible.

Calcula el valor numèric dels monomis següents per als valors de les variables que s'indiquen en cada cas:

1. a) $P(x, y) = -3x^2y$ per a $x = -2$, $y = 5$

1. b) $Q(a, b) = \frac{2}{3}a^3b^2$ per a $a = 3$, $b = -1$

En un videojoc d'estratègia, l'energia de la teva base augmenta segons la següent operació de monomis. Redueix l'expressió a un sol monomi:

$$(12x^5 \cdot 3x^2) : (9x^4)$$

Quin és el grau del monomi resultant?

Simplifica l'expressió següent que combina potències i divisions de monomis:

$$\frac{(-2a^3b)^2 \cdot 5ab^4}{10a^4b^3}$$

Observa la figura següent composta per dos rectangles adossats.

1. a) Escriu el monomi que representa l'àrea de cada rectangle per separat.
2. b) Escriu el polinomi que representa l'àrea total.
3. c) Extreu el factor comú en l'expressió de l'àrea total.

Completa els buits amb el monomi necessari perquè les igualtats siguin correctes:

1. a) $7x^3y + \dots \dots = 10x^3y$

1. b) $(-2ab^2) \cdot (\dots \dots) = 12a^3b^2$

1. c) $\frac{15x^4y^2}{\dots \dots} = 3x^2y$

Tenim el monomi $P(a, b) = -4a^2b^3$ i volem calcular el seu valor numèric per a $a = -2$ i $b = -1$.

1. a) Estima el signe: Abans de fer cap compte numèric complet, determina raonadament si el resultat final serà positiu o negatiu. Per fer-ho, analitza per separat el signe del coeficient $-4$, de la potència $(-2)^2$ i de la potència $(-1)^3$.
2. b) Estima l'ordre de magnitud: Sense calcular el valor exacte, dedueix si el valor absolut del resultat serà més gran o més petit que $100$. Justifica la teva estimació mental.
3. c) Comprova: Substitueix els valors en el monomi, calcula pas a pas el resultat final respectant la jerarquia de les operacions i confirma si les teves prediccions dels apartats anteriors eren encertades.

En una planta de reciclatge de vidre a Castella i Lleó, una trituradora emmagatzema el material en tremuges cúbiques l'aresta de les quals fa $x$ metres. La massa de vidre triturat (en quilograms) que cap en una tremuja completa ve donada pel monomi $M(x) = 1500x^3$.

1. a) Interpreta i explica quin significat físic tenen en aquest context real cadascuna de les parts del monomi: el coeficient $1500$, la variable $x$, la potència $x^3$ i el grau del monomi.
2. b) Si la planta utilitza actualment tremuges d'aresta $x = 0,8\text{ m}$, calcula quants quilograms de vidre triturat conté una tremuja plena.
3. c) En una jornada de treball s'omplen del tot $5$ d'aquestes tremuges d'aresta $x$. Expressa mitjançant un únic monomi simplificat la massa total recollida durant el dia i justifica per què ha estat possible agrupar aquestes quantitats.

Observa la seqüència següent de figures formades per petits quadrats. El primer terme ($n=1$) té 4 quadrats, el segon ($n=2$) en té 7, i el tercer ($n=3$) en té 10.

1. a) Determina el monomi que representa el nombre de quadrats en funció de la posició $n$, sabent que la relació és de tipus lineal (un monomi en $n$ més un terme independent).

1. b) Quants quadrats tindrà la figura que ocupa la posició $n=150$?

1. c) Si una figura té 91 quadrats, quina posició $n$ ocupa en la seqüència?

Simplifica al màxim la següent expressió combinada amb monomis, aplicant les propietats de les potències i la jerarquia de les operacions:

$$\frac{(-3x^2y^3)^2 \cdot (2x^4y)^3}{(-6x^3y^2)^2}$$

Expressa el resultat com un únic monomi.

