Exercicis: El llenguatge algebraic

Expressa en llenguatge algebraic les situacions següents relacionades amb l'estalvi i les xarxes socials:

1. a) El nombre de seguidors que té un influencer, $x$, augmentat en $150$.
2. b) El preu d'una entrada de cinema, $p$, rebaixat en $2$ euros.
3. c) El triple de l'edat que té el meu germà, si la seva edat és $y$.
4. d) La meitat dels diners que tinc a la meva guardiola, sent $d$ la quantitat total.

Copia i completa la taula següent identificant els components d'aquests monomis:

Monomi	Coeficient	Part literal	Grau
$7x^2$
$-ab^3$
$\frac{1}{2}x^3y$
$-5$

De la llista de monomis següent, identifica i agrupa aquells que siguin semblants entre si:

$5x^2$, $3y$, $-2x$, $\frac{1}{4}x^2$, $8y$, $x^2$, $-5y$, $10x$

Calcula el valor numèric de les expressions següents per als valors que s'indiquen:

1. a) $3x + 10$ per a $x = 4$
2. b) $x^2 - 5$ per a $x = 3$
3. c) $2(a + b)$ per a $a = 5$ i $b = 2$
4. d) $\frac{12}{x}$ per a $x = 6$

Troba l'expressió algebraica que representa el perímetre del quadrat següent el costat del qual mesura $x$ metres:

Associa cada frase amb la seva expressió algebraica corresponent:

1. El doble d'un nombre més cinc unitats.                      a) $x - 5$

2. Un nombre disminuït en cinc unitats.                         b) $2x + 5$

3. La cinquena part d'un nombre.                                           c) $x^5$

4. Un nombre elevat a la cinquena potència.                           d) $\frac{x}{5}$

En una botiga de videojocs, el cost de llogar una consola és de $10$ euros fixos més $2$ euros per cada hora d'ús.

1. a) Escriu l'expressió algebraica del cost total per a un nombre d'hores $h$.
2. b) Quant pagarà la Ainhoa si lloga la consola durant $3$ hores?

Troba l'expressió algebraica que representa l'àrea del rectangle següent, sabent que la seva base mesura $5$ unitats més que la seva altura ($x$):

L'Alejandro lloga un patinet elèctric de mobilitat compartida a València. L'empresa aplica una tarifa d'$1$ € pel desbloqueig inicial més $0,25$ € per cada minut de trajecte. Per calcular el cost en euros d'un viatge d'$m$ minuts, l'Alejandro escriu al seu quadern l'expressió $(1 + 0,25) \cdot m$.

1. Identifica l'error conceptual que ha comès l'Alejandro en plantejar aquesta expressió.

2. Explica amb les teves paraules per què el terme fix mai no s'ha de multiplicar per la variable de temps en aquest tipus de tarifes.

3. Escriu l'expressió algebraica correcta per calcular el cost total del trajecte en funció dels minuts $m$.

En un municipi espanyol, la factura mensual de l'aigua domèstica es compon d'una quota fixa de manteniment i clavegueram d'$11,50$ €, a la qual se suma un cost d'$1,30$ € per cada metre cúbic ($m^3$) d'aigua consumida.

1. Escriu l'expressió algebraica que permet calcular l'import total de la factura mensual per a un habitatge que ha consumit $x$ metres cúbics d'aigua.

2. Si una família consumeix $14\text{ m}^3$ durant el mes de maig, calcula l'import total que vindrà al seu rebut.

3. Si un habitatge roman deshabitat durant les vacances i el seu consum és de $0\text{ m}^3$, quant pagarà aquell mes? Explica com es dedueix aquest resultat a partir de la teva expressió algebraica.

En una plataforma de streaming de videojocs, la tarifa mensual bàsica és de $12$ €. A més, cada vegada que vols jugar a un títol "Premium" fora del catàleg, has de pagar $3,50$ € addicionals.

Escriu l'expressió algebraica que representa el cost total que pagarà un usuari al mes si decideix jugar a $x$ títols "Premium".

Calcula l'expressió algebraica del perímetre de la figura següent, que representa el plànol d'una petita zona de jocs rectangular.

Observa la seqüència següent de figures formades per punts i determina el terme general $a_n$ que permet calcular el nombre de punts necessaris per a qualsevol figura $n$.

Un centre de reciclatge atorga "punts eco" segons el material lliurat:

• $5$ punts per cada quilogram de vidre ($v$).

• $3$ punts per cada quilogram de paper ($p$).

• $10$ punts fixos per cada visita al centre.

Escriu la fórmula dels punts totals $P$ que rep una persona en una visita. Un cop escrita, calcula quants punts rebrà un estudiant que lliura $4$ kg de vidre i $8$ kg de paper.

