Exercicis: Expressions algebraiques

En una botiga de videojocs en línia, el preu d'una subscripció mensual és de $x$ euros. Tradueix a llenguatge algebraic les situacions següents:

1. a) El cost de tres subscripcions mensuals.
2. b) El preu d'una subscripció després d'aplicar un cupó de descompte de $5$ euros.
3. c) El que paga un grup d'amics per una subscripció mensual més un joc de $25$ euros.
4. d) El doble del preu d'una subscripció augmentat en $10$ euros.

Identifica els elements dels monomis següents completant la informació de cadascun:

1. a) $7x^{2}$
2. b) $-5ab^{3}$
3. c) $x^{4}y$
4. d) $\frac{3}{4}z^{2}$

Per a cadascun, indica: Coeficient, Part literal i Grau.

Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors que s'indiquen:

1. a) $5x - 3$ per a $x = 4$
2. b) $x^{2} + 2x + 1$ per a $x = -2$
3. c) $2(a + b)$ per a $a = 3$ i $b = 5$
4. d) $\frac{10 - x}{2}$ per a $x = 6$

Estem dissenyant una nova tauleta la pantalla de la qual és rectangular. La base mesura $x$ centímetres i l'altura mesura $5$ centímetres menys que la base. Escriu una expressió algebraica per al perímetre de la pantalla i simplifica-la.

Redueix les expressions algebraiques següents sumant o restant els monomis semblants:

1. a) $3x + 5x - 2x$
2. b) $7a^{2} - 3a + 2a^{2} + 5a$
3. c) $4xy + 2x - xy + 3x$
4. d) $10n - 5 - 3n + 8$

Observa la sèrie següent de figures fetes amb punts i determina l'expressió algebraica del terme general $a_{n}$ (on $n$ és la posició de la figura). Quants punts tindrà la figura que ocupi la posició $n=50$?

Classifica les expressions algebraiques següents indicant si son monomis, binomis o trinomis. En el cas dels polinomis (binomis i trinomis), indica també quin és el seu grau.

1. a) $4x^{3} - 5x + 2$
2. b) $-7ab^{2}$
3. c) $x^{2} + 10$
4. d) $3y^{4} - 2y^{2}$

Un poliesportiu municipal té una pista de bàsquet de forma rectangular. Si la longitud de la pista és de $y$ metres i la seva amplada és la meitat de la longitud, escriu el polinomi que representa l'àrea de la pista en funció de $y$.

La Lucía ha de calcular el valor numèric del trinomi $3x^2 - 5x + 4$ per a $x = -2$. En el seu examen ha escrit el desenvolupament següent:

1. a) Identifica i explica amb claredat els dos errors que ha comès la Lucía relacionats amb l'ús dels parèntesis i la jerarquia de les operacions.
2. b) Escriu el desenvolupament correcte pas a pas i troba el veritable valor numèric de l'expressió.

En el servei públic de bicicletes elèctriques d'una ciutat espanyola, donar-se d'alta té una quota fixa de manteniment de $25$ euros a l'any. Cada trajecte estàndard de menys de mitja hora costa $0,60$ euros, però si l'usuari excedeix aquest temps, se li aplica un recàrrec addicional d'$1,50$ euros per cada fracció de temps extra.

1. a) Escriu una expressió algebraica que representi la despesa anual total d'una persona que realitza $x$ trajectes estàndard i acumula $y$ recàrrecs per excés de temps.
2. b) Classifica l'expressió obtinguda segons el seu nombre de termes (monomi, binomi o trinomi) i indica quin és el seu grau.
3. c) Calcula el valor numèric per esbrinar quant pagarà en total l'Andrés si al llarg de l'any ha realitzat $60$ trajectes estàndard i ha acumulat $4$ recàrrecs.

En una botiga de còmics, el preu d'una subscripció mensual és de $x$ euros. Per cada còmic addicional que compris, et cobren $y$ euros, però si en compres més de cinc, t'apliquen un descompte de $3$ euros sobre el total. Escriu l'expressió algebraica que representi la despesa mensual d'un client que ha comprat $7$ còmics addicionals.

Calcula l'expressió algebraica que representa l'àrea de la figura geomètrica següent en funció de $x$. Simplifica el resultat sumant els termes semblants.