Calcula el monomi que representa el perímetre i el polinomi que representa l'àrea ombrejada de la següent figura composta (un quadrat gran de costat $3x$ al qual se li han retallat quatre quadrats petits idèntics de costat $y$ a les cantonades):

Redueix les expressions al màxim.

Extreu el factor comú més gran possible (màxim comú divisor dels termes) en la següent expressió algebraica. Tingues una cura especial amb els coeficients fraccionaris:

$$\frac{4}{9}a^5b^2 - \frac{8}{27}a^3b^4 + \frac{2}{3}a^3b^2$$

En la següent "piràmide de productes", cada totxo és el resultat de multiplicar els dos monomis que té just a sota. Completa els buits buits trobant els monomis $A$, $B$ i $C$.

Es sap que el valor numèric del monomi $M(x, y) = -5x^a y^b$ és $-320$ quan $x=2$ i $y=2$. A més, es sap que el grau relatiu respecte a la variable $x$ és el doble que el grau relatiu respecte a $y$.

Troba els exponents $a$ i $b$ justificant els passos seguits.

Tres amics lloguen una pista de pàdel. El cost total ve donat per l'expressió algebraica $C(t, l) = 6t + 2l$, on $t$ és el temps en hores i $l$ és el nombre de pales llogades.

1. a) Si decideixen dividir la despesa a parts iguals, escriu l'expressió algebraica que representa el que ha de pagar cadascun.

1. b) Si un quart amic s'uneix al grup, el cost total de les pales augmenta (ara són $l+1$) i la despesa es divideix entre quatre. Escriu la nova expressió per al pagament individual.

1. c) Si el temps de joc és de $1,5$ hores i cadascun lloga la seva pròpia pala, quants euros estalvia cadascun dels tres amics originals en entrar el quart jugador?

Calcula el grau d'aquest monomi "encadenat" i simplifica'l a la seva forma més senzilla:

$$P(x) = x \cdot (2x^2)^3 : \left( \frac{1}{4}x^4 \right) + (-5x^3) \cdot (-2x^0)$$

Són semblants els termes resultants de la suma? Justifica la teva resposta.

Per calcular el valor numèric de l'expressió algebraica:

$$E = 7x^2y - 12x^2y + 8x^2y - 2x^2y$$

per a $x = -\frac{2}{3}$ i $y = 9$, dos estudiants segueixen camins diferents:

• Mètode A (Marcos): Substitueix directament els valors de $x$ i $y$ en cadascun dels quatre monomis per separat, calcula els quatre resultats numèrics i després realitza les sumes i restes amb els nombres obtinguts.

• Mètode B (Nuria): Agrupa primer els monomis semblants per reduir tota l'expressió a un únic monomi i, a continuació, substitueix els valors numèrics una sola vegada.

1. a) Resol l'exercici seguint amb detall el mètode de Marcos i després seguint el de Nuria.
2. b) Analitza tots dos procediments: en quin has hagut de fer més operacions amb potències i fraccions? Justifica quin dels dos mètodes és més convenient i segur per evitar errors de càlcul.

Un ajuntament dissenya dos tipus de parcel·les rectangulars per a horts comunitaris:

• L'hort de tipus A té una base de $3x$ metres i una alçària de $2x^2y$ metres.

• L'hort de tipus B té una base de $k \cdot x$ metres (on $k$ és un nombre fix que desconeixem) i una alçària de $5x^2y$ metres.

1. a) Troba el monomi que representa la superfície de cada tipus d'hort multiplicant la seva base per la seva alçària. Indica el coeficient, la part literal i el grau de cadascun.
2. b) Explica raonadament per què els dos monomis obtinguts són semblants, sigui quin sigui el valor del coeficient $k$.
3. c) L'ajuntament vol construir $4$ horts de tipus A i $2$ horts de tipus B. Determina el valor que ha de tenir el nombre $k$ perquè la superfície total d'horts construïts sigui exactament igual a $44x^3y\text{ m}^2$. Mostra tot el procés de deducció agrupant els monomis semblants.