Exercicis: Errors en la mesura i instruments

Quatre alumnes mesuren amb el mateix regle l'amplada de la taula del laboratori i obtenen $80,2\ \text{cm}$, $80,3\ \text{cm}$, $80,2\ \text{cm}$ i $80,4\ \text{cm}$. a) Ha mesurat malament algun d'ells? b) Per què no surten les quatre mesures exactament iguals? Explica què significa la frase «tota mesura té un error».

Quina és la mínima divisió que marca un regle escolar normal (la seva apreciació)? Podries mesurar amb ell, de manera fiable, el gruix d'un full de paper? Raona la resposta.

Per mesurar el diàmetre d'un cargol, quin instrument té una resolució més fina: el regle de $30\ \text{cm}$ del teu estoig o un peu de rei (calibre)? A la figura veus un peu de rei mesurant un cargol:

Explica què significa que un instrument tingui «millor resolució» que un altre i si això basta perquè sigui més precís.

Ordena aquests instruments de menor a major precisió per mesurar longituds: una cinta mètrica de costura, que marca els centímetres; un regle escolar, que marca els mil·límetres; un peu de rei, que marca les dècimes de mil·límetre.

Un fuster talla taulons per a una prestatgeria i un rellotger ajusta peces diminutes d'un rellotge. a) Quina apreciació necessita l'instrument de mesura de cadascun? b) Què passaria si el fuster mesurés amb l'apreciació del rellotger i el rellotger amb la del fuster?

Completa la frase amb les paraules que falten: «Cap mesura és $\dots$: sempre hi ha una petita diferència entre el valor $\dots$ i el valor mesurat. A aquesta diferència l'anomenem $\dots$».

El rellotge de la paret de l'aula només té agulles d'hores i minuts, com el de la figura.

1. a) Pots mesurar amb ell quant dura un esternut? b) I quant dura la classe? Explica quina relació hi ha entre l'apreciació d'un instrument i el que vols mesurar.

Al laboratori, la proveta es llegeix amb l'ull just a l'alçada de la superfície del líquid, mai des de dalt ni des de baix, com mostra la figura.

1. a) Què creus que li passa a la lectura si mires des de dalt o des de baix? b) Per què aquest error es repeteix sempre en el mateix sentit si mires sempre malament?

Cinc cronòmetres mesuren el temps del guanyador d'una final de natació i anoten: $26,4\ \text{s}$, $26,5\ \text{s}$, $26,4\ \text{s}$, $26,6\ \text{s}$ i $26,6\ \text{s}$. Calcula la mitjana de les cinc mesures.

L'Anna pesa una poma quatre vegades amb la mateixa balança i obté: $150\ \text{g}$, $152\ \text{g}$, $149\ \text{g}$ i $151\ \text{g}$. a) Quin és el valor mitjà de la massa? b) Per què es pren la mitjana com el «millor valor» d'una mesura repetida diverses vegades?

Mesurant un llapis, quatre alumnes anoten: $8,2\ \text{cm}$, $8,3\ \text{cm}$, $8,4\ \text{cm}$ i $9,5\ \text{cm}$. La figura representa les quatre mesures sobre una recta:

1. a) Una de les mesures destaca per estranya: quina és i què pot haver passat? b) Calcula la mitjana de les quatre mesures i després la mitjana sense la mesura estranya. De quina de les dues et refies més?

Amb un regle que marca mil·límetres, l'Omar mesura el seu bolígraf: $14,3\ \text{cm}$. La seva companya diu que amb el mateix regle mesura $14,32\ \text{cm}$. a) És possible aquesta segona mesura amb aquest regle? b) Explica quina relació hi ha entre l'apreciació d'un instrument i les xifres que té sentit escriure en el resultat.

Per pesar $2\ \text{g}$ de llevat, quina balança triaries: una de bany, que marca de $100$ en $100\ \text{g}$, o una de cuina, que marca de $1$ en $1\ \text{g}$? Raona la tria pensant en l'apreciació de cadascuna.

Un grup mesura el perímetre del pati de l'institut amb una cinta mètrica en quatre intents: $24,8\ \text{m}$, $24,9\ \text{m}$, $25,1\ \text{m}$ i $25,2\ \text{m}$. a) Calcula la mitjana de les mesures. b) Quina és la diferència entre la mesura més gran i la més petita? c) Et semblen mesures curoses? Justifica-ho.

El manòmetre de la benzinera marca la pressió de les rodes de $0,1$ en $0,1\ \text{bar}$ i a la roda de la bici de la Lara marca $2,3\ \text{bar}$, com a la figura.

1. a) Pots assegurar que la pressió és exactament $2,3\ \text{bar}$? b) Quin és el canvi mínim de pressió que aquest aparell pot detectar?

L'Iker mesura amb el cronòmetre del mòbil el temps que triga una moneda a caure des d'un metre d'alçària i anota: $0,45\ \text{s}$, $0,51\ \text{s}$ i $0,48\ \text{s}$. a) Per què surten temps tan diferents si la moneda cau sempre igual? Pensa en qui prem el botó. b) Què faries per aconseguir una dada més fiable?

El regle de fusta del taller s'ha desgastat per l'extrem del zero i ara comença directament a la marca de $5\ \text{mm}$, com el de la figura.