Troba el valor numèric del polinomi $P(x, y) = 3x^2y - 5xy + 2$ per als valors de les variables que s'indiquen:

1. a) $x = 2, y = -1$
2. b) $x = 0, y = 10$
3. c) $x = -2, y = -2$

Redueix al màxim la següent expressió algebraica operant amb monomis i eliminant els parèntesis:

$3x \cdot (2x^2) - 4x^2 \cdot (x - 5) + \frac{12x^4}{3x}$

Donats els polinomis $A(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5x$ i $B(x) = -2x^3 + 8x^2 - 7$, realitza les operacions següents i ordena el polinomi resultant de major a menor grau:

1. a) $A(x) + B(x)$
2. b) $A(x) - B(x)$
3. c) $2 \cdot A(x) + 3 \cdot B(x)$

Un dron de vigilància recorre una parcel·la rectangular les dimensions de la qual venen donades pels polinomis $L(x) = x^2 - 3x + 5$ per a la llargada i $A(x) = 2x + 1$ per a l'amplada. Obtingues el polinomi que representa l'àrea total de la parcel·la.

Utilitza les identitats notables per desenvolupar les expressions següents sense realitzar la multiplicació pas a pas:

1. a) $(3x + 5)^2$
2. b) $(2a - 4b)^2$
3. c) $(x^2 + 3) \cdot (x^2 - 3)$

Extreu el màxim factor comú possible en les expressions algebraiques següents:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $6a^2b - 9ab^2 + 3ab$
3. c) $12x^2y^3 - 18x^3y^2$

Dissenya un trinomi en la variable $x$ que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. El seu grau és $2$.

2. El coeficient del terme de grau més alt és un nombre enter negatiu.

3. El seu terme independent és $5$.

4. El seu valor numèric per a $x = 3$ és exactament igual a $2$.

1. a) Determina raonadament els coeficients que falten i escriu l'expressió algebraica del teu trinomi.
2. b) És aquesta l'única solució possible o hi ha altres trinomis diferents que compleixin també totes les condicions? Justifica la teva resposta deduint quina relació han de mantenir els seus coeficients.

Una empresa tecnològica estima els seus beneficis mensuals (en euros) mitjançant el polinomi $B(x) = 2x^3 - 40x^2 + 150$, on $x$ representa el nombre de paquets de servidors contractats (en desenes).

1. a) Sense calcular el valor exacte encara, estima si per a $x = 50$ el benefici serà positiu o negatiu i de quin ordre de magnitud serà (centenars de milers o milions d'euros). Justifica la teva estimació explicant quin és el terme dominant del polinomi quan la variable es fa gran.
2. b) Calcula el valor numèric exacte de $B(50)$ substituint i operant amb ordre.
3. c) Comprova si la teva estimació ha estat encertada i calcula ara el valor numèric per a $x = 3$. A partir d'aquest segon càlcul, raona per què per a valors petits de la variable el terme de grau més alt no sempre determina per si sol el signe del resultat.

Un artista digital està creant un mosaic de píxels que creix seguint un patró determinat. En l'etapa $n=1$ utilitza 3 píxels, en l'etapa $n=2$ utilitza 8 píxels, en l'etapa $n=3$ utilitza 15 píxels, i així successivament.

Observa el patró visual i realitza les tasques següents:

1. Troba l'expressió algebraica (terme general) que determina el nombre de píxels necessaris per a qualsevol etapa $n$.

2. Si el llenç digital té un límit de $1000$ píxels, podria l'artista completar l'etapa $n=30$? Justifica la teva resposta calculant el valor numèric.

El nou model d'un telèfon intel·ligent té una pantalla rectangular de vidre de dimensions $x$ d'amplada i $x+4$ de llargada. Al voltant de la pantalla hi ha un marc o "bezel" protector que té un gruix uniforme de $2$ cm a tots els seus costats.

1. Troba el polinomi reduït que expressa l'àrea total del frontal del telèfon (pantalla més marc).

2. Troba el polinomi reduït que expressa únicament l'àrea del marc (la zona grisa).

3. Si l'amplada de la pantalla $x$ és de $6$ cm, quina és l'àrea del marc?

Una empresa de lloguer de patinets elèctrics cobra una tarifa base de $B$ euros per desbloqueig i $0,15$ euros per cada minut d'ús ($m$). A més, si l'usuari recorre més de $5$ quilòmetres, s'aplica un suplement de seguretat de $S$ euros. A la suma d'aquests conceptes se li ha d'aplicar un $21\%$ d'IVA.