Analitza les expressions algebraiques següents i completa la informació sol·licitada en cada cas:

1. En l'expressió $7x^2y - 5x + 3$: Quants termes té? Quin és el terme independent?

2. Donat el monomi $-\frac{2}{3}ab^4$: Indica el seu coeficient, la seva part literal i el seu grau total.

La Iratxe està analitzant el creixement dels seus seguidors en una xarxa social. Va començar el mes amb $x$ seguidors. Durant la primera quinzena, el seu nombre de seguidors va augmentar al triple. Això no obstant, en la segona quinzena, va perdre $150$ seguidors a causa d'una neteja de comptes inactius.

Escriu l'expressió algebraica que representa el nombre final de seguidors de la Iratxe i calcula quants en té si va començar el mes amb $x = 420$.

Tradueix aquestes frases de llenguatge comú a llenguatge algebraic utilitzant una sola variable $x$:

1. a) La suma d'un nombre i la seva meitat.
2. b) El triple del resultat de restar cinc a un nombre.
3. c) El quadrat de l'anterior d'un nombre.
4. d) La diferència entre el doble d'un nombre i el seu següent.

Una caixa de cartró per a enviaments té una base quadrada de costat $x$ i una altura que és $5$ cm més gran que el costat de la base.

Dibuixa un esquema de l'ortoedre i escriu l'expressió algebraica simplificada que representa el volum de la caixa en funció de $x$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una furgoneta de missatgeria que reparteix en una capital de província té un cost operatiu diari modelitzat per l'expressió $C = 16,50 + 0,12 \cdot k$, on $C$ és la despesa total del dia en euros i $k$ és la distància recorreguda en quilòmetres ($16,50$ € per assegurances i impostos fixos diaris, més $0,12$ € per quilòmetre en combustible i desgast).

1. Abans de fer el càlcul exacte, fes una estimació mental de la despesa total per a una ruta de $195\text{ km}$. Per fer-ho, arrodoneix $16,50$ € a $17$ € i $0,12$ € a $0,10$ € (o empra un altre arrodoniment justificat que faciliti el càlcul mental). Mostra l'operació estimada que has realitzat.

2. Calcula el cost real exacte substituint $k = 195$ a l'expressió algebraica original.

3. Compara el valor exacte amb la teva estimació prèvia: calcula la diferència en euros i argumenta si l'estimació ha estat raonable i suficient per preveure la despesa de la jornada.

Vols inventar un joc d'endevinació matemàtica per als teus companys de classe. El joc ha de conduir de manera matemàtica a la següent expressió algebraica:

$$\frac{2 \cdot (x + 5) - 4}{2}$$

on $x$ és el nombre secret que tria inicialment el teu company.

1. Escriu de manera ordenada les instruccions verbals pas a pas que has de dictar al teu company perquè construeixi aquesta expressió (començant per «Pensa un nombre enter qualsevol...»).

2. Desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió algebraica aplicant la propietat distributiva i reduint els termes semblants.

3. A partir de l'expressió simplificada, explica quin és el «truc»: si el teu company fa les operacions en silenci i et diu en veu alta que ha obtingut $19$, quin càlcul mental instantani has de fer tu per dir-li quin nombre $x$ ha pensat al principi?

Un ajuntament vol instal·lar una tanca de fusta al voltant d'un nou parc infantil. La tanca es construeix unint panells rectangulars mitjançant posts verticals. Cada panell necessita $3$ llistons horitzontals. Per sostenir l'estructura, es col·loca un post al principi de la tanca i un altre al final de cada panell.

1. Escriu una expressió algebraica que permeti calcular el nombre total de llistons horitzontals necessaris per a una tanca que té $n$ panells.

2. Escriu una expressió algebraica per al nombre total de posts necessaris per a una tanca de $n$ panells.

3. Si cada post costa $p$ euros i cada llistó horitzontal costa $l$ euros, escriu l'expressió del cost total dels materials per a una tanca de $n$ panells.

Una empresa de missatgeria cobra als seus clients segons el pes dels paquets i la distància de l'enviament. La tarifa base és de $B$ euros. A aquesta quantitat se li suma:

• $2,5$ euros per cada quilogram de pes ($w$).

• $0,15$ euros per cada quilòmetre de distància ($d$).

Si el client és "Premium", se li aplica un descompte del $15\%$ sobre el preu total de l'enviament. Escriu l'expressió algebraica que determini el cost total d'enviar un paquet per a un client "Premium" en funció de $B$, $w$ i $d$.

En una làmina d'acer quadrada de costat $x$ centímetres, un operari ha de retallar quatre cercles iguals, un a cada cantonada, per fabricar una peça industrial. El radi de cada cercle és de $r$ centímetres.

1. Escriu l'expressió algebraica de l'àrea de la làmina que sobra després de fer els quatre retalls (utilitza $\pi$ com a símbol).

2. Si sabem que el radi dels cercles és la quarta part del costat de la làmina, és a dir $r = \frac{x}{4}$, simplifica l'expressió anterior perquè depengui únicament de la variable $x$.

Observa la seqüència següent de figures formades per petits hexàgons. La primera figura té un hexàgon central rodejat per sis hexàgons més. En cada pas, s'afegeix una nova capa d'hexàgons al voltant de la figura anterior.