1. a) Si el fas servir sense adonar-te'n, alineant l'extrem desgastat amb la vora de l'objecte, què els passarà a totes les teves mesures? b) És un error que canvia a cada mesura o es repeteix sempre igual? Saps com s'anomena aquest tipus d'error? c) Com pots continuar mesurant bé amb aquest regle sense comprar-ne un altre?

Compara dues maneres de mesurar la llargada d'una taula: mesurar una sola vegada amb un regle que aprecia mil·límetres, o mesurar deu vegades amb el mateix regle i fer la mitjana. a) Millora l'apreciació de l'instrument pel fet de repetir les mesures? b) Aleshores, què és el que millora en fer la mitjana? c) En quins casos val la pena repetir moltes mesures i en quins no?

Tres grups mesuren la massa de la mateixa pedra. Grup A: $45,2\ \text{g}$, $45,3\ \text{g}$ i $45,2\ \text{g}$. Grup B: $44,1\ \text{g}$, $46,0\ \text{g}$ i $45,5\ \text{g}$. Grup C: sempre $50,0\ \text{g}$, perquè la seva balança estava mal tarada. La figura representa les mesures dels tres grups:

1. a) Calcula la mitjana de cada grup. b) Quin grup és més precís, és a dir, té les mesures més agrupades? c) Sabent que el valor veritable és $45\ \text{g}$, explica la diferència entre tenir mesures agrupades i tenir mesures encertades.

Voleu saber quant fa de llarg el passadís de l'institut amb la màxima fiabilitat possible, i només teniu un regle de $30\ \text{cm}$, una cinta mètrica de $5\ \text{m}$ i un cronòmetre. a) Quin instrument trieu i per què? b) Quantes mesures faríeu i què en faríeu? c) Quines fonts d'error haureu de vigilar durant la mesura?

En un salt de llargada escolar, el jutge mesura amb una cinta que aprecia centímetres i anota $4,35\ \text{m}$. a) Quantes xifres significatives té aquesta mesura? b) Tindria sentit anotar $4,352\ \text{m}$ amb aquesta cinta? c) El rècord de l'institut és $4,3\ \text{m}$: podem assegurar que l'ha superat? Raona la resposta pensant en l'error de cada mesura.

Dos termòmetres mesuren alhora l'aigua calenta d'una olla: un marca $68\ \celsius$ i l'altre, $72\ \celsius$, com mostra la figura.

1. a) Poden estar mesurant bé tots dos? b) Proposa una manera d'esbrinar quin falla sense comprar res: pensa a quina temperatura es fon el gel. c) Quin tipus d'error té el termòmetre que falla: un de diferent a cada lectura o un que es repeteix sempre igual?

La infermera mesura la tensió a en Pau tres vegades seguides i anota (en cmHg): $11,2$, $10,8$ i $11,0$. a) Per què no n'hi ha prou amb una sola mesura? b) Calcula la mitjana de totes tres. c) En Pau diu: «Aleshores la meva tensió és exactament $11,0$ cmHg». Corregeix la seva frase.

Un observatori mesura la distància de la Terra a la Lluna amb un làser: $384\,400\ \text{km}$, amb un error d'uns $4\ \text{m}$. a) Té error aquesta mesura? És dolenta per això? b) Compara aquesta mesura amb mesurar la teva taula, de $1,20\ \text{m}$, amb un error de $1\ \text{cm}$: quina mesura és millor en proporció a la mida de l'objecte mesurat? c) Explica amb les teves paraules la frase «tota mesura té error, però no totes les mesures valen el mateix».

Repte del tema. Quanta aigua malbarata una fuita domèstica? Converteix-te en auditor de sostenibilitat a la teva pròpia llar.

1. Mesura i incertesa: Fes que una aixeta gotegi de manera constant. Amb un vas mesurador de cuina i el cronòmetre del mòbil, mesura el volum recollit als $10,0\text{ s}$, $20,0\text{ s}$, $30,0\text{ s}$ i $40,0\text{ s}$. Repeteix cada mesura $3$ vegades. Anota la sensibilitat i la incertesa dels teus instruments (per exemple, $\pm 0,1\text{ s}$ i $\pm 5,0\text{ mL}$).

2. Tractament de dades i conversió: Elabora una taula amb les mitjanes calculades i traça la gràfica de volum enfront de temps. A partir d'aquesta, calcula el cabal de pèrdua en $\text{mL/s}$, passa'l a unitats del SI ($\text{m}^3/\text{s}$) amb factors de conversió i expressa'l en notació científica amb dues xifres significatives.

3. Contrast oficial i informe: Consulta a l'INE el consum mitjà d'aigua a les llars espanyoles (aproximadament $133,0\text{ L}$ per habitant i dia). Redacta un breu informe avaluant el volum mensual que perdria aquesta fuita i el seu impacte percentual en una família de tres persones.

Es valorarà:

• Identificació dels instruments, estimació adequada de la incertesa i càlcul de mitjanes.

• Rigor en el canvi d'unitats al SI, notació científica i xifres significatives.

• Qualitat tècnica de la taula i la gràfica elaborades.

• Precisió en l'informe en contrastar les dades obtingudes amb l'estadística de l'INE.