1. Escriu l'expressió algebraica del cost total $C$ d'un viatge si l'usuari supera els $5$ km de distància.

2. Simplifica l'expressió anterior realitzant les operacions possibles.

3. Si la tarifa base és de $1$ euro i el suplement de seguretat és de $2$ euros, quant pagarà una persona que utilitzi el patinet durant $20$ minuts i recorri $6$ km?

Opera i simplifica al màxim la següent expressió algebraica utilitzant les identitats notables per reduir termes:

Mostra el procés pas a pas, indicant quina identitat notable has aplicat en cada cas.

Considera el polinomi $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 4x - 12$.

1. Determina el valor del coeficient $k$ sabent que el valor numèric del polinomi per a $x = 2$ és igual a zero ($x = 2$ és una arrel del polinomi).

2. Un cop trobat $k$, calcula el valor numèric de $P(x)$ per a $x = -1$.

Es vol dissenyar una zona de jocs en un parc que consisteix en un gran cercle de radi $R$. Dins d'aquest cercle, s'instal·larà una zona de sorra quadrada el costat de la qual mesura exactament el radi $R$ del cercle. La resta del cercle es cobrirà amb gespa artificial.

1. Escriu l'expressió algebraica reduïda per a l'àrea de la zona de gespa artificial en funció de $R$. Utilitza $\pi$ com a símbol.

2. Extreu factor comú en l'expressió obtinguda.

3. Si el radi $R$ és de $10$ metres, calcula l'àrea de gespa (utilitza $\pi \approx 3,14$).

Simplifica la fracció algebraica següent extreient primer factor comú i utilitzant identitats notables al numerador i al denominador:

Per a quin valor de $x$ no tindria sentit aquesta expressió? (Pista: el denominador no pot ser zero).

Demostra algebraicament que la diferència entre els quadrats de dos nombres enters consecutius és sempre igual a la suma d'aquests nombres.

Instruccions:

1. Anomena $n$ el primer nombre i $n+1$ el següent.

2. Escriu l'expressió de la diferència dels seus quadrats: $(n+1)^2 - n^2$.

3. Desenvolupa i simplifica l'expressió.

4. Comprova el resultat amb els nombres $12$ i $13$.

Dues estudiants, la Irene i la Lucía, reben la tasca de traduir a llenguatge algebraic i avaluar la instrucció següent: «El quàdruple de la diferència entre el quadrat d'un nombre $n$ i $9$, tot això augmentat en el triple d'aquest nombre».

• La Irene tradueix la frase mantenint l'estructura literal mitjançant parèntesis: $I(n) = 4(n^2 - 9) + 3n$.

• La Lucía prefereix aplicar la propietat distributiva i ordenar els termes des del començament: $L(n) = 4n^2 + 3n - 36$.

1. a) Comprova algebraicament si totes dues expressions són equivalents o si alguna d'elles ha comès un error en el seu plantejament.
2. b) Si has de calcular el valor numèric per a $n = 3$, avalua'l fent servir la forma de la Irene i després fent servir la de la Lucía. Justifica quin dels dos camins resulta més ràpid i amb menys risc de càlcul per a aquest valor concret.
3. c) Si et demanen identificar sense cap mena de dubte el grau del polinomi, el nombre de termes i el terme independent, justifica quina de les dues formes és imprescindible utilitzar i per què.

Segons les dades de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), en un dia de muntanya la temperatura ambient al punt de partida (a $0$ metres d'altitud) és de $12$ ºC. A mesura que s'ascendeix una altura d'$h$ metres, la temperatura disminueix $0,65$ ºC per cada $100$ metres ascendits a causa del gradient tèrmic vertical. D'altra banda, la sensació tèrmica percebuda es redueix addicionalment en $0,2$ ºC per cada km/h de velocitat del vent ($v$).

1. a) Escriu una expressió algebraica reduïda que determini la sensació tèrmica $S(h, v)$ en funció de l'altitud $h$ (en metres) i de la velocitat del vent $v$ (en km/h).
2. b) Classifica l'expressió obtinguda segons el seu nombre de termes i indica el grau de cadascun d'ells respecte a les seves variables.
3. c) Un equip de rescat es troba en un refugi a $1600$ metres d'altitud i l'anemòmetre marca ratxes de vent de $35$ km/h. Calcula el valor numèric de la sensació tèrmica exacta al refugi.
4. d) Si el protocol de Protecció Civil exigeix activar l'alerta per fred extrem si la sensació tèrmica baixa per sota dels $-7$ ºC, raona algebraicament a partir de quina velocitat de vent s'activarà aquesta alerta si l'equip roman a aquesta mateixa altitud de $1600$ metres.