1. Determina quants hexàgons té la capa número $n$ (sense comptar els de les capes interiors).

2. Troba l'expressió algebraica que representa el nombre total d'hexàgons que formen la figura completa quan aquesta té $n$ capes al voltant de l'hexàgon central.

(Pista: El nombre d'hexàgons afegits en cada capa segueix una progressió).

Tradueix a llenguatge algebraic les propietats següents relatives a nombres enters:

1. El quadrat de la suma de dos nombres qualssevol, $a$ i $b$, és igual a la suma dels seus quadrats més el doble del seu producte.

2. La suma dels quadrats de tres nombres consecutius, essent $n$ el menor d'ells.

3. La diferència entre el cub d'un nombre $x$ i el quadrat de la seva meitat.

4. El quocient entre la suma d'un nombre i el seu invers, i el triple d'aquest nombre.

Tres germans, Marcos, Valentina y Adrián, decideixen estalviar per comprar un regal. Sabem que:

• La Valentina ha estalviat $x$ euros.

• En Marcos ha estalviat $10$ euros menys que el triple del que té la Valentina.

• L'Adrián ha estalviat la meitat de la suma del que tenen els seus altres dos germans junts.

Expressa en funció de $x$:

1. Els diners que té en Marcos.

2. Els diners que té l'Adrián (simplifica l'expressió).

3. Els diners totals estalviats pels tres germans.

Es vol dissenyar una caixa de cartró sense tapa a partir d'una làmina rectangular de cartolina que mesura $50$ cm de llargada per $30$ cm d'amplada. Per fer-ho, es retalla un quadrat de costat $x$ a cadascuna de les cantonades i es dobleguen les pestanyes cap amunt.

Escriu l'expressió algebraica simplificada que representa:

1. L'àrea de la base de la caixa en funció de $x$.

2. El volum total de la caixa en funció de $x$.

Una plataforma de streaming ofereix dos tipus de subscripció:

• Pla Bàsic: Una quota fixa de $x$ euros al mes més $0,50$ euros per cada pel·lícula d'estrena llogada ($p$).

• Pla Premium: Una quota fixa que costa un $40\%$ més que la bàsica, però permet veure un nombre il·limitat de pel·lícules sense cost addicional.

• Escriu l'expressió algebraica del cost mensual del Pla Bàsic.

• Escriu l'expressió algebraica del cost mensual del Pla Premium.

• Escriu l'expressió que representa la diferència de cost entre el Pla Premium i el Pla Bàsic en un mes on es lloguen $p$ pel·lícules. Per a quins valors de $p$ resultaria més car el Pla Bàsic que el Premium? (Indica només la condició).

Dos estudiants de 2n d'ESO, en Marcos i la Sara, volen demostrar de manera general que «la suma de tres nombres enters consecutius sempre és divisible entre $3$». Cadascun proposa un camí algebraic diferent:

• Mètode d'en Marcos: anomena el primer nombre $n$, el segon $n + 1$ i el tercer $n + 2$.

• Mètode de la Sara: anomena el nombre central $n$, l'anterior $n - 1$ i el posterior $n + 1$.

• Desenvolupa i simplifica la suma que planteja en Marcos. Justifica per què l'expressió obtinguda demostra que el resultat sempre és múltiple de $3$, sense importar el valor del nombre enter $n$.

• Desenvolupa i simplifica la suma que planteja la Sara. Justifica per què també demostra la mateixa propietat.

• Compara els dos mètodes: quin dels dos resulta més directe i elegant a l'hora de simplificar els termes numèrics? Justifica la teva resposta.

• Un company diu: «Per a què complicar-se amb lletres; provant que $4+5+6=15$ i que $10+11+12=33$ ja es veu que la regla funciona». Rebat el seu argument explicant quina és la funció essencial de l'àlgebra enfront de la simple comprovació amb exemples numèrics.

En el torneig comarcal de futbol sala escolar hi participen $n$ equips. A la fase prèvia, tots els equips han de jugar contra tots exactament una vegada (sistema de lliga a una sola volta). L'organització utilitza l'expressió algebraica $P = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}$ per calcular el nombre total de partits que s'han de programar.

1. Interpreta l'estructura lògica de la fórmula: explica per què es multiplica el nombre d'equips $n$ per $(n - 1)$, i per què és obligatori dividir aquest producte entre $2$.

2. Atès que el nombre de partits ha de ser forçosament un nombre enter per a qualsevol quantitat d'equips $n$ ($n \ge 2$), demostra algebraicament que $P$ sempre dóna un resultat enter exacte estudiant per separat els dos casos possibles:

3. Cas A: El nombre d'equips és parell ($n = 2k$, sent $k$ un nombre natural).

4. Cas B: El nombre d'equips és senar ($n = 2k + 1$, sent $k$ un nombre natural).

(Substitueix cada forma a la fórmula de $P$ i simplifica la fracció).

1. Si el poliesportiu municipal només disposa d'hores lliures per disputar un màxim de $20$ partits durant el cap de setmana, determina mitjançant la fórmula algebraica si és possible admetre un torneig de $7$ equips.